2023年湖北省荆州市统招专升本高数自考真题(含答案).docx

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1、2023年湖北省荆州市统招专升本高数自考真题(含答案)学校:班级:姓名:考号:一、单选题(20题)Y1 cos(z2y)z )吧?(仁 + 丫?)而 2)(y-0A. 0B. 3C. eD. 8设y = /(sin./)/为可导函数则半=()(LrA. siruz / (sirrz )B. cosj/ (sin。)i2f (sin、/ )D. 2、rcosi2r (sin,1 ),函数/(x) = er 的一个原函数是()A. F(.r) = cr - c-JB. F(.r) = c + oC. F(.r) = e eD. F(t) =- er e设当if。时,/(1)与*(w)均为、r的同阶

2、无穷小量，则下列命题正确的是 ()A. /(工)+ 一定是工的高阶无穷小-g(a) 一定是上的高阶无穷小C. /(x)g(j ) 一定是、r的高阶无穷小r)0R(g(r)产0)一定是、r的高阶无穷小ar2【精析】A项中，/(N)=7 1的定义域为Rg(w) = _-的定义域为卜T | 1 1) X 1故A项中f(x)与g(x)表示的不是同一个函数：B项中,(l) = x2的定义域为R,g(i) =(G尸的定义域为定I 12。,故B项中/与gCr)表示的不是同一个函数;C项 中,/(1) =、，g(w)=，/=M 且两个函数的定义域均为R,故C项中/(二)与gQ ) 表示的是同一个函数；D项中J

3、Q ) = 1 ,g(i) = .r = 1 dr 0),故两个函数的定义域 不同，故D项中(1)与g(.r)表示的不是同一个函数故选C.7.B答案B1sin 【精析】A项由莱布尼茨判别法知条件收敛;C项当 f g时一L二，所以收 n irg=sn= 1故级数收敛：而B项中.8 敛；D项中； M= 1lim = lim 二一=1半0故发散. ln(l + ,)ln(l + 4 8.A答案1 A【精析】 -co“在- 1上是偶函数，tag在- 1-1上是奇函数,所以 二”2生一在一 ,口上是奇函数，故该定积分的值为o.二厂十COST9.D答案D【精析】 牛=sina2)T = (sinj2) ,

4、 (sinj ) = 21cos/(siru).10.B.答案B【精析】 分离变量可得dy=(2+3)d八两边积分可得y =+M +C又由v = 1可得C = 1 .故特解为y = 十十L11.C答案1 C【精析】 要使函数f(x)在/ = 0处连续必有lim/(X)= lim/(jt)= f(0) .所以a = iO.工.1- r *&】i ln(l+3i)i r-1 卜 ln( 1 + 3jc)八,olim sini arctan1= lim situ arctanF hm= 0 + 3 =-rr _ r-0 LJ X-*0，J-*O43,故当a = 3时，/(j )在/ = 0处连续.答

5、案D【精析】 函数了 = 口= 为取整函数，值域即的取值范围,即（0, 1, 土 2,卜【精析】/(i)cLr = f( x) +C.B.C a14.D答案1）【精析】丁 =清喙*（忘143 =。时得=会/优）=一%所以j= （、y）在3r= 0处的导数为=- 4 故选D.“信）15.B答案B【精析】 iim f(x)= lim3eT= 3 lim /( j ) = lim (2x4-a) = a /(0) = a ,由 / (x)在.1 f “4 rli=0处连续可得lim/(jr)u -0-lim/Q) = /(0) 因此 a = 3 故选 B. r16.Crl02311a + 21100

6、01112(.r - 2) 一3)(才一4) - 0 _x 4:二；w 45)=4!.-u(一】),则 P(一5 X)d* =31.N答案X【精析】lim /(,r) = lim 3c4 = 3, lim f ( r) = lim (arctanei+ 4)= c u J(0) = 3,.r -0X -JX -J .r -0,且1.则函数定义域为(0J)U (1, +8),故可知函数/(T)有一个间断点1=1.【精析】33.Nsin2i i.21lim - = lim - =i-o sin4.r 。4t34.Y【精析】V/(x) = sinjs A/(.r)在a ,上连续，在(a,)内可导，且

7、 /(i) = cos_r,由拉格朗日中值公式得存在(.,使吗- s= cs即sin- sin” = b - aCOS (一).35.N【精析】 因为 lim/ = O.liiTLr = 0 子所以 lim (12 3jt) = 0 0 = 0. r-0rDj-*036.N【精析】(e2T)z = eZr (2.r) = 2e汽【精析】37.Ydv-d/dr-dz【精析】当/f 0时.2/ - 3/ + 2 f 2 .工工-n+ 3 -* 3 38.Y则limJ- -02CZ【精析】 八外是最小值,/（）是最大值.39.N40.Y答案J【精析】 分离变量可得一= 两边积分可得Vdy = |dn

8、解得一J1J+ G = J ,即、/ + V = c.41.精析原式=；si.” +Wd 1,c。法十S0rd, Z Jsin/ 十 cos.r/ 1- cos? + sirrr、.=亏(1 H：7)Cl-T/ J sin.r + cos/11f11Z-.、=jc ：d( sina+ cost )22JSIFLT 十 COSJ:= in | siixr + cos.r |+ C.-J42.【精析】 由被枳函数及枳分区域特点可知选择极 坐标计算较为简便.如图所示.区域D的表示式0 ”1 CH ,= ( )d央尸1)4Z J(iln( 1 + f )df2i)243.1精析】【精析】 令 ln.r

9、 = f.则 / = e由 /(Ini) = 1 +w 得/(/) = 1 +3 .积分得 /(/) =，+d+C ,故/( w ) = i+c+C.【精析】/3 + 2、丁 - 7 = /4-(,r- 1)令才一1 = 2sii” ,一今 V / ,则才=1 + 2sin/ ,d.r = 2coszdr ,故有,7 + 5 q=6t2sin/ . 2cos/d/J3 + 2、? 一 ，2 cos/(6 + 2sinf )dz = 6/ 2 cos/ + (=fiarcsin r+ 21 + C.46.【证明】 设/Q) = 1m,.易知/在区间/ L满足拉格朗日中值定理条件.即至少存在一点g

10、6 (.)使得In/ In;/ _ 1 , m一 W又因为0 V ，故 VqV工.从而有？ W n1 . In/? Inn 1 - 1V = 一 1 m一 W n整理得47.【证明】F(x)在一血连续，在(,6)可导，旦F(a) = 0,F=(b-a)2f(b)= 0.所以F(jc)在a,切内满足罗尔定理条件.故有 Fg= O,a V& r).在a,6连续，在(a&)可导，且F(a) = O,F(&) = O所以F(z)在a,内满足罗尔定理条件，故有 F，= O，e e(a,&)U (a,b).48.【精析】 设底面半径为r.圆柱高为八.则V = “小十卷/.5 = 3/ +2n出.h= 匚一

11、卷.代入S得S =生，天广 33r所以S, 丑尸一，令S = 0得唯一驻点厂=J更,且夕=+当 。，故为极 3 厂、。兀3 尸，小值点.在此问题中也为最小值点.代入厂解得/?=人/誉，即当该直圆柱的底面半径为V 5兀*高为J咨时,其表面积最小.V onV on49.【精析】由两条曲线、=cos.ro, =强所围成的平面图形如图所示依题意，旋 b转体的体积为V = J ( kcos2 7usin-)cLrTtcos2xdr =告 sin2isini及两条直线50.【精析】设面积A =加巴厂=10 cmAr = 0. 05 cm./ AA y dA = dnr2 = (27rr) 厂=2k X 1

12、0 X 0. 05 =兀 cm2.因此加热后金属圆片面积增大了兀cm2.51.【精析】 设切点为Q，w),y = 21一2.则切线方程为v = 2(羽1)，代人曲线方程.得2(-1)4=d解出.E = 97 = 3.切线方程为v = 4.r和y =-8”所求面积为f*0(./? 2.7 + 9 + 8j )cLr + (.r 2/+ 9 4j )d.r.0(M + 6.r + 9 )d,r + | (.r2 6.r + 9 )d.rY + 3M + 9O=(9- 27 + 27 ) + (9 - 27 + 27) = 18.52.【精析】（1）由已知条件知= aI,，y= In x/ji .=

13、(In 代、求解，得4 = 1，切点为（ell）； e（2）两曲线与轴围成的平面图形如图所示:，:/ZF *- v=ln JT x第25题图于是所求的面积为：/ p2S = fxdx - In /FcLrJu eJ V12 - I L L 尸 11=.r 2 .rin V.T 十 i 3e1 衣 2仃_1 21e62*函数y =in(M - x)(8 1 +8）是A.偶函教B.奇函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函教6.下列四组函数中/（4、）与g（i）表示同一个函数的是A. / (、r) = .r 1 , g(,r)=C. /(.r) = wt g(;r) =B. /(x) = a2, g(、

14、r)=(石VD. /(i) = 1 .g(w) = /7.下列级数中发散的是81B-S -1ln /1 H 1gsm c. VEi + 2)8.定积分“广：邙叱d的值为J -J LX+ COSTA.OB. 1C. -1( )D. 29.设=为可导函数，则兴；=A. siru*/( siru* )C. 2xsinj / (sinj 2)B. cosj2(sxnjr2)D. 2.i cosj-2f (sin.r2)10.微分方程/ 一 21 3.r = 0满足、y1的特解为A. 5 = L/ + M + 1C. y =Ik y = V + x2 + 1D. 3r =十+ Cfsiirr arcta

15、n + Ind + 31), - g .r 0,已知函数/(= 13在,=o处连续.a si 2 0k则 a =()A.OB. 1C.3D.4函数y =匚r=，八 W / V +1 =。， 1 , 2.的值域为()， ，C (-g.+cS D. O.L2.下列等式中不正确的是()A. ( fQ)di) = / (j)B. d( | / (j )djr) = f (x)dxJ，f9C. ff ( jc)d.r = / (t)D. d/(n) = f(jc ) + C设=737(0 tt),则其反函数1 =(p(y)在y =。处导数为 ()3 + si arTA. 4B. 3C. -3D, - 4

16、(3eZ ,r =A.（一1尸(r/ 1)!(l + x)rt(一1)!(l + x)ttC.（一 1尸n(l+x)rtD.（一 1尸(z/ 1)!设在w = 0处可导.则lim二二=A-04”A.%(0)B.多(0)ZJC. 2/(0)D. yy(0)（14-x）,设在（0.+8）上连续，且 /t）力=八则/（2）=J 0A. 5B. 3C. 120.已知曲线了=5与曲线3 = *2+。在点（2，）处相切，则A. a164=一=T164C.a = L9b=-1164D.q = y164二、填空题（10题）21设/=才(1一 1)(、7-3)(彳-4) 贝IJ /(4)=“ M- 1-1上任取

17、一点x.则该点到原点距离不超过!的概率为 22.3QO募级数2 4的收敛域为24.=i 25.,3 0 0、.已知A =,E为三阶单位矩阵，则A-2E的逆矩阵（A- 2E）26设/内=才:+9 则 JQ)=27与向量1,4,1）平行的单位向量是极限lim28. 厂 “0广义积分 29.-：arJi 1 +e30.设区域 D= (7了)I 0 j 1.1 W ?，则J(.y - ”2)did) =I)三、判断题（10题）35,若函数/（i）=0A.否B.是一设/（）= 32./K,则函数fX T ）有1个间断点.A.否B.是极限lim型筌=2.33.2s,n4r A.否 B.是6.设函数 / (

18、 j ) = sinitT34.6 M，由拉格朗日巾值公式得存在 Q而，使sin/；- si=cos? (b a).A.否B.是35.lim(.r2 - 31) = lim,一3 lim/ =OO - OO = 0.A.否B.是U = e236.A.否 B.是已知函数v = y（x）由参数方程 37.=1 一八dv尸确定则言=2】,A.否B.是r 2/ - 3jt+ 2 _ 2hmq 38.，。/一打 + 33 a.否 B.是39如果/J）在上单调增加，则八。）是极小值，/（）是极大值.人否B.是40.微分方程表十* = 0的通解为y!十=C.A.否B.是四、计算题（5题）.求不定积分 41.

19、SIM.siru* + cosj*dr.42.计算二重积分JJ收T - /dr办+汁 0.In(l+/)dr43求极限时.设 f(1 nx) = 1 +w,求 fC x) e 44.求不定积分 45.五、证明题（2题）证明不等式：曳46. In以二3其中 0j/-022 2而 0 ( 2r 2 03r-*02.D答案D【精析】 孚=/(sin/) = /(sirL，) (sina)=2rcos/( sin/). cLr3.B4.C答案c【精析】 由题意知Jim = a Jim以=，故y,(0) = g(0) =。,对于选项C. .rZ上一。 Jtlim * &( J)= im) liing(a) = a XO = 0,即一定是 t的高阶无穷小,)-0 M其他三项都不能保证一定是7的高阶无穷小故应选C.5.B【精析】令f(x)=,1，则ln( J1 + x2 2)ln(，1 + * + -)( M )2 x1 .In ；一.x/1 +x2 x _=1 =_1ln/-F=-)ln( i+Mi x/1 +x2 jr /=/(E),即y = )为奇函数，故选B.6.C