随机过程论(钱敏平第3版)——习题及答案【ch02】 鞅论初步.docx

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1、第二章鞅论初步设而且对VOQM,跖=0.而且（fr I耳）=F3） FG）. *；/）I 是儿特别地.当IfJ是Bmm运动时.略出 MnC| 是，剜当 iMluwTI. |M?ieT| t片，T| . | 产）wT| 与 IMVC，力可枳分时,它们都是下靴,而IMAC“*力是上班,耳中人和C是常数 略改4.）（，.）是”.而且&：证明的增量是不相关的,也却不相女篦 区间上的0it互不相关略设径建#11的定义问例4. 是一正实L令a + s艺女）, 则当al时.1/一不是上明当。1时，是鞅1当。1时.第|是下明略设（MJO是一个帙.而且卬:则必存在唯一的一个*降可积分的正II机序 列IZ，使褥Z

2、/%,而且（4-Z.先）计2.略世（。,gP）上有偃率制度U.而且cMVIP.又型一族。代败:开 （,，）令办,和限分剧般U和dP在/上的限制,若记14对心.的KEon-NikMmi等 电;则（卬是明略举例说明在定笄23中.若取消更求Z. 史,，而改为Z.对.纥送应.则唯一性不 啦.略证明例5中怯是一个鞅。略设 u V, /（主）是上aa有限的可测函数.证明存在定义于*上的一列连续函数上（外,使得Hmg,3 = /（x） ae于E.证明，因为/）在上可测，由曾津定理，对任何正整数，存在E的可测子 集小使得，（EF）j同时存在定义在上的连续函数心3使得当.1工时有火工外=/。）。所以对任意的，7

3、0,成立（|/-g/之川u*,由此可得出-乩|2j4m（E-；）：因此呵闵|/-g/N =。，即8（x）n./（v）,由黎斯定理存在心（幻的子列使得证毕Jim g/r(x) = f(x) &e 于E.设。/；为a.e有限可测函数列，证明:1+1/；(刈的充要条件是（）= 0证明：若0 ,由于|稣，则IZJ no 1+1l/M. W(刈乂()4 4r 0, “(刈解:由已知条件能出发，构成相应的矩阵元Ay= |； Adr =卜：（的）机上 =巾：户（知）也是一个新函数，可以向正交回一基组/展开（根据展开定理，展开系数Q可以表达为必I 4）：。/= 2。漳广X （曲乂二 3 1c地人=AkAA将此

4、代入I二述4的表达式，并注意到心血是函数，而矩阵元或是常数：儿=/：4知）=J忖网X”= g/分户上= 3 = 的品这正是矩阵的一般乘枳的公式,矩阵元儿,= FJ就表明矩阵的一般乘积 kA=FG成立;而4 =尸6 乂是来自于於北，可见矩阵F与G相乘与算符户与淳相 乘满足相同的法则。证明右连续过程（）若对于I ,幻适应，则怙/对I .幻循序可测。略对于 X = P, Qkf.L W= Z Z（Y：乡（y）= z t /J-I见r）= z*za（a.Q）11. .设If.UiwZi是对称随机徘御，令“inin|ii*=N或& =%=/& + 8),再根据Riesz定理 *-+m3. 2.3, 3

5、/ s. t./ 二/(if+ oo). 乂 * msup | 八 II s = M v+ OO,所以MGr)lNM,|f(H)|金| lim/A所以之M|/ bMV+8,即 fC夕(E)C|k(E). *m i+M 1m对 lVpV + 8,记 4 = (后|人(外|)1,由人 %E)知,m(A.)V+8 于是,I fk lpdx= I fk l&r+| 人dzJ A.J A&M为(AQ+I fk | dz V+8,J Efk (E).记& =有I /, 一 f I Adx= | / / I，cLr +| fk - f dzJ EJ E、J E-J-/Hi.注意到人=ff+ 8）,推得加心）

6、-0-+ s）,又| f,-fZ）遂f+ 8）.所以 mlim | j - y lb =0,3 J W 毋(E).Uco由此和（2）得到/=人 一（，一/）G 少（E）.役优,无迷41!是一个鞍.舱一列行界停时明匕/jn/l| A个蒙n证明:先证厂内）山收敛.由于/（“）山在z 6（0，+8）上一致收敛，因此任给o,存在N,对一切/V,A）N和一切/6 （0,+8）,都行/(xu)dr 0,存在X,对一切/ X 和t e a.6都有I /（”，）一色 lv N二寸，从而a，(工,力& V 2j3（，）山 （夕（，）一/（才“）df 4-J AA再证 lim F(x) =y(/)1/考虑1r02

7、F(x) (p(t)dtCA(小一 /(xu)dz + 0,存在M，对一切A M和一切才2 %行F(i) /(-rU)dz 0,存在N?：对一切A N,4irfl lim /(/“)=欢).取 A = max N .N?) + 1 ,对+ 0,存在 X.对切 1 X 和 / ,/ X.oo1I /(N/)一中I 0,存在X.对一切1X.右18.证明对小(4)P( mu |ZT | 6) 其中18万【0八”是Bmwn运劭.进而注明可选取C使不等式右功达男最小.从而将制 估th(对)19.设出”0,8）是Brown运动，,纥”（B/sW）, 7是相对于I0的停时,则EBtM = 0,略20.yai

8、nf|0;B, R (。,6) ：(-Ba.b+B )求比.ERt9 Er. P(8.=a), P(瓦=6)及了的分布(或“睡工变换)21.设%.g;n*l|是一个*或非负下款.即琮略当c0时左|b；11dpSndY+ (-S.)dPW XRlrn JSre号 JS”V-cn=f 、组J cn其中6q = & + &+&, nl,再运用辛钦大数定律设怔.Zell是一个鞅,而且wpElAk+s,又已知存在某一个*I,使 .U（双锯.）旦耳1A0M f.T常数 C( n* )略8888叫手（口）存在= n u n n加:&3）-乩（8）1，卜济, ，vlN = lm = Nf|HN十）3 :品（G

9、）收敛=料1性，存在n易证是随机变量.24.证充分性：因为f PXn25 k=l n=k0 (n 00).oc OO必要性：若Xn工o,则应有p n U(区1) = o. k=l n=k00用反证法，假设|xn| = 8,则由博雷尔一康特立 n=l00 00引理(ii)及X的独立性得PQ J (|Xn|) = 1,这就导k=l n=k00致了矛盾.所以独立随机变量序列Xn0时，有 Pxn? n=le 00.对以下情况举例：1) If.八纥述 二1 是蒙，I limf, +8 (氟。.)；但是.lim = + 8 ；2) (,阡)是孰！呼，不看在，但是3)一个正，第.，有不一致可积分。略 26.设陆，耳;一(0,8 )|是右连续下鞅，rW。为二停时，证明(壬力创)WEGJ.m )+(f J-5 ) 提示：考虑rAf与。Al。