集合知识点总结及习题(教师版).docx

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1、集合集合与元素V(4)集合与集合集合元素与集合的关系：属于（）和不属于（任）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若元eAn元旦则A3,即A是3的子集。、若集合A中有个元素，则集合那子集有2个，真子集有（2-1）个。、十2、任何一个集合是它本身的子集，即AqA注关系13、对于集合ARC,如果且51c那么4、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若4口8且4。5（即至少存在不8但/任4）,则A是5的真子集。集合相等：AqB且A卫8 A = B交集定义: 1

2、性质:AnB = 1x/xe A且xe母AcA = 4 Ac0 = 0, AcB = BcA, Ac5rA,Ac8cB, A&BoAcB = A/定义：AdB = r/xe A或母并集一一运算性质：AuA = 4 Au0 = 4 AjB = B2或x| x-32适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N=0, 1,2,3,正整数集 N*或 N+ = 1,2,3, ）整数集 Z -, -3, -2, -1, 0, 1,2,3,有理数集Q实数集R有时，集合还用语言描述法和Venn图法表示例如：语言描述法：不是直角三角形的三角形Venn

3、 图:4、集合的分类：（1）有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：xGR|x2=-5二、集合间的基本关系1 .“包含”关系一子集定义：若对任意的xA,都有xB,则称集合A是集合B的子集，记为（或BqA）注意：Aq 5有两种可能（1） A是B的一部分，；（2） A与B是同一集合。符号与之的区别反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2 . “相等”关系：A=B定义：如果仁B同时BcA那么A=B实例：设A=x|x2-l=0 B=-1,1“元素相同则两集合相等”3 .真子集:如果AcB,且存在元素x B,但xeA,那么就说集合A是集合B

4、的真子集,记作A，B（或bIa）4 .性质任何一个集合是它本身的子集。AcA如果AcB, BcC ,那么AcC如果AoB同时BcA那么A二B5 .不含任何元素的集合叫做空集，记为。规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有2n个子集，个真子集三、集合的运算运算 类型由所有属于A且属于B的元 素所组成的集合，叫做A,B 的交集.记作aDb （读作 A 交 B）,即 Afi B= x|xeA,且 xeB.由所有属于集合A或属 于集合B的元素所组成 的集合，叫做A,B的并 集.记作：AUB （读作 ”并 ,即 AUB =x xe A,或 xwB）.设S是一个集合，

5、A是S的一个子集， 由S中所有不属于A的元素组成的集 合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作即CsA=x|xeS,且不任 AAp| A 二 AAljA二 A性.Afi中二中AU 二aARB 二 Bp|AaIJb = bU a质ApBcAAljBo AApBcBAljBoBAcB Apl B=AAoB AljB=B(CUA) A (CUB)二 C (AU B)(CUA) U (CuB) = Cu(AAB)AU (CuA) =U Ap (CuA)二 61.1 集合的含义与表示LL1集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大 写字母A、B、C等表示集合，

6、用小写字母a、b、c等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。 元素a属于集合A,记做aA,反之，元素a不属于集合A,记做aeA。1.1.2 集合中的元素的特征：确定性：如世界上最|司的山；互异性：由HAPPY的字母组成的集合H, A, P, Y)；无序性：如集合a、b、c和集合b、a、c是同一个集合。集合的表示方法：列举法；描述法；Venn图；用数轴表示集合。常用数集及记法有非负整数集(即自然数集)正整数集整数集有理数集实数集N+或 N*ZQR1.1.4 集合的分类：根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。本节精讲：一.如何判断一

7、些对象是否组成一个集合：判断一组对象能否组成集合，主要是要看这组对象是否是确定的, 即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么，这组 对象就能够组成一个集合。例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。(1)大于等于1,且小于等于100的所有整数；(2)方程x2=4的实数根；(3)平面内所有的直角三角形；(4)正方形的全体；(5) 口的近似值的全体；(6)平面集合中所有的难证明的题；(7)著名的数学家；(8)平面直角坐标系中x轴上方的所有点。练习：考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：(1

8、) 平面直角坐标系内x轴上方的一些点；(2) 平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的园内的所有的点；(3) 一元二次方程x2+bx-l=0的根；(4) 平面内两边之和小于第三边的三角形(5) y=x, y=x+l, y=ax2+bx+c(aWO)；(6) 2x2+3x-8=0, x2-4=0, x2-9-0；(7) 新华书店中有意思的小说全体。二.有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性 是否与集合中元素的属性相同。例：集合A=y|y=x?+l,集合B=(x, y) | y=x2+l, (A B中xR, y WR)选项中元素与集合之间的关系

9、都正确 的是()A、2eA,且 2BB、(1,2) eA,且(1,2) eBC、2eA,且(3, 10) eB D、(3, 10) GA,且 2B解：C练习：3. 1415 Q； n Q； 0 1 (x, y) |y=2x-3；-8 Z；三.有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质：分别是确定性互异性无序性例：集合A是由元素r-n, nT和1组成的，其中nZ,求n的取值范围。解：n是不等于1且不等于2的整数。练习:1 .已知集合M=a, a+d, a+2d, N=a, aq, aq2, aWO,且M与N中的元素完全相同,求d和q的值。2 .已知集合 A二x,x+y,O,若 A二B,则

10、 乂皿+丫刈。的值为, A二B二xI n73 . (1)若-3匕-3,2-1,一一4求实数的值；(2)若二 m,求实数m的值。1 + m4 .已知集合 M二2, a, b,N=2a,2, b2,且 M=N,求 a,b 的值。5 .已知集合A=x|ax2+2x+l=0, aR, (1)若A中只有一个元素，求a的值；(2)若A中至多有一个元素，求 a的取值范围。四.集合的表示法：三种表示方法 练习；1 .用列举法表示下列集合。(1) 方程x?+y2=2d的解集为;x-y=O(2)集合A=y|y=x2-l, |x|W2,xZ用列举法表示为Q(3)集合B=Z|xN用列举法表示为；1 + x(4)集合C

11、二x|=回+国，a, b是非零实数用列举法表示为a b2 .用描述法表示下列集合。(1)大于2的整数a的集合;(2)(3)使函数y二x(x - l)(x + 1)1、2 3 4 有意义的实数x的集合;3 .用Venn图法表示下列集合及他们之间的关系：(1) A=四边形, B=梯形, C二平行四边形, D二菱形, E二矩形, F=正方形;(2)某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不 喜欢乒乓球的人数为，用Venn图表示为：。五.有关集合的分类:六.集合概念的综合问题：练习1 .若=“，则t的值为;1 +12 .设集合 A=y|y=x2+ax+

12、l, xeR,B=(x,y)|y= x2+ax+1, xR ,试求当参数 a=2 时的集合 A 和 B；3 .已知集合A=x|ax2-3x+2=0,aR,求(1)若集合A为空集，则a的取值范围；(2)若集合A中只有一 个元素，求a的值，并写出集合A； (3)若集合A中至少有一个元素，则a的取值范围。1.2集合间的基本关系1.2.1 子集：一般地，两个集合A和B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这 两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记做A = B (或BoA),读作“A包含于B(或“B包 含A”)o比如说，集合A二1、2、3,集合B=1、2、3、4、5,那么，集合

13、A中的元素1、2、3都属 于集合B,所以，集合A为集合B的子集，记做AB (或B卫A)。1.2.2 2集合相等：如果集合A = B且B&A时，集合A中的元素与集合B中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B相等，记做A=B。或AuB。1.2.3 真子集：如果集合A = 5,但存在元素xw 5,且xeA,我们称集合A是集合B的真子集。记作:A呈B (或B*A)也可记作：Au 3 (或3z)A)1.2.4 空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做0,并规定：空集是任何非空集合的子集(当然 是真子集)本节精讲：一.集合间的包含与相等的问题:对于集合相等，我们要从以下三个方面入手： 若集合AB且Bq

14、A时，则A=B；反之，如果A=B,则集合A = B且B = A。这就给出了我们证明两个集 合相等的方法，即欲要证明A=B,只需要证明A = B和B = A都成立就行了。 两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。 要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合中 的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。例：若集合A = x|xq, B = x2x-50,且满足求实数。的取值范围.练习：1 .已知A = x|d + px + 4 = 0 , B =-31+ 2 = 0且Aq 8 ,求实数p、Q所满足的条件.2 .

15、若1,2 = 工|%2+区 +。= 0,则（）.A. h= 3, c = 2B. b = 3, c =2C. b = 2, c = 3D. /? = 2, c = 3u3,已知集合P= x|x2 + x 6=0与集合Q= x|ax+l=0）,满足QWP,求a的取值组成的集合A。二.有关子集以及子集个数的问题：例L判定以下关系是否正确(l)aca(2)1, 2, 3 = 3, 2, 1(3)0呈0(4)0e(0(5)中=0(6) 0解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知是正确的，后两个都是错误的.说明：含元素 0的集合非空.例2：列举集合1, 2, 3的所有子集.分析：子集中分别含1, 2,

16、3三个元素中的0、1、2或者3个.解：含有。个元素的子集有：含有1个元素的子集有1, 2, 3；含有2个元素的子集有1, 2, 1, 3, 2, 3；含有3个元素的子集有1, 2, 3.共有子集8个.例3：已知a、bcAca b、c、d,则满足条件集合A的个数为.分析：A中必含有元素a, b,又A是a, b, c, d子集，所以满足条件的A有：a, b, a, b, c, a, b, d, a、 b、 c、 d。解：共3个.例 4：设集合 A=x|x=54a+a2, aR, B = y|y=4b2+4b + 2, bR,则下列关系式中正确的是 oA. A=BB. A o BC. ABD. A亚

17、 B解：A例5：已知集合人=2, 4, 6, 8, 9, B = 1, 2, 3, 5, 8,又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C.练习：1 .已知集合A二1,3, a,B=1声2y+1,且A卫B,求a的值。2 .已知集合 A=xR|x2+3x + 3=0, B=yeB|y2-5y + 6=0,AcPcB,求满足条件的集合P.3 .已知集合 A=x|x=a2+1, aN B=x|x=b2一4b+5, b N,求证：A=B。L3集合的基本运算1.3.1 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为

18、集合A与B的并集，记作A 1,（读作2并歹）.即AUB=x|xA,或xB。如图1-3-1所示。例如，设 A=4,5,6,8, B=3,5,7,8,求 AUB.解:AUB=4,5,6,8 U 3,5,7,8=3,4,5,6,7,8再比如说，设集合A=3-kx2,集合B=3kx3,求AUB.解:AUB=x|-1x2 U xlx3=x-lx31.3.2 交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AGB,（读 作“A交B”）,即AAB=x|xA,且xB。如图1-3-2所示。例如，设 A=4,5,6,8, B=3,5,7,8,求 AAB.解：AGB.=4,5,6,

19、8 A 3,5,7,8=5 ,8再比如说，新华中学开运动会，设A=x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学B=x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学，求AGB.解:AGB=x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学.1.3.3 补集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记 作U.对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集, 简称为集合A的补集记作CuA = x|x。，且*，如图1-3-3所示。例如,设U=x|x是小于9的正整数,A=1,2,3, B=3,4,5,6,求山解:根据题意可知

20、,U= 1,2,345,6,7,8,所以二4,5,6,7,8； C3=1,2,7,8.135集合中，一些常用的运算性质:(1) An A = A；(2)AD0 = 0；(3)an 6 = 6A A；(4)AA 3 u a An 3 U 笈； (5)A=6 则 AA6 = A;(6)A U A = A; (7) A U 0 = A; (8) A JB = BJA; (9) A U Cu(A) = U;(10)(AUB)UC = AU(BUC);(H)Ac (AUB);(12)Cw(A U 6) = (CuA) Pl CuB;(13)C(A D B) = (CuA) U CuB本节精讲一. 有关两

21、个集合的并集、交集的问题11 .若集合 A=2,4, x, B=2, x2,且 AU3=2,4, x9则=.12 .已知 A=x|f+px+q=x, B= x|(x l)2+p(x l)+(7=x+1,当4=2时，集合 5=.13 .(胶州三中 20092010 高一期末)设4=3一px+15=0, 8=4+/+=0且 AUB=2,3,5, A AB=3,贝lj p=； q=； r=.三、解答题14 .已知 A = x|WxWa+3, B= xx5(1)若AG8=0,求a的取值范围.(2)若AU5=5, a的取值范围又如何？15 .设集合 M=1,2, m2-3/n-l, N= -1,3,若

22、MGN=3,求机.16 .已知 A=1, x, -1, 8= 1,1x.(1)若 AG5=1, -1,求 x.(2)若 AU5=1, -1, 1),求 AGB.(3)若 8GA,求 AU A当 x=T时，AUB=1, I，-1.17 .某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小 组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？18 .已知集合A=x|3x70, 3=4x是不大于8的自然数, C=xxa9为常数, D=xxa9 为常数.求AG&(2)若AGCW。，求。的取值集合；(3)若AGC=x|x3,求

23、。的取值集合;(4)若ACO=x|x2-2,求。的取值集合;(5)若Bnc=0,求。的取值集合；(6)若8A中含有元素2,求a的取值集合.二. 有关全集、补集、空集的问题例1判定以下关系是否正确(l)aca； (2)1, 2, 3 = 3, 2, 1； (3)00 ； (4)0e0例2列举集合1, 2, 3的所有子集.例3已知a, bqA厚:a, b, c, d,则满足条件集合A的个数为.例4设U为全集，集合M、NSU,且NqM,则 A. CVM2CVNB . McCvNC . CvMc CVND . MnCuN例5设集合A=x|x = 54a+a2, aR, B = y|y=4b2+4b +

24、 2, bR,则下列关系式中正确的是A. A=BB. A o BC. A5BD. A亚 B例6设全集U(U卢0)和集合M, N, P,且乂=弗N=QjP，则m与p的关系是 A. M=CuP B. M=P C MwPD. M 即例7下列命题中正确的是A- Cu(CuA)=AB.若AAB=B,则A = BC.若人=1,(P，2,则2?AD.若八=1, 2, 3, B=x|xc A,则 AB例8已知集合人=2, 4, 6, 8, 9, B = 1, 2, 3, 5, 8,又知非空集合C是这样一个集合：其各 元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C.例 9 设5 = 1, 2, 3, 4,且 M=xS|x2 5x+p=0,若CsM = 1，4,则 p=.例 10 已知集合5=2, 3, a2+2a-3, A=|a+l|, 2, QsA=a+3,求 a 的值.