大单元整体学习：立体几何初步-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docx

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1、高一数学大单元整体学习立体几何初步 班级： 小组： 姓名： 高效科研小组: 备课组长：_ _ 学科主任：_ _ 包科领导：_ _ 14学科网（北京）股份有限公司第八单元：立体几何初步单元概述【学科大概念】空间结构中的度量关系与位置关系.【课程大概念】依托对基本立体图形的度量关系与位置关系的研究，揭示立体图形的本质，发展直观想象和逻辑推理素养，初步形成研究立体图形的一般思路，用数学语言描述现实世界中物体的结构，建立空间观念.【单元内容】立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系.本单元的学习，以长方体为载体，认识和理解空间中点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定

2、，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念.内容包括：基本立体图形、基本立体图形位置关系、几何学的发展.【课标要求】1.基本立体图形（1）利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）知道柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.（3）能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图.2.基本图形位置关系（1）借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面

3、的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.（2）从空间中点、线、面位置关系的定义及基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系，归纳出空间中平行垂直的判定定理和性质定理，并对性质定理加以证明.（3）能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.*3.几何学的发展收集、阅读几何学发展的历史资料，撰写小论文，论述几何学发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献.【单元目标】1.结合实物与学具，抽象出基本立体图形及位置关系，说出不同几何体的结构特征及联系和研究几何对象的基本方法；2.结合实物模型，建立

4、线线、线面、面面间平行垂直的转化关系，形成空间位置关系判定的一般思路与方法；3.借助几何直观，解决数学文化和生活中的立体几何问题，阐述立体几何与平面几何的逻辑关系.【学习导航】立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支，在解决实际问题中有着广泛的应用，重在提升我们的数学抽象、直观想象和数学建模的素养.在整体感知阶段，借助生活经验和学具，体会为什么学习立体几何，明确立体几何的研究内容和路径；在探究建构阶段，借助实物抽象出柱、锥、台、球等几何体的结构特征，并能画出它们的直观图；运用类比、操作演示、实物模型等认识空间中点、线、面之间的位置关系；在明确几何体底面、侧面的结构特征基础上

5、，借助侧面展开图，得出几何体的表面积计算方法；在理解祖暅原理的基础上，探究出几何体的体积公式；借助足球门、旗杆等实物模型探究出空间中的平行垂直关系的判定和性质定理；在应用迁移阶段，建立数学模型，用所学知识解决数学文化和生活中的立体几何问题；在重构拓展阶段，重构单元结构，拓展单元内容，进行单元过关检测.【课时建议】学习阶段学习任务课时安排整体感知画单元知识结构1探究建构探究空间中点线面的度量关系及位置关系 11应用迁移解决立体几何相关的实际问题3重构拓展单元重构，拓展过关2【本单元目标追求】项目内容知识与能力过程管理1. 提前预习;2. 课堂过关：3. 单元过关：成绩目标目标分数实际分数目标达成

6、度整体感知立体几何初步【学习目标】1.结合生活经验和操作学具，说出为什么学习立体几何;2.读课本章首语，类比初中平面几何的研究内容和路径，说出立体几何的研究内容和路径;3.通读教材内容，初步构建思维导图，整体感知本单元研究内容.【学习任务】画出单元知识结构学习活动1认识学习立体几何的必要性小学和初中阶段，我们已经学习了平面几何和立体几何的部分内容，请结合生活经验和自己的思考回答以下问题.问题1.两条直线除了平行和相交，是否存在其它位置关系？请结合教室内的实物举例说明.问题2.到一个定点距离等于定长的点的轨迹是什么.问题3.用5根长度相等的木棒搭正三角形，最多能搭成几个正三角形？用6根呢？请使用

7、学具操作.学习活动2感知立体几何的研究内容和路径 立体几何与平面几何是否有关联，研究方式是否一致，请回顾初中平面几何的研究，结合阅读章首语，回答以下问题.问题：类比平面几何的研究对象、内容、路径并阅读本单元的章首语（P96）,写出立体几何的研究对象、内容、路径.学习活动3画出单元知识体系通读课本，画出单元知识结构.探究建构立体几何初步【学习目标】1.借助实物模型,探究几何体的结构特征及度量关系,阐释空间问题平面化思想是怎样体现的;2.以长方体和足球门为载体,探究空间中的平行关系,进行线线、线面、面面间平行关系的转化;3.类比空间中平行关系的研究思路,探究空间中的垂直关系,并进行三者之间的转化.

8、【学习任务】探究空间中点线面的度量关系及位置关系 学习活动1探究空间几何体的结构特征 许多复杂的空间图形都是由一些简单的空间图形组合而成的，下面实物可以抽象出哪些简单的空间几何体？如何分类并说明分类依据. 总结：结合下面的图形说出什么是多面体，什么是旋转体. 1. 棱柱观察下面的长方体，它的每个面是什么样多边形？不同的面之间有什么位置关系？问题1.说出棱柱的定义及相关概念.问题2.多次用平行于底面的截面截棱柱，你有什么发现？利用面与体形成关系，棱柱可由底面如何移动形成？2.棱锥 问题1.观察上图，说出它们的共同结构特征，归纳棱锥的定义.问题2.三棱锥、正三棱锥 、正四面体之间有什么关系？3.棱

9、台如下图所示，观察棱锥与棱台的关系.问题1.观察棱锥与棱台，思考如何由棱锥得到一个棱台？4.圆柱、圆锥、圆台、球如下图所示，观察这些几何体问题 ：他们是由哪一类平面图形旋转而来，在图中表明他们的轴、高、地面、侧面、母线.【归纳生成】棱柱、棱锥、棱台如何进行互相转化，圆柱、圆锥、圆台如何进行相互转化？【学习评测】1.下列命题中，正确的是()A有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形2.下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为()A三棱锥有四个面是三角形B棱锥都是有两个面

10、是互相平行的多边形C棱锥的侧面都是三角形D棱锥的侧棱交于一点3.下列关于棱锥、棱台的说法：棱台的侧面一定不会是平行四边形；由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；由棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是 .4.下图是由哪个平面图形旋转得到的()5.等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180，所得几何体是_学习活动2探究立体图形的直观图 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图【归纳生成】（1） 归纳斜二测画法的具体步骤.（2）归纳直观图和原图形之间面积的关系【学习评测】1.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45、腰和上底长均为1的等腰梯形.（1）求该平面图形的面积

11、；（2）求该平面图形原图面积与直观图面积的比值.2.用斜二测画法画出一个棱长为2cm的正方体的直观图.学习活动3探究空间几何体的表面积和体积1.空间几何体的表面积结合下列几何体的展开图并说出如何求其表面积. 问题1.说出棱柱、棱锥、棱台的展开图由哪些平面图形组成.如何计算它们的表面积？问题2.说出圆柱、圆锥、圆台的展开图由哪些平面图形组成.如何计算它们的表面积？2. 空间几何体的体积回顾初中所学长方体的体积公式，阅读教材，思考棱柱的体积与长方体的体积公式是否一致？【数学文化】早在南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅在数学中研究了几何体的体积公式，提出了祖暅原理，祖暅原理也称祖暅定理，这是一个涉及几

12、何求积的著名命题，祖暅在求球体积时，使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高.意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.祖暅原理也称祖氏原理，又名等幂等积原理.国外一般称之为卡瓦列里原理，他的发现要比我国祖暅晚1100多年.让我们一起来体会一下先辈们的智慧吧。问题1.取一些书放在桌面上（如图所示）并改变他们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？问题2.夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面(阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的体积相等吗？ 思考圆锥与棱锥，圆台与棱台体积公式 问题3.将一个

13、三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？思考圆柱与圆锥的体积有什么关系？ 【归纳生成】柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系. 【学习评测】 1.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是 ( ) (注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸.A.2 寸 B.3 寸 C.4 寸 D.5 寸 2.直角梯形中，现将梯形绕边AD所在直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为_，表面积为_3.如图所

14、示，正方体的棱长为1，求出三棱锥的体积. 学习活动4探究平面及其性质教室里的桌面、黑板面、平静的水面，它们呈现出怎样的形象？ 说出平面的特征.情境.：（1）我们在停放自行车的时候，让一个脚架和两个车轮同时着地，就可以使得自行车在地面站稳.（2）我们往墙上钉长挂钩的时候，只需要将挂钩上两点固定在墙面上，就可以使得挂钩固定在墙面.（3）把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？ 问题1上述三个例子，分别体现了哪些基本事实？问题2观察图形中的三条直线（1）回答黑板两侧所在直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？（2）灯管所在直线与黑板两侧所在直线是什么位置关系？

15、（3）归纳空间两条直线的位置关系及特点.问题3. （1）一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？，归纳直线与平面的位置关系(2）围成长方体ABCD-ABCD的六个面，两两之间的位置关系有几种？【归纳生成】归纳平面与平面的位置关系.【学习评测】1.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系。2.如图 直线AB与直线具有怎样的位置关系？为什么？ 学习活动5 探究空间中的平行关系学校的高中部操场建设的非常漂亮，每周三下午， 我爱踢足球社团的孩子们可以在操场上尽情享受足球带给他们的快乐.右图是一个足球门，它包含了空间几何体的哪些组成元素，它们之间有哪些位置关系？接下来的学

16、习我们将探究这一问题. 问题1.为了保证球门的上边缘和球场地面是平行的，只需要垂直竖立两根长度相等的门柱和即可.请解释它的依据.问题2.设球门顶部所在平面为平面.要保证平面与球场所在的平面平行，至少需要几条直线与地面平行？这几条直线的位置关系是怎样的？问题3.如果球门的上边缘和球场地面是平行的，那么直线是否和球场地面内所有的直线都平行？如何寻找球场地面内与平行的直线？说出你的依据并加以证明.问题4.设球门顶部所在平面与足球场地所在平面平行，平面与两个平面相交交线分别为直线、直线，说出这两条直线的位置关系，并加以证明.【归纳生成】画出直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行之间的转化关系【

17、学习评测】 1.如图，棱锥中，底面是平行四边形，是的中点.求证：2.如图所示的一块木料中，棱平行于面（）要经过面内的一点和棱将木料锯开，应怎样画线？（）所画的线与平面是什么位置关系？并证明你的结论学习活动6探究空间中的垂直关系会议中心前竖立着多面旗子，请大家观察图片，回答以下问题 问题1.旗杆所在的直线与地面中与之不相交的直线有怎样的位置关系？它们所成的角是怎样定义的？是多少度角？问题2.在阳光下观察垂直于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，影子的位置在不断变化，旗杆所在的直线与其影子所在的平面是否垂直？由此你得出怎样的结论？问题3.过地面上一点，能竖立几面旗子？由此你得出什么结论？问

18、题4.图中两根旗杆具有怎样的位置关系？由此你得出什么结论？动手实验，请同学们拿出一块三角形的纸片，做如图所示的试验： 过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（与桌面接触）.问题1.如何翻折才能使折痕与桌面所在平面垂直？问题2.如果与平面垂直，那么与平面垂直吗？如果不垂直，那么与平面所成的角是哪个角？问题3.当折痕与桌面垂直时，平面与平面组成一个二面角，二面角的大小用二面角的平面角来刻画，请指出图中两平面所成二面角的平面角是哪个角？说出你的依据.当平面与平面所成的二面角是直二面角时，这两个平面处于哪种特殊的位置关系？问题4.当直线与平面垂直时，平面与平面是否垂直？请说出你的依

19、据.问题5.平面与平面垂直时，平面内的任意一条直线都与平面垂直吗？平面内的直线满足什么样的条件才和平面垂直？【归纳生成】直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直之间的转化关系【学习评测】1. （多选）在正方体中，下列结论正确的是（ ）.A. 直线与直线所成的角是60B. 直线与面所成角是45C. 二面角的大小是45 D. 直线与直线所成的角是90 2.如图，已知是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上任意一点，求证：【数学文化】九章算术商功中写到：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑。” 即取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点

20、与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.其中以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥是阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体就是鳖臑.问题：在阳马P-ABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.试判断四面体DBEF是否为憋臑？【阶段小结】在探究建构的学习过程中，同学们加深了对立体几何的整体认知，请你将对基础知识的理解、逻辑关系的梳理完善到整体感知阶段的思维导图中. 应用迁移 立体几何初步【学习目标】1.结合正方体的截面问题，总结解决几何体截面问题的方法和注意的细节;2.通过割补法或者找球心的方法，解决与球有关的切

21、接问题;3.结合古代数学中的实例，查阅几何学发展的历史资料，论述几何学的发展过程.【学习任务】运用空间中的平行垂直关系解决立体几何的核心问题。学习活动1正方体的截面问题在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等等）得到的平面图形。截面方式共有三种：横截、竖截、斜截。思考：用一个平面截正方体，截面的形状将会是什么样的？画出这些截面的示意图.(可以根据截面图形的边数分类)【归纳生成】正方体的截面可能出现的图形和一定不会出现的图形.【学习评测】1.用一个平面截棱长为a的正方体，当截面为三角形时，截面面积最大值为 学习活动2与球有关的切、接问题空间

22、几何体的外接球是高中数学的重难点我们可以通过对几何体的割补或寻求几何体外接球的球心两大策略求解此类问题1.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B. C. D.2.在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAPBPC3，PAPB，则三棱锥PABC的外接球的体积为()A. B. C27 D27【归纳生成】总结求几何体外接球半径的方法及适用情况【学习评测】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_学习活动3立体几何在生活中的应用1.九章算

23、术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图2-1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛B22斛 C36斛D66斛2.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A B C D【归纳生成】请总结运用立体几何相关知识解

24、决实际问题的一般方法.【学习评测】1.学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，打印所用原料密度为不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_.2.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1:V2的值是_.【阶段小结】通过对应用迁移的探究，相信同学们对立体几何的综合问题有了一定的感悟，请尝试总结解决球的切接问题的规律与方法.重构拓展立体几何初步 【学习目标】1.画出单元思维导图，总结解决立体几何相关问题常用的方法；2.类比利用平面向

25、量解决平面中平行垂直问题，利用空间向量解决立体几何问题，从多个角度揭示空间图形的本质；3.围绕空间中的度量和位置关系进行重构过关，归纳空间中平行、垂直关系转化的注意事项.【学习任务】单元重构，拓展过关【单元重构】重构单元思维导图【单元拓展】在平面向量里，我们可以用两个向量的数量积为零来表示两个向量垂直；利用两个向量是否具有线性关系来判断两个非零向量是否平行.能否利用向量研究两条直线的平行与垂直关系？如图，在长方体中，已知,用向量法证明：（1）直线与平行；（2）与垂直.【基础过关】1.(多选)、是两个平面，、是两条直线，则下列命题中正确的是（）.A若，则B若，/，则/C若，/，/，则/D若，/，

26、则2.（多选）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A与平行B与垂直C与是异面直线D与成角3.若平面平面，直线直线那么的位置关系是（ ） A.无公共点 B.平行 C.既不平行也不相交 D.相交4.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是则圆锥的体积是（ ）A. B. C. D.5.（多选）如图，已知正方体，分别为和的中点，则下列四种说法中正确的是（） ABC与所成的角为D与为异面直线【应用过关】1.求证：如图所示正方体中，平面2.如图,在四面体中，的中点，求证：（1） 直线；（2） 面.【单元过关】单元过关将采取闭卷考试的形式进行，对标单元目标追求，对所学知识、能力、逻辑等进行全面检测，对每个学习小组的形态转化情况和高效科研团队工作进行评价.大家相互合作，全面准备，不断完善自己本单元的思维导图，发展自己的思维，人人过关.