圆锥曲线的方程复习卷-2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性必修第一册.docx

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1、第三章圆锥曲线的方程复习卷-2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性必修第一册一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1点P是椭圆上一动点，则点P到两焦点的距离之和为（）A2BCD42若双曲线的实轴长为，则正数（）ABCD3已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（）ABCD4若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（）ABCD5如图，椭圆，与双曲线，的离心率分别为，其大小关系为（）ABCD6设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），为的准线，垂足为，则下列

2、说法正确的是（）AB的最小值为2C若，则D轴上存在一点，使为定值7年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（）个.椭圆的长轴长为线段长度的取值范围是的面积最小值是的周长恒为A1B2C3D48中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对

3、应着数学曲线中的双纽线在平面直角坐标系中，把与定点、距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，记为曲线.关于曲线，有下列两个命题：曲线上的点的横坐标的取值范围是；若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为.则（）A为真命题，为假命题B为假命题，为真命题C为真命题，为真命题D为假命题，为假命题二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9已知曲线，则（）A曲线在第一象限为双曲线的一部分B曲线的图象关于原点对称C直线与曲线没有交点D存在过原点的直线与曲线有三个交点10已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C

4、上一点，则下列选项中正确的是（）A椭圆C的离心率为B的周长为3C不可能是直角D当时，的面积为11已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（）A的准线方程为B周长的最小值为5C四边形可能是平行四边形D的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 .13已知椭圆的左，右焦点分别是，下顶点为点，直线交椭圆C于点N，设的内切圆与相切于点E，若，则椭圆C的离心率为 ，的内切圆半径长为 14如图所示，设点F是双曲线 与抛物线 的公共焦点，B是上的一点，若双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF

5、，双曲线的离心率为e，则 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知抛物线：经过点.(1)求抛物线的方程；(2)设直线与的交点为，直线与倾斜角互补.（i）求的值；（ii）若，求面积的最大值.16已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点.(1)求椭圆的方程；(2)设圆，若直线与圆相切，求点的坐标；17已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点(1)求双曲线的方程(2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在

6、出直线l的方程；若不存在，说明理由(3)点，直线交直线于点设直线、的斜率分别、，求证：为定值18如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；(2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值；(3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？19已知椭圆C:的左右焦点为，M为椭圆C上一点.(1)若点M的坐标为，求的面积；(2)若点M的

7、坐标为，且是钝角，求横坐标的范围；(3)若点M的坐标为，且直线与椭圆C交于两个不同的点A，B.求证：为定值.试卷第7页，共7页学科网（北京）股份有限公司参考答案：1C【分析】由椭圆的定义求解即可.【详解】由可得：，由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为.故选：C.2A【分析】依题意可得，解得即可.【详解】由双曲线实轴长为，有，又，.故选：A.3C【分析】过点作垂直于准线且交准线于H，则的周长转化成即可求解.【详解】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则，由题可知，的周长为，又，如图，当三点共线时，的周长最小，且最小值为.故选：C.4B【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近

8、线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求【详解】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点，圆心到渐近线的距离大于半径，即，故选：B5A【分析】根据椭圆与双曲线的离心率的性质即可解决【详解】由题意得到椭圆，的b值相同，a值比小，则，可以知道，；根据双曲线的开口越大离心率越大，则所以，故选：A6D【分析】对于A选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C选项，得到点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得点的坐标进而求得；对于D选项，设出直线方

9、程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入进行化简，要使得为定值，从而存在点.【详解】A选项，因为过焦点，故当且仅当为通径时，最短，即，从而，故A错误；B选项，由抛物线的定义知，所以，由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即，故B错误；C选项，由图是抛物线的准线与准线的交点，所以，在中，所以，所以，所以，所以，联立得，得，从而，所以，故C错误；D选项，设，联立得，设，则，设轴上存在一点，则，故当时，即存在使得为定值，故D正确.故选：D.7C【分析】由题设椭圆中可得，又、判断；令得，特殊值判断；利用椭圆定义求焦点三角形周长判断.【详解】由题意，椭圆中几何量，所以，则，故正确；因为，由椭圆性质可知

10、，所以，故正确；设，则，取，则，故错误；由椭圆定义知，所以的周长，故正确，故答案为.故选：C.【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设，由表示出，结合三角函数的性质即可得出答案.8B【分析】利用定义求得曲线C的轨迹方程为，由关于的方程有解，求的取值范围判断命题；先判断得直线与曲线必有一个公共点，再将代入曲线得到无非零解方程，求实数的取值范围判断命题.【详解】对于：由伯努利双纽线的定义可知，曲线C的方程为:，化简得，设，则方程化为设上述方程的两个根为,则至少有一个大于等于0则需有由于，解得，为假命题；对于：直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线只有一个交点，将代入曲线方程中得，方程无非零解，即无实数解

11、，故有，所以，解得或，故为真命题.故选：B【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用平面轨迹方程的求法求得曲线C的轨迹方程，横坐标的取值范围由方程有解判断，直线与曲线的交点问题一般通过联立方程分析判断.9AC【分析】分，和四种情况，得到曲线在各个象限上的曲线方程，得到答案.【详解】当时，曲线，为焦点在轴上的双曲线的一部分，渐近线为，当时，曲线，为焦点在轴的椭圆的一部分；当时，曲线，为焦点在轴上的双曲线的一部分，渐近线为，当时，曲线没有图象.由图象可知，A正确，B错误，结合曲线的渐近线可知C正确，D错误.故选：AC10AD【分析】先确定椭圆的方程，再根据方程分析椭圆的性质.【详解】由题意，焦距为，

12、又，所以椭圆焦点必在轴上，由.所以椭圆的离心率，故A正确；根据椭圆的定义，的周长为，故B错误；如图：取为椭圆的上顶点，则,所以为钝角，所以椭圆上存在点，使得为直角，故C错误；如图：当时，设，则，所以，故D正确.故选：AD11BD【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出，求出抛物线方程，即可判断A；根据抛物线的定义判断B，求出点坐标，即可判断C；设，结合数量积的坐标运算分析求解.【详解】对于选项A：因为抛物线的焦点为，准线方程为，又点满足，则，整理得，解得或（舍去），即抛物线，所以准线方程为，焦点为，故A错误；对于选项B：过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义

13、可知，则周长，当且仅当、三点共线时取等号，所以周长的最小值为，故B正确；对于选项C：过点作的平行线，交抛物线于点，即，解得，即，则，所以四边形不是平行四边形，故C错误；对于选项D：设，则，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故D正确；故选：BD12【分析】由题意结合抛物线的定义求出，设点关于直线对称点为，则，从而可求出的最小值.【详解】由，得，所以，准线为，不妨设点在第一象限，过作于，则，得，则，得，所以，设点关于直线对称点为，则，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为，故答案为：13 / /【分析】借助切线长定理与椭圆性质可得，从而可结合椭圆定义得到的值，即可得其离心率；借助

14、余弦定理的推论可得三角形各边长，结合面积公式运用等面积法即可求取内切圆半径.【详解】设的内切圆与、相切于点，由切线长定理可得，又，则，故，由椭圆定义可知，即,故，又，则；则，故，设，则，即，则有，计算可得，则，又，则，即有，即.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题关键点一个是借助切线长定理与椭圆性质得到，从而可结合椭圆定义得到的值，第二个是借助等面积法求取内切圆半径.14【分析】由题意可得，进而可设，由题意可得，消去，可得，计算可得结论.【详解】由题意可得，所以，设，的斜率为，中点，因为双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，

15、所以，所以.故答案为：.15(1)(2)（i）；（ii）.【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值.（2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线与倾斜角互补，转化成,可求的值；（ii）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值.【详解】（1）由题意可知，所以 ，所以 抛物线的方程为.（2）（i）如图：设，将直线的方程代入得：，所以，因为直线与倾斜角互补，所以，即，所以，即，所以.（ii）由（i）可知，所以，则， 因为，所以，即，又点到直线的距离为， 所以，因为，所以，当且仅当，即时，等

16、号成立， 所以面积最大值为 .16(1)(2)或【分析】（1）根据离心率得到，从而得到椭圆方程.（2）确定圆心和半径，设出直线，根据圆心到直线的距离等于半径得到斜率，解得答案.【详解】（1）椭圆的离心率是，解得.故椭圆方程为：.（2）圆，即，故圆心，半径，设直线的方程为，即，直线与圆相切，则，解得，当时，解得或（舍），故，当时，解得或（舍），故，故或17(1)；(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程；（2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可；（3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值【详解】（1）由双曲线的

17、离心率为，且在双曲线上，可得，解得，所以双曲线的方程为（2）双曲线的左焦点为，当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意，当直线的斜率不为0时，设，由，消去得，显然，设，则，得，于是，即，因此与不垂直，所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上（3）由直线，得，则，又，于是，而，即有，且，所以，即为定值【点睛】方法点睛：引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关18(1)(2)(3)4.1米【分析】（1）设该抛物线的方程为，代入点可得答案；（2）直

18、线与抛物线联立求出、可得答案；（3）设车辆高为h，代入抛物线方程可得答案.【详解】（1）如图所示.依题意，设该抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以该抛物线的方程为；（2），设，令，所以直线与抛物线联立，由解得，则；（3）设车辆高为h，则，故，代入抛物线方程，解得，所以通过隧道的车辆限制高度为4.1米.19(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）先根据点在椭圆上，求出的值，再求的面积.（2）根据点在椭圆上，先明确的关系，再由余弦定理，表示出，由求的范围.（3）把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，得到，并用它们表示出，进行化简整理即可.【详解】（1）因为点在椭圆上，所以，因为，所以，因为，所以，所以.（2）如图：因为点M在椭圆上，所以，由余弦定理得因为是钝角，所以，又因为，所以，解得，的范围为.（3）如图：设，由得，又，所以，即有为定值.答案第17页，共17页学科网（北京）股份有限公司