充分条件必要条件充要条件.docx

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1、2. 2充分条件、必要条件、充要条件【考点梳理】考点一：充分条件与必要条件“若P，则q”为真命题“若P，则/为假命题推出关系三a条件关系p是q的充分条件 q是p的必要条件不是夕的充分条件 0不是的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件考点二：充要条件一般地，如果包，且包，那么称p是夕的充分必要条件，简称充要条件,记作D0cl.【题型归纳】题型一：充分条件和必要条件的判断L （2023秋浙江台州高一统考期末）“岗2，的一个充分不必要条件是（）A. -2x2 B. -4x-2D. x2【答案】D【分析】先解不等式1川2得x2,找“|x|2

2、”的一个充分不必要条件，即找集合x|x2的真子集，x x2x x 2 ”的一个充分不必要条件是xx2.故选：D.2. （2023江苏高一假期作业）可以作为关于x的一元二次方程必+ +m=0有实数解的一个必要条件的是（）A. 772 B. mC. m D. m 0 ,解得“!，而机可以推出根442所以机可以作为关于x的一元二次方程/+兀+加二。有实数解的一个必要条件， 故选：A.【分析】先求出“方程V2x + m = 0至多有一个实数解”的充耍条件，即可判断.【详解】“方程f 2元+机=0至多有一个实数解的充要条件为=（2）2 4/7? 4 0 即，篦 2 7,又加22是机2 7的充分不必要条件

3、，故选：D.23. （2023春湖北恩施高一校考期末）设= f-以+l（xcR）,则关于x的不等式力0有解的一个必要不 充分条件是（）A. 2a2C. a 3D. a 2【答案】D【分析】根据二次函数的判别式求解“关于x的不等式/（x）。有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可.【详解】由关于X的不等式“外=%2-公+12.42 2则。2 2或。0”是“同|中的（） ci - bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】c【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】 竺20 = （。+3（4-6）00/一/00/=0网为充要条件

4、. a-b故选：C.25. （2022秋上海徐汇高一上海市徐汇中学校考期中）已知命题函数），=-2火+。+ 1的图象总在1轴上方；命题关于1的方程/+（2-4b+。2=。有两个不相等的实数根.（1）若命题为真，求。的取值范围；若命题、中至多有一个命题为真，求。的取值范围.【答案】（1）30Q 0当。0,由 Va/2 a（ ,11/八求得。0，=4-4i（q + 1）0；（2）若方程d +（2q-4b+片=。有两个不相等的实数根，则=（2。一4）2-4/0,解得avl,若命题、都是真命题，则故当命题、中至多有一个命题为真时，a的取值范围为。1.26. （2022 秋重庆高一校联考期中）已知 p:

5、HxwR, -%2+nvc-2 = 0 . q:Vx（O,0）, jc2 - m 0 .若为真命题，求相的取值范围.（2）若p,至少有一个是真命题，求2的取值范围.【答案】（1）机一28或加2 2血，（2） m /2 或m 2 2【分析】（1）根据方程f+如 2 = 0有实数根，即可根据判别式求解；（2）分别求出命题p,q为真命题，解出机的取值范围，然后得两者均为假命题的机的取值范围，即可解出至少一 个为真命题的范围.【详解】（1）命题p为真，则方程-V+znx2 = 0有实数根即可，故八二/川820,解得机-20或加，故P为真命题，求相的取值范围为小W-2后或加22起（2） 是真命题，则无2

6、 32=加之2 ，故命题p, q均为假命题时，满足卜2f解得_28相2，m 2因此p, q至少有一个是真命题时,m -2/2或机企2【高分突破】一、单选题27. （2023全国高一专题练习）已知= 00,如果是q的充分不必要条件，则实数人的取值范围是（）x + 1B. (l,4-oo)A. 2,+oo)C. l,+oo）D. （-00,-1）【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系求解.2 x【详解】q：- 0（1）方程有二正根的充要条件是 “；（2）方程有二异号实根的充要条件是0A0h充耍条件是2.aiA. 0个B1个C2个D.3个【答案】B【分析】对于（1）,举反例f_2

7、x+2 = 0,即可判断；对于（2）方程有二异号实根可推出%=0，玉=0,上=20,但 = 48 = TvO,方程无实数解，（1）错；aa对于（2）,必要性： 方程加+Zzx + c = 0,有一正根和一负根，?=上 0.a充分性：由0及匹=0对于（3）,令1+ ： = 0,两根为玉=；,马=3,满足-2 2,但不符合方程两根均大于1, （3）错.乙 ，ai故选：B29. （2023春江西宜春高一校考期末）若。力R,贝广是7/+ 1”的（）A.必要不充分条件C.充要条件B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】用充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当Q = l,b =。

8、时，/=3+i；当苏 03 + 时，/ 83 ,即。 人.故“心小是“A+r，的必要不充分条件.故选：A30. （2023全国高一专题练习）。是方程以+3 = 0有实根/且%c%|-lWxW2的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由一次函数与一次不等式的关系结合充分条件与必要条件的概念即可得出答案.【详解】方程6+3 = 0有实根/且%。卜|-lx0 a02 + 3 0结合集合法易得。卜。|）是方程+3 = 0有实根/且吃6卜卜UW2的充分不必要条件.故选：A31. （2023春,安徽亳州高一校考期中）若诉R,则“伍-20是“高，的（）

9、A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式（。-切/0,可得Q力0,可得ab,即充分性成立；反之：由。匕，可得0,又因为力之0,所以（a-）/（）,所以必要性不成立，所以0是。人的充分不必要条件.故选：A.32. （2023全国高一专题练习）对于命题p：m 0解之得0根:，则命题q： 0m,由M1,可得Tvmvl命题，则p： 1 /?xeA,所以。wC”不是“xe/T的充分条件.即仅有B正确.故选：ACD.34. （2023秋高一课时练习）（多选）下列“若p,则/形式的

10、命题中，p是q的充分条件的是（）A.若一=，则B.若 = 1,则d=lc.若X=儿则石=6d.若x,则/）/【答案】AB【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若一=一,则x=y成立，所以A不符合题意； % y对于B中，若x = l,则*=i成立，所以x = l是f=i的充分条件，所以B符合题意；对于c中，若=，当工=丁y2,反之：也不成立，所以,是/ 0对X/xeR恒成立的必要不充分条件有（）A. 0al B. 0alC. ialD. -1 a 0对VxeR恒成立，当。=0时，不等式为10,满足题意；aw。时，则必有0且A = （2）24axlv0解得

11、00对VxR恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合a0al9考查选项知C,D满足条件.故选：CD.236. （2023全国高一专题练习）已知命题：关于工的不等式-0,命题心ax0B. aC. a2D. a3【答案】BCD【分析】先解不等式，设4 =卜上1, B = xax0,解得：%1,设A=旧工1, x-1i3 = x a x4,则X,y至少有一个大于2B. VxgR,x-1x2bC. +。= 0的充要条件是巳=-1D.至少有一个实数心 使得丁+2 = 0a【答案】ABD【分析】假设X, y中没有一个大于2得x+y4矛盾可判断A；（）可判断B；取=。力=。时可判断C；取工=后,/=_2可

12、判断D.【详解】对于A,假设x, V中没有一个大于2,即x2, y2,则x+yW4,与x + y4矛盾，故A正确；对于B,由工_10,则A = l-4v。，故Y 一 x + i。在R上恒成立，故B正确；h对于C,当。=0力=。时，a+b = 0,推不出2 = -1,必要性不成立，故C错误； a对于D,当工=亚2/=-2,此时d+2 = 0,所以至少有一个实数x,使得d+2 = 0,故D正确.故选：ABD.38. （2023全国高一专题练习）下列命题正确的是（）A. “骨3”是“/2,的充要条件B. “公=1，是“产一1，的必要不充分条件C.若集合 P = x|x = 2 匕攵 eZ , Q =

13、 x|x = 4 匕 ZeZ,则 PqQD.对任意xwR,印表示不大于x的最大整数，例如L1 = 1ELl = -2,那么“|工-|1”是“田=”的必要不 充分条件【答案】BD【分析】A选项，可举出反例；B选项，解方程f =1,得至合=1 ,故B正确；C选项，根据集合间的关系得到夕；D选项，举出反例得到充分性不成立，推理出必要性成立，得到答案.【详解】当x = Ly =。时，满足但不满足工到田，故A错误；/=1,解得：1 = 1,因为x=-lnx=l,但工=1幺工=-1,故=广是“产-的必要不充分条件，B正确；Q = xx = 4k,k7 = xx = 2x（2kkZ ,其中 2 4为偶数，故

14、 Q1P, C 错误；令x = 0,y = -0.5,满足1%一川1,但=0,卬=一1,口刃,充分性不成立,由=叫得:-1x-j1,故|%-川1,必要性成立,故“以-小1”是“国=川”的必要不充分条件,D正确.故选：BD三、填空题39. (2023秋湖北孝感高一孝感高中校考阶段练习)已知则8 = 4，是“稠口的 条件(从“充分不必要”、必要不充分”、充要，“不充分不必要”中选择一个作答).【答案】充要【分析】根据集合之间的关系及充分、必要性定义判断条件间的关系.【详解】由A05 = A,则故稠Q A,充分性成立；由稠q ,则故A/B = A9必要性成立；所以“Af 3 = A”是“物之uA”的

15、充要条件.故答案为：充要40. (2023秋辽宁葫芦岛高一校考期末)已知”：|x-1|2【分析】首先解出绝对值不等式，再根据充分条件得到集合的包含关系，即可得解.【详解】由BP-lx-ll,解得0x241. (2023秋高一课时练习)下列喏p,则必形式的命题中，0是的必要条件的命题有(1)若。+5是无理数，则。是无理数.(2)若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等.(3)若(x-a)(x-b) = 0 ,则 x =(4)若。和都是偶数，则仍是偶数.【答案】(1) (2) (4)【分析】根据必要条件的定义即可逐一求解.【详解】(1)若。+5是无理数，则+5是无限不循环小数，所以。是无限不循环小

16、数，所以。是无理数，所以=夕，所以q是P的必要条件.(2)全等三角形面积相等，所以 =q,所以4是的必要条件.(3)若(_)(工叫=0,则x = x = b；所以所以是P的不必要条件.(4)两个偶数的乘积仍是偶数.所以 =4,所以4是的必要条件. 故答案为：（1） （2） （4）.42. （2023秋高一课时练习）已知p： x10, q： xvl + a或xl。（。0）.若是的必要条件，则实 数a的取值范围为.【答案】（,一9【分析】由是9的必要条件，有qnp,列不等式组求实数Q的取值范围.1 + a 乙 则有1-。210,解得“V9.a0，Vx（l, + 8）, x-a-0.、7X4-1若为

17、真命题，求。的取值范围；若P为真命题”是q为真命题”的必要不充分条件，求加的取值范围.【答案】（1）。0或。之4（2） 0 zn .【分析】（1）由题意可得方程分2+以+ 1 = 0有解，然后分。=0和QW0两种情况讨论即可；（2）先由命题4为真，求得而-1,设命题?为真时。的取值集合为A,命题4为真时。的取值集合为&再由题意可得3是A的真子集，从而可求出2的取值范围.【详解】（1）当。=0,显然不存在1使方程1=0成立；当qwO时，一元二次方程的判别式ANO,所以片一420,解得0或24.（2）若命题q为真，则x-q +旦20ox+1 + *-2q + 1, X+lX+1因为x + l +

18、,所以a + lW2，,即-1,当且仅当x = 时，等号成立. x+i设命题P为真时。的取值集合为A,命题彳为真时。的取值集合为B,因为命题P为真是命题夕为真的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以2标一10 （）44. （2022秋湖北武汉高一校联考期中）已知命题s/八，命题/xl 相+ 根。.Lr-100(【详角军】(1)s =-2x10, :.p:x-2xx-100i若加=1 .q：x0x2, WK2.x - 2x 0,因为是q的必要不充分条件，所以i-加之-2,l + m 10,解得0相3,即根(0,3.45. (2022秋四川成都高一成都外国语学校校考期中)已知集合人=卜|-3x4

19、, B = x2m-lxml.(1)当根=1时入求出AcgB；(2)若是a歹的必要不充分条件，求实数机的取值范围.【答案】(1)Ac(B)= R-3K尤1 或2Vx -1【分析】(1)当机=1时，得3 = 刘12,由补集和交集运算即可求解AcC*；(2)由题可知8UA,分集合8 = 0和两种情况分类讨论，即可求解 2的取值范围.【详解】(1)当机=1时，3 = 却x2,所以3k3=小2,所以 Ac(93)= a| -3Kxvl或2x4；(2)因为匕4，是匕中的必要不充分条件，于是得A ,当 5 = 0 时，m + 1 2；m + 1 2m-1当 3w0 时，由 5UA 得 v 2m123 ,

20、/.-lm2,772 + 1 -.3 .（2023高一课时练习）已知是的充分不必要条件，q是一的充分条件，s是一的必要条件，4是$的必要条件， 下列命题中：，是q的充要条件；是夕的充分不必要条件；厂是9的必要不充分条件；一是s的充分不必要 条件.正确命题的序号是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】由充分必要条件的定义和传递性，可得结论.【详解】由是的充分不必要条件，夕是的充分条件，s是的必要条件，q是s的必要条件，可得pnj 推不出乙 qnr, s n q,所以=心 故是9的充要条件，正确；p=q，q推不出，故，是q的充分不必要条件，正确；yq,故是q的充要条件，错误；ros,故是$的充要条

21、件，错误.故选：B题型二：根据充分不必要条件求参数问题4 .（2023秋高一单元测试）已知条件p：q： xm9若是9的充分不必要条件，则实数机的取值范围是（）A. m|m1B. m|m1C. m|-l 77?OD. m| m-1【答案】D【分析】根据p是q的充分不必要条件，由x|-lm求解.【详解】解：因为p是4的充分不必要条件，所以卜| 一1 VXV1用,则 m1,故选：D.5. （2023全国高一专题练习）不等式“d+2x 勿行。在xeR上恒成立”的一个充分不必要条件是（）A. m4C. 2m3D. -1 m0,解得a 恒成立，即有（+6焉 。，得。6,由（1）可知，当是真命题时，实数的取

22、值范围为a 6（al当假q真时，有得lav6.a6所以实数a的取值范围为1 Wqv6.综上：实数的取值范围为EP m 1.所以A选项，根-1是机4不可推导出24-1, B不正确；C选项中，2相3不可推导出加4-1,故C不正确；D选项中，-1 vmv2不可推导出加4-1,故D不正确.故选：A.6.（2022秋.浙江金华高一校考阶段练习）已知xeR,条件P：0xl,条件若是的充分不必 x要条件，则实数。的取值范围是（）A. Ooz 1B. aD. 6/ 0【答案】A【分析】先求出条件q的x的范围，再根据充分不必要建立不等式求解即可.【详解】条件g由不等式!力。（。0）,解得：。尤,，xa若P是4的

23、充分不必要条件，则（0,1） （o，J,所以21解得023是-的必要不充分条件，则实数2的取值范围是（）A. 4一3软历3B. （ml列，-3或23C. /叫，-1或帆.1D. /一啜弧1）【答案】D【分析】由题意列不等式求解【详解】因为x2n?-3是-1%。，且满足是，的必要不充分条件，则（）A. a3B.-1C. a 1D. qv1【答案】D【分析】解不等式，根据充分必要性列出不等式，进而得解.【详解】72：|x-1|2,即1x3,又q是的必要不充分条件，所以Q V 1 ,故选：D.9.（2021秋.河南高一校联考阶段练习）已知集合4 =卜6x + 8v。, B = x（x-a）（x-a-

24、1）0 9若xeA是 xe 3的必要条件，则。的取值范围是（）A.（2,3）B. 2,3C. （-oo,-2）o（3,+oo）D. （一8,一2）u3,+功【答案】B【分析】利用若xeA是的必要条件，则必有B是A的真子集，进而可求解.【详解】由A =6冗+ 8 v 0 = x|2 x 4,B = 6ZX6Z + 11 ,若xeA是xeB的必要条件，则必有3是A的子集；ftz + l4故选：B.题型四：充要条件问题10. （2023高一单元测试）若x,”R,则“ =尸是三+产（2*，的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用充分性和必要性的

25、定义即可得出结果.【详解】当x = y时，x2 + y2 = 2x2 =2x-x = 2xy 9所以犬+产4 2孙成立，又当 f + y2 2孙时，即 + ,2 _2孙=（%一,）2 0 ,得至 1=丁，所以/ + y22孙可以得到X=y,所以=y ”是 %2 + / 2孙”的充要条件,故选：C.11. （2022秋,上海徐汇高一上海市南洋模范中学校考期末）设cZ一方是偶数”是叫是偶数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充要条件的判断即可选出答案.【详解】/是偶数等价于是偶数，故为充要条件，故选:C.12. （2023全国高一专

26、题练习）已知下列所给的各组乙4中，是q的充要条件的为（）A. p:a0B. P：两个三角形全等，q：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等C. pa = h , c/：a2 =b2D. P：两直角三角形的斜边相等，q：两直角三角形全等【答案】B【分析】直接利用充分条件和必要条件判断A、B、C、D的结论.【详解】对于A选项，时0,解得：。0或所以同0,但同070,故，为夕的充分不必要条件，故A错误；B选项：根据全等三角形的性质及判定可知，P0q,故是4的充要条件，故B正确；C选项，由/=可得或 =_，则为4的充分不必要条件，故C错误；D选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等，但两直角三角

27、形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等，例如：RtZkABC 中？3 90?, AB = 1,BC = S,斜边 AC = 28,Rt。所中 NE = 90。，DE=EF = 2,则斜边。歹=2及，故为4的必要不充分条件.故选：B.题型五：根据充要条件求参数问题13. （2023全国高一专题练习）方程/+入+ 2 = 0与/+2%+ % =。有一个公共实数根的充要条件是（）.A. k = 3B. k =。C. % = 1D. k = -3【答案】D【分析】先利用判别式求得上的取值范围，然后结合充要条件的知识求得上的值.【详解】方程f+辰+2 = 0有实根,故=42_820,解得女2夜或女加,方

28、程%之+ 2x +左=0有实根，故八=4一4k20,解得ZKL综上所述，攵-2夜，只有D选项符合.若方程M+日+ 2 = 0与12+21+ % = 0有一个公共实数根，设公共实根为天,；：二；两式相减得（2）为+（2-4）=0,（-2）与=2, 由于左一2。0,所以为 =1,所以 1 +左+ 2 = 0,% = 3.当左=一3时，两个方程分另U为1一3% + 2 = 0、f+2x 3 = 0,方程犬3x + 2 = 0的两个根为1,2；方程f + 2x-3 = 0的两个根为1, -3 ；即方程f+日+2 = 0与必+2%+ % = 0有一个公共实数根.综上所述，方程d+辰+2 = 0与V+2x

29、 +攵=0有一个公共实数根的充要条件是左二-3.故选：D14. （2022.高一单元测试）方程以2+21+ 1=0至少有一个负实根的充要条件是（）A. 0611 B. 9 1C. aD. 0Kl或qvO【答案】C【分析】按 =0和4W0讨论方程改2+2x + l=0有负实根的等价条件即可作答.【详解】当。=0时，方程为2x+l = 0有一个负实根工=-!，反之， = -g时，则。=0,于是得。=0； 22当时，A = 4-46z,若（）,方程有两个不等实根玉,工2，= -0,即不与演一正一负， a反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0, a0,于是得0, a2% + % = 0若。0

30、,由ANO,即0 0 a A = 4-4（2 0一2反之，方程/+2工+ 1 = 0两根%，工2都为负，则代+工2= 0 、-a综上，当al时，方程依2+2x + l = 0至少有一个负实根，反之，方程依2+2工+ 1 = 0至少有一个负实根，必有1.所以方程以2+21+ 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是a2D. av-2或。2【答案】B【分析】先求出一元二次方程/+办+ 1 = 0有两个不相等的正实根时的取值范围，再根据充要条件的定义即可求 解.【详解】解： 一元二次方程/+6+ 1 = 0有两个不相等的正实根，设两根分别为：斗W，A = q2-4。故玉+工2 = 0 ,xx2= 1

31、0解得：a5 （2）a3a4【分析】（1）当，=2时，求出集合A、B,利用补集和交集的定义可求得集合（瘵4）c（B）；（2）分析可知，B A,利用集合的包含关系可得出关于实数。的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）因为A0x 2x5?,当a = 2时，B = x|l%3,因为全集。=R,则 dA = x|x5,电 B =或 23,因此,（您4）c（胆）=小41或x5.（2）易知集合3 =小一1 X。+ 1,。氏为非空集合，a 122因为xeA是的必要不充分条件,则B A,所以，。+ ”5解得3a4.因此，实数。的取值范围是。|34.17. （2022秋广东东莞高一校考期中）已知集

32、合4 =卜卜集合5 = 祖根%W3m+ 1（1）当加=1时,求Ac3；（2）若xe A是xeB的必要条件，求实数机的取值范围.【答案】（1）AcB = %|0xk|（11一8,工6【分析】（1）根据交集直接运算求解；（2）由题意分析可得：B = A,分3 = 0和3H0两种情况，结合包含关系运算求解.【详解】（1）当机=1时，3 =卜|0%4,所以4门8 = %|0%1（2）因为xe A是xeB的必要条件，则当B = 0时，1一根23根+1,解得m -131当3/0时，3m + l- ,解得0一；261 - m 3 m+1、（r综上所述：阳的取值范围为一8,7I 618. （2023 全国高一专题练习）设。=R,已知集合4 = 幻2x5, B = xm+lx2m-i.（1）当43时，求实数z的范围；（2）设p：xcA；q”B,若是夕的必要不充分条件，求实数加的范围.【答案】（1）根3（2）m3【分析】（1）由题意知，4是集