2024年全国Ⅱ卷数学真题.pdf

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1、试卷第 1 页，共 4 页 20242024 年新课标全国年新课标全国卷数学真题卷数学真题 一、单选题一、单选题 1已知1 iz=，则z=（）A0 B1 C2 D2 2已知命题 p：x R，|1|1x+；命题 q：0 x，3xx=，则（）Ap和 q都是真命题 Bp和 q都是真命题 Cp 和q都是真命题 Dp和q都是真命题 3已知向量,a b满足1,22aab=+=，且()2bab，则b=（）A12 B22 C32 D1 4某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（均在)900,1200之间，单位：kg）并部分整理下表 亩产量 900，950）950，1

2、000）1000，1050）1100，1150）1150，1200）频数 6 12 18 24 10 据表中数据，结论中正确的是（）A100 块稻田亩产量的中位数小于 1050kg B100 块稻田中亩产量低于 1100kg 的稻田所占比例超过 80%C100 块稻田亩产量的极差介于 200kg 至 300kg 之间 D100 块稻田亩产量的平均值介于 900kg 至 1000kg 之间 5已知曲线 C：2216xy+=（0y），从 C上任意一点 P 向 x 轴作垂线段PP，P为垂足，则线段PP的中点 M 的轨迹方程为（）A221164xy+=（0y）B221168xy+=（0y）C22116

3、4yx+=（0y）D221168yx+=（0y）6设函数2()(1)1f xa x=+，()cos2g xxax=+，当(1,1)x 时，曲线()yf x=与()yg x=恰有一个交点，则=a（）A1 B12 C1 D2 试卷第 2 页，共 4 页 7已知正三棱台111ABCABC-的体积为523，6AB=，112AB=，则1A A与平面 ABC 所成角的正切值为（）A12 B1 C2 D3 8设函数()()ln()f xxaxb=+，若()0f x，则22ab+的最小值为（）A18 B14 C12 D1 二、多选题二、多选题 9对于函数()sin2f xx=和()sin(2)4g xx=，下

4、列说法正确的有（）A()f x与()g x有相同的零点 B()f x与()g x有相同的最大值 C()f x与()g x有相同的最小正周期 D()f x与()g x的图像有相同的对称轴 10抛物线 C：24yx=的准线为 l，P为 C上的动点，过 P作22:(4)1A xy+=的一条切线，Q为切点，过 P 作 l的垂线，垂足为 B，则（）Al与A相切 B当 P，A，B 三点共线时，|15PQ=C当|2PB=时，PAAB D满足|PAPB=的点P有且仅有 2 个 11设函数32()231f xxax=+，则（）A当1a 时，()f x有三个零点 B当0a 时，0 x=是()f x的极大值点 C存

5、在 a，b，使得xb=为曲线()yf x=的对称轴 D存在 a，使得点()()1,1f为曲线()yf x=的对称中心 三、填空题三、填空题 12记nS为等差数列na的前 n项和，若347aa+=，2535aa+=，则10S=.13已知为第一象限角，为第三象限角，tantan4+=，tantan21=+，则sin()+=.试卷第 3 页，共 4 页 14在如图的 44 方格表中选 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的 4 个数之和的最大值是 四、解答题四、解答题 15记ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知sin

6、3cos2AA+=(1)求 A(2)若2a=，2 sinsin2bCcB=，求ABC的周长 16已知函数3()exf xaxa=(1)当1a=时，求曲线()yf x=在点()1,(1)f处的切线方程；(2)若()f x有极小值，且极小值小于 0，求 a的取值范围 17 如图，平面四边形 ABCD中，8AB=，3CD=，5 3AD=，90ADC=，30BAD=，点 E，F 满足25AEAD=，12AFAB=，将AEF沿 EF对折至PEF，使得4 3PC=(1)证明：EFPD；(2)求面 PCD与面 PBF 所成的二面角的正弦值 18某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如

7、下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次，若 3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为 0 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每试卷第 4 页，共 4 页 次投中的概率为 p，乙每次投中的概率为 q，各次投中与否相互独立(1)若0.4p=，0.5q=，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率(2)假设0pq，（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成

8、绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19已知双曲线()22:0C xym m=，点()15,4P在C上，k为常数，01k按照如下方式依次构造点()2,3,.nP n=，过1nP作斜率为k的直线与C的左支交于点1nQ，令nP为1nQ关于y轴的对称点，记nP的坐标为(),nnxy.(1)若12k=，求22,xy；(2)证明：数列nnxy是公比为11kk+的等比数列；(3)设nS为12nnnP P P+的面积，证明：对任意的正整数n，1nnSS+=.答案第 1 页，共 20 页 参考答案：参考答案：1C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1 iz=，则()()22112z=+=

9、.故选：C.2B【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x、1x=，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p而言，取=1x，则有101x+=，故p是假命题，p是真命题，对于q而言，取1x=，则有3311xx=，故q是真命题，q是假命题，综上，p和q都是真命题.故选：B.3B【分析】由()2bab得22ba b=，结合1,22aab=+=，得221 441 64a bbb+=+=，由此即可得解.【详解】因为()2bab，所以()20bab=，即22ba b=，又因为1,22aab=+=，所以221 441 64a bbb+=+=，从而22=b.故选：B.4C【分析】计算出前三段频数即

10、可判断 A；计算出低于 1100kg 的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断 C；根据平均值计算公式即可判断 D.【详解】对于 A,根据频数分布表可知,6 12 183650+=,所以亩产量的中位数不小于 1050kg,故 A 错误；对于 B，亩产量不低于1100kg的频数为341024=+，所以低于1100kg的稻田占比为1003466%100=，故 B 错误；答案第 2 页，共 20 页 对于 C，稻田亩产量的极差最大为1200900300=，最小为1150950200=，故 C 正确；对于 D，由频数分布表可得，亩产量在1050,1100)的频数为100(6 12 182

11、4 10)30+=，所以平均值为1(6 925 12 975 18 102530 107524 1125 10 1175)1067100+=，故 D错误.故选；C.5A【分析】设点(,)M x y，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P xy，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y，则0(,),(,0)P x yP x，因为M为PP的中点，所以02yy=，即(,2)P xy，又P在圆2216(0)xyy+=上，所以22416(0)xyy+=，即221(0)164xyy+=，即点M的轨迹方程为221(0)164xyy+=.故选：A 6D【分析】解法一：令()()21,cosaxF

12、xaxG x=+，分析可知曲线()yF x=与()yG x=恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在 y 轴上，即可得2a=，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h xf xg xx=，可知()h x为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x的零点只能为 0，即可得2a=，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f xg x=，即2(1)1cos2a xxax+=+，可得21cosaxax=+，令()()21,cosaxF xaxG x=+，原题意等价于当(1,1)x 时，曲线()yF x=与()yG x=恰有一个交点，注意到()(),F xG x均为偶函数，可知该交点

13、只能在 y 轴上，可得()()00FG=，即1 1a=，解得2a=，若2a=，令()()F xG x=，可得221 cos0 xx+=因为()1,1x，则220,1 cos0 xx，当且仅当0 x=时，等号成立，答案第 3 页，共 20 页 可得221 cos0 xx+，当且仅当0 x=时，等号成立，则方程221 cos0 xx+=有且仅有一个实根 0，即曲线()yF x=与()yG x=恰有一个交点，所以2a=符合题意；综上所述：2a=.解法二：令()()()2()1cos,1,1h xf xg xaxax x=+，原题意等价于()h x有且仅有一个零点，因为()()()()221cos1c

14、oshxaxaxaxaxh x=+=+=，则()h x为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x的零点只能为 0，即()020ha=，解得2a=，若2a=，则()()221cos,1,1h xxx x=+，又因为220,1 cos0 xx当且仅当0 x=时，等号成立，可得()0h x，当且仅当0 x=时，等号成立，即()h x有且仅有一个零点 0，所以2a=符合题意；故选：D.7B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高4 33h=，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得4 33AM=，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台111ABCABC-补成正三棱锥PABC，1A A与

15、平面 ABC 所成角即为PA与平面 ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABCV=，进而可求正三棱锥PABC的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取11,BC BC的中点1,D D，则113 33AD,AD=，可知1 1 11316 69 3,233222ABCA B CSS=，设正三棱台111ABCABC-的为h，则()1 1 11529 339 3333ABC A B CVh=+=，解得4 33h=，答案第 4 页，共 20 页 如图，分别过11,A D作底面垂线，垂足为,M N，设AMx=，则22211163AAAMAMx=+=+，2 3DNADAMMNx=-=-，可得()22211

16、162 33DDDND Nx=+=+，结合等腰梯形11BCC B可得22211622BBDD=+,即()2216162 3433xx+=+，解得4 33x=，所以1A A与平面 ABC 所成角的正切值为11tan1AMA ADAM?=；解法二：将正三棱台111ABCABC-补成正三棱锥PABC，则1A A与平面 ABC所成角即为PA与平面 ABC 所成角，因为11113PAABPAAB=，则1 1 1127P A BCP ABCVV=，可知1 1 12652273ABC A B CP ABCVV=，则18P ABCV=，设正三棱锥PABC的高为d，则1136 618322P ABCVd=，解得

17、2 3d=，取底面 ABC 的中心为O，则PO底面 ABC，且2 3AO=，所以PA与平面 ABC 所成角的正切值tan1POPAOAO=.故选：B.答案第 5 页，共 20 页 8C【分析】解法一：由题意可知：()f x的定义域为(),b+，分类讨论a与,1bb的大小关系，结合符号分析判断，即可得1ba=+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()xb+的符号，进而可得xa+的符号，即可得1ba=+，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x的定义域为(),b+，令0 xa+=解得xa=；令ln()0 xb+=解得1xb=；若 ab，当(),1xbb 时，可知()0,l

18、n0 xaxb+，此时()0f x，不合题意；若1bab ，当(),1xab 时，可知()0,ln0 xaxb+，此时()0f x，不合题意；若1ab=，当(),1xbb 时，可知()0,ln0 xaxb+，此时()0f x；当)1,xb+时，可知()0,ln0 xaxb+，此时()0f x；可知若1ab=，符合题意；若1ab ，当()1,xba时，可知()0,ln0 xaxb+，此时()0f x，不合题意；综上所述：1ab=，即1ba=+，则()2222211112222abaaa+=+=+，当且仅当11,22ab=时，等号成立，所以22ab+的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x的

19、定义域为(),b+，令0 xa+=解得xa=；令ln()0 xb+=解得1xb=；则当(),1xbb 时，()ln0 xb+，故0 xa+，所以10ba+；()1,xb+时，()ln0 xb+，故0 xa+，所以10ba+；故10ba+=，则()2222211112222abaaa+=+=+，答案第 6 页，共 20 页 当且仅当11,22ab=时，等号成立，所以22ab+的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0 xa+=、ln()0 xb+=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.9BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每

20、个选项即可.【详解】A 选项，令()sin20f xx=，解得,2kxk=Z，即为()f x零点，令()sin(2)04g xx=，解得,28kxk=+Z，即为()g x零点，显然(),()f x g x零点不同，A 选项错误；B 选项，显然maxmax()()1f xg x=，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x的周期均为22=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x的对称轴满足2,224kxkxk=+=+Z，()g x的对称轴满足32,4228kxkxk=+=+Z，显然(),()f x g x图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC 10ABD【分

21、析】A 选项，抛物线准线为=1x，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,P A B三点共线时，先求出P的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB=先算出P的坐标，然后验证1PAABk k=是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PBPF=，于是问题转化成PAPF=的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24yx=的准线为=1x，A的圆心(0,4)到直线=1x的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和A相切，A 选项正确；答案第 7 页，共 20 页 B 选项，,P A B三点共线时，即PAl，则P的纵坐标4Py=，由2

22、4PPyx=，得到4Px=，故(4,4)P，此时切线长22224115PQPAr=，B 选项正确；C 选项，当2PB=时，1Px=，此时244PPyx=，故(1,2)P或(1,2)P，当(1,2)P时，(0,4),(1,2)AB，4220 1PAk=，4220(1)ABk=，不满足1PAABk k=；当(1,2)P时，(0,4),(1,2)AB，4(2)60 1PAk=，4(2)60(1)ABk=，不满足1PAABk k=；于是PAAB不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，PBPF=，这里(1,0)F，于是PAPB=时P点的存在性问题转化成PAPF=时P

23、点的存在性问题，(0,4),(1,0)AF，AF中点1,22，AF中垂线的斜率为114AFk=，于是AF的中垂线方程为：2158xy+=，与抛物线24yx=联立可得216300yy+=，2164 301360=，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得PAPF=，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4tPt，由PBl可得()1,Bt，又(0,4)A，又PAPB=，根据两点间的距离公式，422(4)1164ttt+=+，整理得216300tt+=，2164 301360=，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D 选项正确.故选：ABD 答案第 8 页，共 20 页

24、 11AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,xxa=，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x在(1,0),(0,),(,2)aaa上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b，使得xb=为()f x的对称轴，则()(2)f xfbx=为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a，使得(1,3 3)a为()f x的对称中心，则()(2)66f xfxa+=，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()fxxaxx xa=，由于1a，故()(),0,xa+时()0fx，故()f x在()(),0

25、,a+上单调递增，(0,)xa时，()0fx，()f x单调递减，则()f x在0 x=处取到极大值，在xa=处取到极小值，由(0)10=f，3()10f aa=，则(0)()0ff a，根据零点存在定理()f x在(0,)a上有一个零点，又(1)1 30fa=，3(2)410faa=+，则(1)(0)0,()(2)0fff a fa，则()f x在(1,0),(,2)aa上各有一个零点，于是1a 时，()f x有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()fxx xa=，a0时，(,0),()0 xafx，()f x单调递减，,()0 x+时()0fx，()f x单调递增，此时()f x在0

26、 x=处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b，使得xb=为()f x的对称轴，即存在这样的,a b使得()(2)f xfbx=，即32322312(2)3(2)1xaxbxabx+=+，根据二项式定理，等式右边3(2)bx展开式含有3x的项为303332C(2)()2bxx=，答案第 9 页，共 20 页 于是等式左右两边3x的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b，使得xb=为()f x的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简方法一：利用对称中心的表达式化简(1)3 3fa=，若存在这样的a，使得(1,3 3)a为()f x

27、的对称中心，则()(2)66f xfxa+=，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)18 12f xfxxaxxaxa xaxa+=+=+，于是266(126)(1224)18 12aa xaxa=+即12601224018 1266aaaa=，解得2a=，即存在2a=使得(1,(1)f是()f x的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f xxax=+，2()66fxxax=，()126fxxa=，由()02afxx=，于是该三次函数的对称中心为,

28、22aaf，由题意(1,(1)f也是对称中心，故122aa=，即存在2a=使得(1,(1)f是()f x的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x的对称轴为()(2)xbf xfbx=；（2）()f x关于(,)a b对称()(2)2f xfaxb+=；（3）任何三次函数32()f xaxbxcxd=+都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0fx=的解，即,33bbfaa是三次函数的对称中心 1295【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.答案第 10 页，共 20 页【详解】因为数列n

29、a为等差数列，则由题意得()1111237345adadadad+=+=，解得143ad=，则()10110 91010445 3952Sad=+=+=.故答案为：95.132 23【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan2 2+=，再缩小+的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得()()tantan4tan2 21 tantan121+=+，因为32,2,2,2 22kkmm+，,Zk m，则()()()22,222mkmk+，,Zk m，又因为()tan2 20+=，则()()322,2222mkmk+，,Zk m，

30、则()sin0+，则()()sin2 2cos+=+，联立()()22sincos1+=，解得()2 2sin3+=.法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则cos0,cos0,222cos1cossincos1tan=+，222cos1cossincos1tan=+，则sin()sincoscossincoscos(tantan)+=+=+222224442 24coscos31tan1tan(tantan)(tantan1)42=+故答案为：2 23.14 24 112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有 4、3、2、1 个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由

31、题意知，选 4 个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，答案第 11 页，共 20 页 则第一列有 4 个方格可选，第二列有 3 个方格可选，第三列有 2 个方格可选，第四列有 1 个方格可选，所以共有4 3 2 124 =种选法；每种选法可标记为(,)a b c d，a b c d,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,

32、22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的 4 个数之和最大，为15 21 33 43 112+=.故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别

33、有 4、3、2、1 个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.15(1)6A=(2)263 2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin3cos2AA+=进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B，然后根据正弦定理算出,b c即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin3cos2AA+=可得13sincos122AA+=，即sin()13A+=，由于 4(0,)(,)333AA+，故32A+=，解得6A=方法二：常规方法（同角三角函数的基本关

34、系）方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin3cos2AA+=，又22sincos1AA+=，消去sin A得到：224cos4 3cos30(2cos3)0AAA+=，解得3cos2A=，又(0,)A，故6A=方法三：利用极值点求解方法三：利用极值点求解 答案第 12 页，共 20 页 设()sin3cos(0)f xxxx=+，则()2sin(0)3f xxx=+，显然6x=时，max()2f x=，注意到()sin3cos22sin()3f AAAA=+=+，max()()f xf A=，在开区间(0,)上取到最大值，于是xA=必定是极值点，即()0cos3sinfAAA=，即

35、3tan3A=，又(0,)A，故6A=方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(1,3),(sin,cos)abAA=，由题意，sin3cos2a bAA=+=，根据向量的数量积公式，cos,2cos,a ba ba ba b=，则2cos,2cos,1a ba b=，此时,0a b=，即,a b同向共线，根据向量共线条件，31 cos3 sintan3AAA=，又(0,)A，故6A=方法五：利用万能公式求解方法五：利用万能公式求解 设tan2At=，根据万能公式，22223(1)sin3cos211ttAAtt+=+，整理可得，2222(23)(23

36、)0(23)ttt+=，解得tan232At=，根据二倍角公式，223tan13tAt=，又(0,)A，故6A=（2）由题设条件和正弦定理 2 sinsin22sinsin2sinsincosbCcBBCCBB=，又,(0,)B C，则sinsin0BC，进而2cos2B=，得到4B=，于是712CAB=，26sinsin()sin()sincossincos4CABABABBA+=+=+=，由正弦定理可得，sinsinsinabcABC=，即27sinsinsin6412bc=，解得2 2,62bc=+，答案第 13 页，共 20 页 故ABC的周长为263 2+16(1)()e 110 x

37、y=(2)()1,+【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a 和0a 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln10aa+，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e=xfxa有零点，可得0a，进而利用导数求()f x的单调性和极值，分析可得2ln10aa+，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a=时，则()e1xf xx=，()e1xfx=，可得(1)e2f=，(1)e 1f=，即切点坐标为()1,e2，切线斜率e1k=，所以切线方程为()()()e2e 11yx=，即()e 110 xy=.（2）解法一：因为()f x的定义域为R，且(

38、)e=xfxa，若0a，则()0fx对任意xR恒成立，可知()f x在R上单调递增，无极值，不合题意；若0a，令()0fx，解得lnxa；令()0fx，解得lnxa；可知()f x在(),lna内单调递减，在()ln,a+内单调递增，则()f x有极小值()3lnlnfaaaaa=，无极大值，由题意可得：()3lnln0faaaaa=，即2ln10aa+，构建()2ln1,0g aaaa=+，则()120gaaa=+，可知()g a在()0,+内单调递增，且()10g=，不等式2ln10aa+等价于()()1g ag，解得1a，所以 a 的取值范围为()1,+；解法二：因为()f x的定义域为

39、R，且()e=xfxa，答案第 14 页，共 20 页 若()f x有极小值，则()e=xfxa有零点，令()e0 xfxa=，可得exa=，可知exy=与ya=有交点，则0a，若0a，令()0fx，解得lnxa；令()0fx，解得lnxa；可知()f x在(),lna内单调递减，在()ln,a+内单调递增，则()f x有极小值()3lnlnfaaaaa=，无极大值，符合题意，由题意可得：()3lnln0faaaaa=，即2ln10aa+，构建()2ln1,0g aaaa=+，因为则2,ln1yaya=在()0,+内单调递增，可知()g a在()0,+内单调递增，且()10g=，不等式2ln1

40、0aa+等价于()()1g ag，解得1a，所以 a 的取值范围为()1,+.17(1)证明见解析(2)8 6565 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得2EF=，利用勾股定理的逆定理可证得EFAD，则,EFPE EFDE，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PEED，建立如图空间直角坐标系Exyz，利用空间向量法求解面面角即可.【详解】（1）由218,5 3,52ABADAEAD AFAB=，得2 3,4AEAF=，又30BAD=，在AEF中，由余弦定理得2232cos16 122 4 2 322EFAEAFAE AFBAD=+=+=,所

41、以222AEEFAF+=，则AEEF，即EFAD，所以,EFPE EFDE，又,PEDEE PEDE=、平面PDE，所以EF平面PDE，又PD 平面PDE，答案第 15 页，共 20 页 故EFPD；（2）连接CE，由90,3 3,3ADCEDCD=，则22236CEEDCD=+=，在PEC中，4 3,2 3,6PCPEEC=，得222ECPEPC+=，所以PEEC，由（1）知PEEF，又,ECEFE ECEF=、平面ABCD，所以PE 平面ABCD，又ED 平面ABCD，所以PEED，则,PE EF ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系Exyz，则(0,0,0),(0,0,2 3),(0,3

42、 3,0),(3,3 3,0),(2,0,0),(0,2 3,0)EPDCFA，由F是AB的中点，得(4,2 3,0)B，所以(3,3 3,2 3),(0,3 3,2 3),(4,2 3,2 3),(2,0,2 3)PCPDPBPF=，设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为111222(,),(,)nx y zmxy z=，则1111133 32 303 32 30n PCxyzn PDyz=+=，2222242 32 3022 30m PBxyzm PFxz=+=，令122,3yx=，得11220,3,1,1xzyz=，所以(0,2,3),(3,1,1)nm=，所以165cos,6551

43、3m nm nm n=，设平面PCD和平面PBF所成角为，则28 65sin1 cos65=，即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为8 6565.18(1)0.686(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i）首先各自计算出331(1)Ppq=甲，331(1)Pqp=乙，再作差因式分解即可 答案第 16 页，共 20 页 判断；(ii)首先得到X和Y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分，则甲第一阶段至少投中 1

44、 次，乙第二阶段也至少投中 1 次，比赛成绩不少于 5 分的概率()()331 0.61 0.50.686P=.（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率为331(1)Ppq=甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)Pqp=乙，0pq，3333()()PPqqpqpppq=+甲乙()2222()()()()()()qpqpqppqppqqpqppq qpq=+()2222()333pqp qp qpq=3()()3()(1)(1)10pq pq pqpqpq pqpq=，PP甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲

45、先参加第一阶段比赛，数学成绩X的所有可能取值为 0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P Xppq=+，()()()3213511C1P Xpqq=，3223(10)1(1)C(1)P Xpqq=，33(15)1(1)P Xpq=，()332()15 1(1)1533E Xpqpppq=+记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y的所有可能取值为 0，5，10，15，同理()32()1533E Yqqqp=+()()15()()3()E XE Ypq pq pqpq pq=+15()(3)pq pq pq=+，因为0pq，则0pq，3 1 1 30pq+，答案第 17 页，共 20 页

46、则()(3)0pq pq pq+，应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19(1)23x=，20y=(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P的坐标即可；（2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明nS的取值为与n无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明nS的取值为与n无关的定值即可.【详解】（1）由已知有22549m=，故C的方程为229xy=.当12k=时，过()15,4P且斜率为12的直线为32x

47、y+=，与229xy=联立得到22392xx+=.解得3x=或5x=，所以该直线与C的不同于1P的交点为()13,0Q，该点显然在C的左支上.故()23,0P，从而23x=，20y=.（2）由于过(),nnnPxy且斜率为k的直线为()nnyk xxy=+，与229xy=联立，得到方程()()229nnxk xxy+=.答案第 18 页，共 20 页 展开即得()()()2221290nnnnkxk ykxxykx=，由于(),nnnPxy已经是直线()nnyk xxy=+和229xy=的公共点，故方程必有一根nxx=.从而根据韦达定理，另一根()2222211nnnnnnk ykxkyxk

48、xxxkk=，相应的()2221nnnnnyk ykxyk xxyk+=+=.所以该直线与C的不同于nP的交点为222222,11nnnnnnnkyxk xyk ykxQkk+，而注意到nQ的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291nnnykxkx，故nQ一定在C的左支上.所以2212222,11nnnnnnnxk xkyyk ykxPkk+.这就得到21221nnnnxk xkyxk+=，21221nnnnyk ykxyk+=.所以2211222211nnnnnnnnxk xkyyk ykxxykk+=()()222222221211111nnnnnnnnnnxk xkxyk ykykk

49、kxyxykkkk+=.再由22119xy=，就知道110 xy，所以数列nnxy是公比为11kk+的等比数列.（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,U V W，若(),UVa b=，(),UWc d=，则12UVWSadbc=.（若,U V W在同一条直线上，约定0UVWS=）证明：211sin,1 cos,22UVWSUVUWUV UWUVUWUV UW=()222211122UV UWUVUWUVUWUV UWUVUW=()()()2222212abcdacbd=+222222222222122a ca db cb da cb dabcd=+()222221112222a db

50、cabcdadbcadbc=+=.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221nnnnxk xkyxk+=，21221nnnnyk ykxyk+=，答案第 19 页，共 20 页 故()()22211222221211111nnnnnnnnnnnnxk xkyyk ykxkkkxyxyxykkkk+=+=+=+.再由22119xy=，就知道110 xy+，所以数列nnxy+是公比为11kk+的等比数列.所以对任意的正整数m，都有 nn mnn mx yy x+()()()()()()1122nn mnn mnn mnn mnn mnn mnn mnn mx xy yx yy xx xy yx