【中小学】高一上下册6.4.3余弦定理正弦定理二2.正弦定理教学设计.docx

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1、正弦定理XXXX中学 XX【学习目标】L能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2 .能用向量方法发现和证明正弦定理.3 .会用正弦定理求解己知两边和其中一条边的对角、已知两角和夹边等解三角形问题.【学习重点】L借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理.4 ,运用正弦定理解三角形.【学习难点】1 .正弦定理的证明.2 .正弦定理在解三角形中的应用.【教学过程】教学环节教学内容设计意图环节一：情 境引入探究问题：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其 夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角和一边， 是否也有相应的直接解三角形的公式呢？在初中，我们得到了三角形中等边对

2、等角的结论.实际 上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系.从量 化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在,ABC中，设C的对边为a, B的对边为。,求A,民Q, b之间的定量关系.如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在 AABC中，己知“ 4 B, a求b ”的问题.我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.根据锐角三角函数，在RfMBC中（如图），有Asin A = % sin B = -9|K这两个式子有共同元c,人 利用它把两个式子联系起来，可得1=c sin A sin B又因为sin C= sin 90-= 1 ,上式可以写成边与它的对角的正弦cibc的比相等

3、的形式，即.4=.口二, sin A sin B sin C从学生熟悉的余弦定 理引入，激发学生的学习 兴趣.在直角三角形中，有 =对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否任然成立？ 因为涉及三角形的边、角关系，XX仍然采用向量的方法来研究XXXX初中已经掌握的锐角 三函数入手，XXX何利用锐角三角函数解决直角三角 形中的边角关系；并提出 问题让学生思考锐角三角 形和钝角三角形中的情形， 启发学生继续借助向量法 进行边角关系的研究，加我们希望获得编ABC中的边a, b, c与它们所对角A, B, C的 正弦之间的关系式.在向量运算中，两个向量的数量积与长度 、角度有关，这就启示我们可以用向量的数

4、量积来探究.强向量在几何问题中的应 用.环节二： 探究新知思考1 ：向量的数量积运算中出现的是角的余弦，而我们需要 的是角的正弦，如何实现转化？由诱导公式cos _议)| = sin议可知，我们可以通过构造角 之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系.下面 先研究锐角三角形的情形.如图，在锐角编ABC中，过点A作与AC垂直的单位向量 i,则j与的夹角为_A)|, j与的夹角为_c)|.因为+ = , XX j.(+ ) = j，由分配律，得j.+j. =即Ij|.| | cos 4-1 j I . I |cos( _C) =|j|.| |cos(_A),也即 a sin C = c s

5、in A, xx =.思考1引导学生通过构造 角之间的互余关系.通过巧妙的构造单位 向量j,描述j与AB及j 与CB的夹角，应用向量数 量积运算得到余弦关系， 并通过诱导公式转为正弦 关系，最终得到锐角三角 形的正弦定理.A bC同理，过。作与七赢直的单位向量m,可得一号气,所 sin C sin B以在锐角三角形中有：22.sin A sin B sin C当编ABC是钝角三角形时，不妨设4为钝角（如图）.过点A作与充垂直的单位向量j,则/与7K的夹角为爪）|，j与刀的夹角为 k 22-a b c仿照上述方法，同样可得 一7=二二二.sin A sin B sin C引导学生发现正弦定 理的

6、结构特征，体会正弦 定理的美学价值.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比 a b c相等，即一一7=一 sin A sin B sin C这个公式表达形式的统一性、对称性，不仅使结果更和 谐优美，而且更突显了三角形边角关系的本质。提出问题，让学生通 过观察正弦定理公式表达 的边角关系，思考正弦定 理的作用，培养学生解决 问题的能力.问题：利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的 角的正弦之间的一个定量关系.利用正弦定理，可以解决“已 知两角和一边，解三角形”和“已知两边和其中一边的对角， 解三角形”的问题.环节三： 知识深化问题：利

7、用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？ 第一类：已知两角和一边，解三角形.例如：在ABC中,已知A , B , c ,则：(1)由C= (A + B) , xx C ; a cc sin A由=，得b =.第二类：已知两边和其中一边的对角，解三角形.例如：在ABC中，已知b , c , B ,则：(1)由=,得sin C = , xxC ;(2)由八=(B + C) , xxA ; a bb sin Asin A sin Bsin B进一步深化对正弦定理的 认识和理解，掌握正弦定 理在解三角形问题中的应 用，并厘清解决问题的思 路.例7在ABC中，已知A =15, B = 45,解这个三角形.本

8、例题是已知三角形的两环节四： 知识应用解：由三角形内角和定理，得C = 180 (A + B)= 180 (15 + 45) = 120又 sin15 = sin(45 30)=sin 45 cos 30 cos 45 sin 30=62由正弦定理，得c sin A (3 + ) sin15osin C sin120o= (3 + )6 (-1).2 =2c sin B (3+ )sin 45osin Csin120o(3 + )=2= + . 32个角和任意一边解三角形 的问题，可以直接利用正 弦定理来求解.在求解中涉及到非特殊角 的三角函数求值问题.引导 学生回顾两角差的正弦公 式进行计算

9、.对于sin15的计算可xxx sin(45 -30),也可 以改写为sin(60 45)等J此时让学生自己思考解决 方案并进行计算.例8在ABC中，已知B = 30 , b = , c = 2 ,解这个三角形c sin B 2 sin 30因为cb, B = 30,所以30 cl 80,所以C = 45或(1)当 C = 45 时，A = 105 .sin A = sin(60 + 45 )=sin 60 cos 45 + cos 60 sin 452222由正弦定理，得本例题是已知两边和其中 一边的对角解三角形的问 题，可以利用正弦定理来 求解.对于本例题，当 xx sin C =后，应注

10、 意弓I导学生分析得出在 0180内，与sin A = sin(45 30 ) = sin 45 cos 30 cos 45 sin 302(2)当 C = 135, A= 15 .4由正弦定理，得a = b sin A = sin15o =sin B sin 30o2sin C =对应的角有两 个，一个为锐角，一个为 钝角，即C = 45,或C = 135,进一步引导学 生分析是否两个角都符合 要求.引导学生根据“三角形大边 对大角”的结论，因为cb所以C B.综上：三角形有两解：(1)C = 45 , A = 105 , a = + 1 ; (2)C = 135,A=15, a =或 C

11、= 135 有两个解.1.注意：由三角函数的性质可知，XXX （0,几）内，余弦函数单调 递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数XXX （0,）内单调递增，XXX （,几）内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能看两解.坏书五: 知识拓展证明：设三角形的外接圆的半径是R , 贝U a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C.证明：设ABC的外接圆的半径是R .当ABC是直角三角形，三C = 90时，ABC的外接圆的圆心0在RtABC的斜边AB上.在RtABC中，=sin A , = sin B , ab2R2R所以 a = 2R sin A ,

12、b = 2R sin B .又 c = 2R = 2R . sin 90 = 2R sin C ,所以 a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C.当ABC是锐角三角形时，它的外接圆的圆心0在三角形内，作过点。B的直径A1B ,xxA1C,则A1BC是直角三角形，三A1CB=90 ,由“同圆中，同弧所对的圆周角相等”，得三BAC =三BA1C.在RtAIBC 中，=sin HBA1C ,即=sin 三BA1C = sin A ,所以 a = 2R sin A .xx , b = 2R sin B , c = 2R sin C .通过对教材54页第17题

13、 的探究，引导学生发现利 用外接圆证明正弦定理的 方法，进一步培养学生研 究问题的能力，使学生的 思维从多角度进行发散.在 研究的过程中，培养学生 从特殊到一般的思想方法 和创造性思维能力.当ABO是钝角三角形时，xxx三A为钝角，它的外接圆的圆心 0在ABC外.作过点0, B的直径A1B,xxA1C,则A1CB是直角三角形，三A1CB=90 , 由“圆内接四边形的对角互补”， 得三 BA1C = 180 三 BAC.在RtAICB 中，=sin HBA1C ,即=sin 三BA1C = sin (180 三BAC) = sin 三BAC , 所以 a = 2R sin A .类似可证，b =

14、 2R sin B , c = 2R sin C .环节六: 课堂小结1 .正弦定理：abcsin A sin B sin C2.利用正弦定理可以解决如卜两类解二角形得I可题：(1)已知两角和任一边，求其余的两边和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其 余的边和角.3.知识拓展：设ABC的外接圆的直径为2R ,贝IJ ：abcsin A sin B sin Ca = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C ;abc2R2R2R以提纲形式帮助学生梳理 本节课的重要知识点 正弦定理；让学生体会向 量法在证明正弦定理中的 作用.让学生总结正弦定 理在解三角形问题中侧重 解决的题目类型；对正弦 定理知识做适当拓展.坏书七课后作业教材48页第1, 2, 3题.巩固新知，提升能力.