空间向量及其运算同步训练-2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

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1、1.1 空间向量及其运算一、单选题1如图所示，三棱柱中，N是的中点，若，则（）ABCD2如图，在平行六面体中，则与向量相等的是（）ABC D3如图，在四面体中，是的中点设，用，表示，则（）ABCD4已知空间向量，则向量在坐标平面Oxy上的投影向量是（）ABCD5在空间四边形中，且，则（）ABCD6在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（）ABCD7已知向量(1，1，2)，(x，2，y)，且，则（）ABCD8如图所示，空间四边形ABCD中，点G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，则的化简结果为（）ABCD二、多选题9下列命题中正确的是（）A若，则与所在直

2、线不一定平行B向量、共面即它们所在直线共面C空间任意两个向量共面D若，则存在唯一的实数，使10已知，则以下坐标表示的点在平面ABC内的是（）ABCD11在棱长为2的正方体中，点N满足，其中，异面直线BN与所成角为，点M满足，则下列选项正确的是（）ABC当线段MN取最小值时，D当时，与AM垂直的平面截正方体所得的截面面积最大值为三、填空题12如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 .13若, ,则与同方向的单位向量是 .14如图，、分别是空间四边形的边、的中点，则向量与、 （填“共面”或“不共面”）15，是三个不共面的向量，且，四点共面，则的值为 .四、解答题16如图所示，在三棱

3、柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.(1)；(2)；(3).17在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简,并在图中标出化简结果的向量.18化简下列算式：(1)；(2)19已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：(1)；(2).参考答案：1B【分析】运用空间向量的加、减、数乘运算即可求得结果.【解析】.故选：B.2A【分析】根据空间向量的线性运算法则三角形法，准确运算，即可求解.【解析】由题意，在平行六面体中，可得.故选：A.3D【分析】利用空间向量的线性运算直接得解.【解析】由是的中点，可知，所以，故选：D.4A【解析】根据向量在坐标平面上的投影的概念确

4、定【解析】向量在坐标平面Oxy上的投影向量是故选：A5A【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.【解析】.故选:A.6A【分析】利用空间向量的线性运算可得正确的选项.【解析】，化简得：，故选：A .7D【分析】以向量平行的充要条件代入，解之即可解决.【解析】由，(1，1，2)，(x，2，y)，可得解之得故故选：D8A【分析】根据向量的加法运算进行求解.【解析】点G为的重心，又，从而故选：A.9AC【分析】根据空间向量之间的平行、共面逐项判断即可.【解析】若，当，则与所在直线不一定平行，故A正确；向量、共面即它们所在直线共面或不共面，故B错误；根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，故C

5、正确；若，当时，则不存在实数，使使或，故D不正确故选：AC.10ABD【分析】设选项中的点为，若，四点共面，则存在，使得.【解析】设选项中的点为，由题意得，又，四点共面，则存在，使得，即，即，对于A，解得，故点在平面ABC内；对于B，解得，故点在平面ABC内；对于C，无解，故点不在平面ABC内；对于D，解得，故点在平面ABC内.故选：ABD11BCD【分析】对A：根据平面向量结合异面直线夹角分析运算；对B：根据空间向量分析可得点M在线段上（包括端点），进而结合线面垂直分析证明；对于C：根据圆的性质结合对称性以及向量的线性运算求解；对D：根据题意结合体对角线的性质分析求解.【解析】因为点N满足，

6、其中，则点N在正方形内（包括边界），又因为，则异面直线BN与所成角即为，可得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，所以A错误；因为且，所以点M在线段上（包括端点），因为平面，平面，则，又因为为正方形，则，平面，所以平面，且平面，所以，所以B正确；因为，当且仅当三点共线时，等号成立，又因为当时，取到最小值，此时是的中点时，结合对称性可知：当是的中点时，也为圆弧的中点时，则，所以，即，所以，故C正确；当时，则，即与重合，与垂直的平面，即与体对角线垂直的平面，因为平面，且平面，所以，同理可证：，且，平面，所以平面，而与平面平行且面积最大的截面应当过正方体的中心，此时截面为边长是的正六边形，所以截面

7、面积的最大值为，故D正确故选：BCD.【小结点评】关键小结点评：根据向量的相关知识分析可得点的位置，并结合空间中的位置关系运算求解.120【解析】根据向量的运算法则依次代换成形式，即可得出未知数的值.【解析】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，所以由题：所以即.故答案为：0【小结点评】此题考查空间向量的基本运算，根据线性运算关系依次表示出所求向量即可.13【分析】先由已知求出的坐标，再除以可得答案【解析】因为,，所以所以与同方向的单位向量为，故答案为：14共面【分析】用、的线性关系表达出，从而得到共面关系.【解析】由图可知：.则向量与、共面.故答案为：共面15-3【分析】由题知存在实数，

8、使得，代入条件，比较系数列方程求解.【解析】若，四点共面，则存在实数，使得，即，所以，解得，.故答案为：-3.16(1)，图中表示见解析(2)，图中表示见解析(3)，图中表示见解析【分析】（1）（2）（3）利用空间向量的加减法的运算法则和几何意义化简【解析】（1）解：.（2）解：因为是的中点，所以，又，所以.（3）解：17答案见解析【分析】根据向量的加减法的三角形法则，结合六棱柱图形，即可化简所求式子.【解析】,在图中表示如下图所示【小结点评】本题主要考查了向量加法、减法的运算法则，及相反向量，属于中档题.18(1)(2)【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案；（2）根据向量的线性运算，即可求得答案.【解析】（1）.（2）.19(1)；(2)【分析】根据向量加法法则求解即可；【解析】（1）（2）学科网（北京）股份有限公司