第02课常用逻辑用语（学案）.docx

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1、第02课常用逻辑用语2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案考试要求：1 .理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2 .理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3 .理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.一、【考点逐点突破】【考点1若则是q的充今1条件，。是。的必要条件.【典例】已知集合/ = 卜=12 3x+1, xR, 8= x|x+2能20.命题夕：命题q： xWB,并且q是0的必要条件，求实数机的取值范围.【解析】由已知可得41 314 J, B= xx 2m.因为q是p的必要条件，所以p=q,所以ZGB,所以一2mW ,所以m9 4

2、8即实数m的取值范围是8 J.【反思】首先弄清楚充分条件，必要条件的概念；根据必要条件求参数的取值范围时，先将小 夕等价转化，再根据必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系, 然后建立关于参数的不等式（组）进行求解.【考点2若p=q且q分），则p是q的充分不必要条件.【典例】（多选）若2%20是一2%q的充分不必要条件，则实数。的值可以是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【解析】由N%20,解得一lxv2.Vx2%20是一2l0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】因为数列。是公差不为0的无穷等差数列，当

3、斯为递增数列时，公差d0,令ana+ （w - 1） d0,解得nl - y, 1 -半表示取整函数，所以存在正整数No=l+1-祟，当 时，an0,充分性成立；当 时，an0, an.i0,乙：Sn 是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】由题，当数列为一 2, - 4, 一 8时，满足q0,但是Sj不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.若Sn是递增数列，则必有an0成立，若q0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾 的，则成立，所以甲是乙的必要条件.故选：B.【典例4】【20

4、16-浙江】命题“V% R, 3n GN*,使得九/”的否定形式是（）A. Vx G R, 3n E N*,使得九 /B. Yx R, Xfn e N*,使得九 V %?C. 3% e R, 3n E N*,使得 n V /d. Bx E R, fn N*,使得九 /【解析】V的否定是小 三的否定是V,n的否定是几%2.故 选D.【典例5】【2016-山东】已知直线a, b分别在两个不同的平面a, 6内.则直线a和直线b相交 是平面a和平面6相交的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【解析】直线a和直线b相交=平面a和平面0相交，但平面a和平面/

5、?相交分直线a和直线b相交，所以直线a和直线b相交是平面a和平面/?相交的 充分不必要条件,故选A.【典例6】【2016-天津】设a是首项为正数的等比数列，公比为q，贝q0是对任意的正整数，的（）（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件【解析】由题意得，。2几-1 + a2n 0 = ai（Q2n-2+ Q2n-1） 0 q2（ni）（q +l）0 0 q 三（一8, -1）,故是必要不充分条件，故选C.【典例7】【2015-天津】设6R ,则、|%-2| 0 的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

6、【解析】|x - 21 1 o 1% 21x 0 = % 1,所以氏2 0 的充分不必要条件，故选A.【典例8X2015-四川】设a,b都是不等于1的正数，则/（%） = 2“是g（%） = / +。%的（）（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【解析】若3a 3b 3,则abl,从而有loga3 logfo3,故为充分条件.若loga3 b 1,比如.a = ,b = 3,从而3a 36 3不成立.故选B.【反思】定义法：根据夕=9,/进行判断，适用于定义、定理判断性问题.【考点3若夕方夕且则p是q的必要不充分条件.【典例】已知)：Ely, q： l

7、ogu0,所以P对应的x的范围为(0, +),由logzxvO知04q,则p是q的充要条件.【典例】已知两个关于x的一元二次方程mx24x+4 = 0和X2 4mx+4m24m 5 = 0,求两 方程的根都是整数的充要条件.【解析】因为加4x+4 = 0是一元二次方程,所以mWO.又另一方程为%24mx+4m24/7? 5 = 0,且两方程都要有实根,所以pi = 16(l-m)0,廿2= 16m24(4加24m 5)三0,解得加4 因为两方程的根都是整数, 故其根的和与积也为整数,4 ez,m所以4加 &Z,4m2Am 5 Z.所以加为4的约数.5, 1又因为能 4, .所以m = 或1.当

8、m 时，第一个方程N+4x4 = 0的根不是整数;而当 2=1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根均为整数的充要条件是加=1.【反思】探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条 件的充分性和必要性.【考点5若夕今q且q今夕，则夕是q的既不充分也不必要条件.【典例】（多选）已知a, b, c是实数，下列结论中正确的是（）A. “屋炉”是26”的充分条件B. “层炉”是、6”的必要条件cm是的充分条件D. “冲|”是泌”的既不充分也不必要条件【解析】对于A,当a=-5, 6=1时，满足屋 及，但是a6,所以充分性不成立；对于B, 当4=1,6=2时，满足但是层儿2

9、得cWO, 则有ab成立，即充分性成立，故正确；对于D,当a=-5, 6=1时，同|臼成立，但是 所以充分性不成立,当a=l, b= 2时，满足0）但是同|臼” 是、6的既不充分也不必要条件.故选CD.【反思】抓住定义，用定义进行判断.【考点6】设为=%?（%）, 4=%|式x）.若夕是q的充分条件，则【典例】（多选）下列说法正确的是（）A. ac=bc”是“a = b”的充分不必要条件B. &4”是“abOv是 q乂（eN, 22）” 的充要条件【解析】A项，4c = 6c不能推出比如。=1, b = 2,。=0,而 可以推出ac=6c, 所以“ac=bc”是“a = b”的必要不充分条件，

10、故错误；B项，不能推出比如!一!，但是2 3；不能推出冬4，比如一23, a b23a b2 3所以“工4”是“ab（N, 三2）不能推出 ab0,比如 4=1, b = O,lO”N, 22）满足，但是 ab0 不满足，所以必要性不满足，故错误.故选BC.【反思】把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系 列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.【考点7设4=加(%), 8=%0(%).若是q的充分不必要条件，则【典例】已知集合河=-1,1,那么令是“三,金一2、+iqWO”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【解析

11、】 m)M4x-2x+i-aW0,a (4A 2A+1)min1,1,设 t=2x,1 2则人。=e2%=1)21, t2，._AOmM=AD= -1,，。2一1,2 _L 十8vL 3,J 县一L + 8),9. “a一3是2* iaWO”的充分不必要条件.故选A.【反思】集合法：根据p, q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数 范围的推断问题.【考点8设4=而(%), B=xq(x).若p是夕的必要不充分条件，则【典例】已知0q：|%+2M3,且夕是夕的必要不充分条件，则实数。的取值范围是 ()A. (8, 1B. (8, 1)C. 1, +8)D. (1, +8)【解

12、析】因为夕：|%+2旬3,所以 q：2a 3x2a+3,记 / = 32a 3x2a+3,p：记为 3=x|%2a.因为夕是q的必要不充分条件，所以/品8,所以 aW2a 3,解得 aW 1.【反思】把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系 列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.【考点9设4=加(%), 5=x|q(x).若夕是q的充要条件，则4=A【典例】已知集合/= %|a 2xq + 2 , B= x|%W 2或124,则/门8 = 0的充要条件是【解析】AHB=0-40WqW2.L222【反思】设/= %以8), 8=3q(x),则2是0的充要条件有

13、4=A【考点10全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符 号“封”表示.【典例】下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A.每个二次函数的图象都开口向上B.存在实数%,平方为8C.所有菱形的四条边都相等D.存在一个实数%使不等式23%+60成立【解析】A, C选项为全称量词命题，A选项错误，C选项正确，B, D选项为存在量词命题. 故选C.【反思】全称量词命题的判断：判断语句是否为命题，若不是命题，若是命题，再分析命题中 所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题.【考点11】存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并 用符号“3

14、”表示.【典例】下列命题中是存在量词命题的是()A. VxGR, J?。B. ExR, x2 蝠xo+L。4B.所有的正方形都是矩形C. 3xoR, x8+2xo+2 = OD.至少有一个实数x,使/+1=。【解析】由条件可知：原命题为特称命题且为假命题，所以排除BD；又因为/工 + ； =4卜320, x2+2x+2 = (x+l)2+l0,所以AC均为特称命题且为假命题，故选AC.【反思】判定全称命题“弋xRM,)(%)”是真命题，需要对集合/中的每一个元素工,证明 p(x)成立；要判定特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个犹，使夕(10)成立.【考点13】存在量词命题：存在/中的元素

15、x,夕(x)成立，简记:太阳,夕(x),否定：中(%)【典例】已知命题：e一配一1W0”,则为()A. R, eAxo10B. 3xoR? exo10C. /xR, evx10D. ex1 0【解析】根据全称命题与特称命题的否定关系，可得Y为X/%R, ex10，故选C.【反思】对全称命题、特称命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；(2)对原命题的结论进行否定.【考点14区别4是B的充分不必要条件(42S且8分A),与A的充分不必要条件是B(BnA 且/分8)两者的不同.【典例】若不等式(xQ)2Vl成立的充分不必要条件是142,则实数。

16、的取值范围是【解析】由(X Q)2Vl得Q1Xq+1,因为1X2是不等式(X )21成立的充分不必要条件，所以满足,;I:，且等号不能同时取得，+1三2W2, a叫解得14W2.【反思】4是3的充分不必要条件与4的充分不必要条件是8是不同的，要注意区别.【考点15】含量词命题求参数T【典例】已知於)=ln(/+l), g(x)=Eh2,若对例0,3, 3x2el,2,使得i)2g(x2), 则实数m的取值范围是.【解析】当XWQ3时，段)min=AO) = O,当xl,2时,g(%)min=g(2)=；m,由题意得 /(X)min 2g(X)min,即0三1一2,所以加三I 44【反思】由命题

17、真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围;二是利用等价命题，即P与寸的关系，转化成寸的真假求参数的范围.二、【考点教材拓广】【典例1】【教材23页第6题】设a,b,c分别是 A ABC的三条边,且abc2.证明：必要性：当A ABC是锐角三角形时，如图(1),过点A作AD1 BC,垂足为D,设 CD = x,则有8。= a -根据勾股定理，得 按一%2 = c2 - (a - x)2,整理得 a2+ b2= c2+ 2ax, v a 0,x 0,2ax 0,. a2 + b2 c2.充分性：在 ABC中，a2+ b2 c2fa zC不是直角.假设乙c为钝角，如图，过B

18、作BD1 AC,交AC的延长线于D.设 CD = y,则 BD2= a2 y2, 根据勾股定理, 得 c2= (b + y)2+ (a2 y2) = a2 + b2 + 2by a2 + b2, 与a2 + b2 c2矛盾，.C为锐角，即AABC为锐角三角形.ABC为锐角三角形的一个充要条件是a2 + b2c2. 若A ABC是钝角三角形，乙C为钝角，则有a2 + b2 0,y 0,2by 0,. a2 + b2 c2.充分性：在 ABC中，a2 + b2 c2fa zC不是直角.假设 Z.C 为锐角，如图(1),显然 c2= & _ %2) + (a - %)2= a2+ b2 - 2ax

19、a2+ b2,与 a2 + b2 c2矛盾，:乙C为钝角，即 ABC为钝角三角形.： ABC为钝角三角形的一个充要条件是a2+ b2 1,则2% + 1 5;（假命题）若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等.（真命题）这里，命题都是省略了量词的全称量词命题.（1）有人认为，的否定是若久1,则2% + 1 1,2% + 145.（真命题）的否定:至少有一个等腰梯形的对角线不相等.（假命题）略.【典例3】【教材35页12题】根据下述事实，分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命 题：1 = I2,1 + 3 = 22,1 + 3 + 5 = 32,1 + 3 + 5 + 7 = 42,1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52,（第12题）如图，在中，4D,BE与CF分别为BC,AC与AB边上的高，则AD,BE与CF