第20讲最小公倍数（教）.docx

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1、学科教师辅导讲义学员编号：学员姓名：年 级：五年级辅导科目：奥数课时数：3学科教师：授课主题第20讲一一最小公倍数授课类型T同步课堂p实战演练S归纳总结教学目标1掌握倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法；2会利用最小公倍数解决实际问题。授课日期及时段 (Textbook-Based)-同步课堂知识梳理一*一、约数和倍数的定义整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的约数（在自然数的范围内）。如：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数；18 的约数有 1、18、2、9、3、6o注意：一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。任何数都有最小的约数1,最大的约数本身，

2、最小的倍数也是本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12其中最小的 倍数是3 ,没有最大的倍数。因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来提出的。如果数a与数b 相乘的积是数c, a与b都是c的因数。二、2、3和5倍数的特征2的倍数的数特征是个位是0、2、4、6、8,是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数5的倍数的数特征是个位是0或53的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数三、质数与合数(1)只有1和本身两个因数的数叫做质数(或素数)(2)除了 1和本身外还有其它因数的数叫做合数(3)

3、1既不是质数，也不是合数(4) 100 以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、 71、 73、 79、 83、 89、 97。(5)几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有 2、4、6、8、10、12、14、16、183的倍数有3、6、9、12、15、18其中6、12、18是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。记作3 =6。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公约数的

4、个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。注意：最大公约x最小公倍数=两数的乘积,即（a, b） x b=axb。典例分析骡考点一：最小公倍数的求法例1、列举法：求6和10的最小公倍数。【解析】先分别写出6和8各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。6 的倍数：6 , 12 , 18 , 24 , 30, 36, 42, 48 10 的倍数：10 , 20, 30, 40, 50所以6和10的最小公倍数是30o例2、短除法：求56和24的最小公倍数。2 I 28122 1467356和24的最小公倍数是2X2X2X7X3=168例3、分解质因数法：求120和100的最小公倍数【解析】12

5、0=2x2x2x3x5100=2x2x5x5120, 100=2x2x2x3x5x5=600例4、多个数求最小公倍数：求45、60和75的最小公倍数解析3 14560 90315203055201021卜212145, 60, 90=180（当除到任意两数还有公因数时，则还要继续除下去）考点二：应用最小公倍数巧算例1、一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数的工，小亮答错5道题，两人都答错的题目占题目 4总数的工，已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，则他们都答对的题有多少道.6【解析】因小明答错的恰是题目总数的工，两人都答错的题目占题目总数的工，所以题目的总数应是4和6 46

6、的倍数，然后根据小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，分情况进行解答。 解：已知题目个数一定是整数.设为XX是4和6的倍数.且4 5, X30；6有二 10；2 x一 5时，即X20时，4所以X=24；答：都答对的题有24-5-6+4=17。例2、某加油站有二位员工，从今年1月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后休 息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有多少天要聘1个时工人？【解析】甲每到4的倍数就休息，而乙每到7的倍数和比7的倍数少一天都休息.因为4和7的最小公倍数是28,因为今年是平年，所以在28的倍数休息的日子时；365+28R5 （天），

7、而在比7的倍数少一天休息时，甲乙第一次重逢的日子是 第二十天，以后每隔28天就共同休息一天，365-20=345 （天），345+28%2 （天） 所以甲乙两人共同休息的天数是15+12+1=28 （天）例3、一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔6米 栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？（希望杯考题）【解析】这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：96+4+1=25 （个）后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6 的最小公倍数是12,所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必

8、挖。96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。 96-12+1=9 （个）答：。重新挖树坑时可以少挖9个。考点三：最小公倍数综合例1、有一些画片，如果平均分给3个同学，还余1张；如果平均分给5个同学，还余3张；如果平均分给4 个同学，则少2张.这些画片至少有多少张？【解析】由于平均分给3个同学，还余1张则这个数减1是3的倍数；如果平均分给5个同学，还余3张则这 个数减3是5的倍数；如果平均分给4个同学，则少2张则这个数加2是4的倍数.因此，我们可从3, 4, 5的最小公倍数入手来分析一下，3, 4, 5的最小公倍数为3x4x6x=60.由于是求最

9、小，我们可从减开 始,如果平均分给4个同学，则少2张,60-2=58, 58+3=191, 58+5=113,所以这个数最小为58.解：根据题意可知，这个数减1是3的倍数，减3是5的倍数，加2是4的倍数.3, 4, 5的最小公倍数为3x4x6x=60.60-2=58,58+3=19-1,58+5=11 3,所以这个数最小为58.例2、有一位天文观察家，他观察一颗行星靠近地球的情况是有规律的，只要是年份数除以10余数是5,且被3、5、7、9除时，没有余数，从公元00年到公元2000年时，星球飞近多少次？【解析】因为3、5、7、9的最小公倍数是：5x7x9=315,所以 2000 以内，3、5、7

10、、9 的公倍数有：315、630、945、1260、1575、1890；其中630、1260、1890是10的倍数，不符合题意；所以公元315年、945年、1575年行星靠近地球，即共有3次.答：从公元00年到公元2000年时，星球飞近3次.P（Pract i ce-0r i ented）一实战演练实战演练 课堂狙击一、填空题1、30以内3的倍数有（），4的倍数有（），3和4的公倍数有（），最小公倍数是（）。【解析】（3、 6、 9、 12、 15、 18、 21、 24、 27、 30 ）, （ 4、 8、 12、 16、20、 24、 28 ）, （12、 24）, （12）2、在12、1

11、5、36、64、450、950六个数中，是3的倍数有（），是5的倍数的有（）,是2的倍数的有（）；是2和5的公倍数的有（），是2和3的公倍数的有（），是3和5的公倍数的有（）；同时是2、 3和5的公倍数的数是（）。【解析】（12、15、36、450）, （15、450、950）, （12、36、64、450、950）, （450、950）, （12、36、450）, （15、 450）, （450）3、用0、3、5、7四个数组成一个同时是2和5的倍数的四位数，最大是（），最小是（ ）o【解析】（7530）, （3570）4、要使601既是2的倍数，又是3的倍数，那么口里可以填（）o【解析】（2

12、、5、8）二、解答题5、写出每组数的最小公倍数8和1051和35和457和1991和79和1【解析】40, 51, 20, 57, 91, 96、一个汽车站内有两路公共汽车.甲路汽车每隔4分钟发出一辆，乙路汽车每隔6分钟发出一辆，至少每隔 多少分钟，两路汽车会同时发车？【解析】4和6的最小公倍数为12,如果每天两车首发为同一时间的话，则两车至少每隔12分钟会同时发车。7、一排路灯，原来每两盏之间的距离是30米，现在改用50米，如果起点的一盏路灯不动，至少再隔多少米 又有一盏不必移动？【解析】因为30和50的最小公倍数是150,所以至少再隔150米又有一盏不必移动；答：至少再隔150米又有一盏不

13、必移动.8、有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一 箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？【解析】根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都能装整 箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。我们可以先求出24、28和32 的最小公倍数672,再根据“总数在1000以内”确定水果总数。24, 28, 32=6726722=670 （个）即:这批水果共有670个。 课后反击一、判断题1、一个数最小的倍数与它最大的因数相等。（）2、两个

14、质数的最小公倍数是它们的乘积。（）【解析】（q二、选择题3、a是一个质数，则a的倍数有（）个A、1个B、2个C、无数个4、如果b是一个整数，那么2b一定是()A、合数B、偶数C、素数【解析】C, B三、解答题5、甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一 次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？【解析】从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。因为3、 4、5的最小公倍数是60,所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。6、两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90,求

15、这两个数分别是多少？ 【解析】9和90或18和45。7、一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？【解析】把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在耍求长方体砖块最少, 它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系 就能求出长方体砖的块数。答案：150块8、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经 过多少时间三人又同时从出发点出发？【解析】甲跑一圈需要600+3=200秒，乙跑一圈需要600+4=150秒，丙跑一圈需要600+2=

16、300秒。要使三人 再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。200、150和300的最小公倍数是 600,所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。直击赛场 aXS (Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法；2、利用最小公倍数解决实际问题。名师点拨1、解答与公因数或公倍的应用题，关键是先求出最大公因数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。最 小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通 过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。2、几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作a、b,当（a、b） =1时，a、b= abo两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：最大公约数x最小公倍数=两数的乘积即（a、b）又忸、b= axb要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知 条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆。学霸经验 /本节课我学到我需要努力的地方是