71935计算方法习题答案.docx

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1、好用数值计算方法习题参考答案第一章引论1. 1 因为 dxk x Xk - x； （xk）,（攵=1, 2,，几）,所以Q） k=l（4）1. 2由于矩形面积S = /xd,利用全微分近似有ASA/xtZ + ZxAtZo而AZ = 0.2, AJ=O.lo所以，面积的确定误差限和相对误差限分别可以估计为|E（5）|=|A5|A/x + /xA| =0.2x80 + 0.1x110 = 27AS 27E（s） =x= 0.0031 = 0.31%r 1S110x80由a- 4,取=4时,1. 3由于相对误差满足：忸(x)|(匚10一向，而同 = 4.4721有匕0-3 =0 125x10-3

2、10-3 =0 % 8(J介于。和x之间)1. 4由Taylor中值定理 .131517/smx = XX HX HXCOSC ,3!5!7!而 s = x- + -x5,所以截断误差限为3! 5!S -smx-x7 cos 7!x7 1.9841/xlO-4 50401. 65七个零件的标定值XIX2X3X4X5X6X70.10.30.10.11.5160.7488不同等级的零件参数取值范围如下:A等零件相对误差不超过1%下限上限下限上限x10.09900.1010X51.48501.5150X20.29700.3030X615.840016.1600X30.09900.1010X70.74

3、130.7562X40.09900.1010故，取=吸町则能保证复合梯形公式求定积分的误差不超过，。5.6由复合梯形公式误差I T=/（7）， 12/?-IF_ (b - a)214x12/设其中则有/，。4（/一心），所以/（4%-7；）=耳+；（%-，）5. 9T4= x, sin %, + (x2 _X1)(sinx2 - sin Xj) + (x3 -x2)(sinx3 - sin x2) +TC+ (5 一 W)(1 - sin x3)令S（X,无2，%3）= /-4，则由列出方程组dSdxx0,越=0,0=0dx2sin% +X cos%( 一(sin% sinxJTw xJcos

4、X = 0(sinx2 - sina：|) + (x2-x1)cosx2 . (sin/ -sinx2)-(A：3 -x2)cosx2 = 0ji(sin/TinQ + Gf 3-(-畔)-丁=0第六章常微分方程数值解A 1%=为_4（必3/3一必）O. 1 为=-%6. 2令y = /（x）,则由/（x） = exp（，）exp（产）力两端对自变量求导数可得ff(x) = -2xe*(一工2) e)qp(Z2)dt + e)q)(-x2)exp(x2)所以，有常微分方程初值问题y =l-2xy y(o)= opx 226. 3令y = /(x),则由/(x)= e-rdt,两端对自变量求导数

5、可得fx) = ex JO所以，有 y，=e*,y(0)二。取/2 = 0.1,令Xn=n/2 , (n = 0, 1, 2,，30)。由四阶龙格-库塔公式 hy+i =+ 工伙1 + 2k2 + 2k3+ A4 6而由于这一常微分方程的特殊性，有_ 2-(x+-)2_2k = e ，3 = & = e 2 , k4 = e3所以h2-(X.+)-2yn+i = yn + ex,1 +4e2 +ex,+l , (n = 0, 1, 30)6算法如下：第一步：置 /z = 0.l, n -0, p =0, q - 0.5/z, zi = 122其次步：置 p p+/z,计算 z2 = eq ,

6、z3 = ep ；第三步：yw+1=yn+ +4z2 + z3/6 ；第四步：推断，若 30,则置n + 1, qq + h, zi用=%(%)+ 2/(% +。.5妙(%) + 2/(%+0.5什(%+0.5/(%)12；O+ f(yn+ hfyn+0.5/(% +0.5/(先)6. 5用二阶差商代替二阶导数，由常微分方程得差分方程% 2. + .1 _ /, ( = 1,2,3,4)整理，并留意yo = O,y5 = 1，可得一（2 +力）%+为二人之王%-（2 + /）为+3 =心大2y2 -（2 + h2）y3 + y4 =h2x3y3 -（2 + /r）y4=h2x4 -1tk =

7、x+kh,（攵=0, 1,，几）用差商代替导数，即y CO p（/,% tk+）则旋转曲面面积his = R y + y2dx = M + y2dx % JL +（”+1 - ”）2 丽k=0 k=0用计算机求下列多元函数微小值的数值解n-F（y0，yi，丫）= /+（”+i 一为）2，（y（）和孙为已知） k=0第七章非线性方程求根方法7.anx* （ -）+ （4 一） =2,所以b-a-2向7.3由二分法收敛定理知由于 4= 1,所以，令2用b-a-2m12Xi。一,解得 iooo2，取=10,便有 2* / xn -x -Lr = 4?0,有玉=，(公 + 2r)=；(向一)2 + V

8、c 4c设对随意正整数匕有 2五成立，则Xk由数学归纳法，知对随意自然数左，都有之五成立。1x 2由于勾力五，所以。xj,故z+ =一(z+)(4= z。21卜2Xk因为数列x单调削减且有下界，所以数列是收敛的。7. 6 (1)由于X*是开普勒方程的解，所以满足方程* *x = qsmx + a而迭代公式为x&+ = 4sin4+。，所以有* * * *大卜+1 -x = qsmxk -smx = qcosg xk -x ) qxk-x(2)由上式，得 qxk_ -x q xk_2 -x (7 x() -x所以，lim 除 -x* 8 IAr00kg7. 7 (1) 7() =，/ +4 (1

9、 + 2/)(2) (2+4)( + 2-=36/ 或 /+43 -282+i6 + i6 = 0。(3) 一元四次方程的根为 xi =-7.8126, x2 = 2.9841, x3 =1.3404,必=-0.5120。由 于正根为及=2.9841,抬=1.3404,所以可以认为梯子放置点应当是在距温室1.34米到2.98 米的范围内。第八章解线性方程组的迭代法8. 1 (1) X|=3, X =2, AX, =15, AX =10 i001co(2) ML = 7 ,网8 =6。11 =157x3 = H 114,即网CMAX =106x2= A |X| ,即|AX| A Xlloo00

10、II llco II lloo00000 -空8. 2雅可比迭代法的迭代矩阵为及=一&L 0Cl,？由矩阵的特征多项式AI-Ba2a由迭代法收敛的充分必要条件知，当(1)X8. 3V(Al)i -anxk aw1 卜 _ n r(%+D 1。21匹 J22赛德尔迭代法的迭代矩阵Ba222412a21a j 3221成立时，雅可比迭代法是收敛的。a2a2a2i 228. 4已知平面上三个点坐标数据确定抛物线方程y = g +1X + &，的算法第一步:输入数据:X,M，12, 丁2，%3，%；1 xx其次步：建立矩阵：X = 1 %1 X32 x22 *3以及列向量丫=为第三步：求解方程组XA=

11、y中未知列向量A = a0 % %,。第四步：输出数据结果：0,41,2。结束。8. 5 (1)依据插值条件，可得两个线性方程组如下:% +b x + cy = 0Q +b x2 + c y2 = 1a +bx3 +Cj y3 = 0a2 +b2x + c2y = 0 a2 +b2x2 + c2y2 = 0a2 +b2x3 + c2 y3 =1(2)方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式不为零。即1 x1M1 x2乃 w 01 x3%8 . 6 设球面方程为：x2+y2 + z2 -ax-by-cz-d = O9则将所给的球面上四个点坐 标代入并整理可得线性方程组如下：求解这一方程组，得。=

12、1, b = 0 ，c = 0, d-2故，球面方程为：x + y+zx 2 = 0配方，可得简洁形式：(x 0.5)2+j/+z2 =2.25所以，球心坐标为：(0.5, 0, 0)；球半径为：r=1.5B等零件相对误差不超过5%下限上限下限上限XI0.09500.1050X51.42501.5750X20.28500.3150X615.200016.8000X30.09500.1050X70.71130.7862X40.09500.1050C等零件相对误差不超过10%下限上限下限上限XI0.09000.1100X51.35001.6500X20.27000.3300X614.400017.

13、6000X30.09000.1100X70.67390.8236X40.09000.11009 .7算法如下：.将100个小数按由小到大排序(2) .将排序后的100个小数依次相加(3) .将100个小数相加结果与KF相加(4) .输出计算结果，结束。1. 8一个八位二进制数为(10111101)2(1)用秦九韶算法将其转化为10进制数只需六次乘法c = (0 + 0) X 2 +1)x2 +1)x2 +1)x2 +1)x2 + 0)x24-1 = 189(2)将任一个二进制数(bib2b3b4b5b6b7b8)2转化为十进制数的算法框图如下:其次章解线性方程组的干脆法2,1 X = 1 X

14、=2 X = 3 o 77121 二 1， 为机31 =2,根32 =-2。消元过程所得增广矩阵-3-7-212.3.996X1 +55625工2 +4x3= 7.41782.0028/ + 2.002x3 = 0.4037乙J0.3705x3 = 0.35162.Li -21一m31一根41一 m32一根42则,由矩阵乘法得L3 L2LiA = U所以明显,机21m3l机41LJ加321根42加21加31加41=U2. 5 当 n=2 时,由于间 q，网，明显，阕=结2 42G工0。假设满足条件的-1阶三对角矩阵行列式不为零。现考虑阶三对角矩阵的情形。Aba20b2 c2an%bn依据行列式

15、性质，将第，2列乘-幺加到第(d1)列，然后按第行绽开行列式，得 b=bna2b2 c2bgi)-cn j nbanbn-由于右边行列式是小i阶三对角矩阵行列式，现在只须证明小1阶三对角矩阵的元素满足证明如下题目所给条件，则由数学归纳法可得n阶三对角矩阵行列式不为零。，bn_i所以，-1阶三对角矩阵的元素满足题目所给条件(主对角占优)。第三章插值方法3. 1整理已有数据构造函数表X13161f(x)793861880令 二30,由拉格朗日插值基函数求导数，得2% - (%) + x2)/：(x)=lx - (x0 +x2)h112 (%)=2x - (x0 +%j)2h2代入二次插值函数一x*

16、 x ,(0 + /)。- 2(0 + X。)/ + 区 + 与)2=57.6327所以，从5月1日到6月30日这些天中，可以认为6月27日这一天日照时间最长。3. 2构造函数表猪肉产量X2827.2827.02猪肉价格Y6.87.097.19假如1999年猪肉产量为27.5万吨，则由二次拉格朗日插值函数L2(27.5) = Z0(27.5)j0 +/1(27.5)y1 +/2(27.5)y2 =7.0034推想1999年猪肉价格为：7.00 (元)。3. 3确定函数如下：0x100由于y(100) = 8,所以一个新手须要织100匹布以后才能成为一名技术娴熟的纺织女工。1 .4(1)取犬幻=

17、1,则/(叫幻=0但0)。以人犬)为被插值函数，它的n次拉格朗日插值函数 为Ln(X)= lo(X)fiXQ)+介(%)加)+ ln(X)fiXn) = 4)(%) + 1(X)+ln(x)由插值误差余项公式，知插值误差为零。所以Ln(X)=/(%) = 1即：/()(%) + /i(x) +/,?(%)=! o2 2)(k=T,2,，n),则/(x) = 0(n0)。以1X)为被插值函数，它的n次拉格朗日插值函数为Ln(X)= X0)+ -(%) -=Zo(x)xok + Zl(x)xik +Z/7(X)Xnk由插值误差余项公式，知插值误差为零。所以Ln(x) - fix) -(k=l, 2

18、, ,n)即：Zo(x)xok + 11(X)X1k + A?(x)xnk=xz： O2222223. 51(X2一%)%一(% %)X+(X 一%)% x2 (X|)%一。2 一天)H +(玉一玉)，23. 6设/(x, y)是被插值函数，z(x, y)=ix+Z?y+c为插值函数。(1)由插值条件 z(xi, yi)=ui, z(i2, axx + by + c = u ax2 + by2 + c = u2ax3 + by3 + c = u3丁2)二如 Z(X3,x2工3(2)二元线性插值函数存在唯一的条件为x2y3)=U3 o 得y %为知，要求三个插值结点所形成的三角形面积不为零。即三

19、点不共线。（3）设 z（x, y） =/（x, y）%+，2（x, y）2+，3（X，了）3，三个线性插值基函数为/,(x, y) = axx + bxy + cx, /2(x, y) = a2x + b2y + c2, Z3(x, y) = a3x + b3y + c3它们应满足的插值条件见下表则由插值条件列出线性方程组qX +by + cl = 1 0o在积分区间a,b内 插入(n - 1 )个点，使得a = x() xi x2 (%*-%/)/(%/)(%)公=(勺+ %万(勺+1)一勺)2 X (X/+i - 与)/(吃) J=o复合右矩阵公式满足不等式aRj f(x)dx (x.+1 -x7)f(xy+1)aJ=05. 4取步长/=(/?Q)/n,在积分区间a , b内插入(n-1)个点：Xj=a + jh，)，在第J个小区间上积分，利用梯形公式可得X.I,J f(x)dx = -/(xp + /(X.+1 )五/ 6)将上式求和，便得复合梯形公式，其误差余项为力3R = -ZL6)= -J=1 12(b aY广(务) 7=1设被积函数的二阶导函数连续，利用连续函数的介值定理可知，存在b),使得广二厂6)n J=1所以复合梯形公式的误差为3国力=孚/ )其中，3 A) 125. 5由于所以复合梯形公式求定积分的误差估计为