线性代数基础知识幻灯片.ppt

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1、线性代数知识回顾线性代数知识回顾1矩阵的概念 矩阵的定义矩阵的定义矩阵的定义矩阵的定义 矩阵是数矩阵是数(或是函数或是函数)的矩形阵表的矩形阵表,是数学上常用的概念是数学上常用的概念.定义:由mn个数排成的m行n列的表 称为称为m行行n列列矩阵矩阵矩阵矩阵（matrixmatrix）,简称矩阵简称矩阵.这这mn个数叫做矩阵的个数叫做矩阵的元素元素.当元素都是实数时称为当元素都是实数时称为实矩阵实矩阵实矩阵实矩阵（real matrixreal matrix）,当元素当元素为复数时称为为复数时称为复矩阵复矩阵复矩阵复矩阵（complex matrixcomplex matrix）.23.向量向量

2、 n维行向量维行向量:1 n矩阵矩阵a1,a2,an n维列向量维列向量:n 1矩阵矩阵 a1a2an第第i分量分量:ai(i=1,n)n阶方阵阶方阵:n n矩阵矩阵 2.方阵方阵 3几种常用的特殊矩阵几种常用的特殊矩阵几种常用的特殊矩阵几种常用的特殊矩阵1.对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵（diagonal matrixdiagonal matrix）记作2.标量矩阵标量矩阵标量矩阵标量矩阵（scalar matrixscalar matrix）3.n n阶阶阶阶单位矩阵单位矩阵单位矩阵单位矩阵（unit matrixunit matrix）4矩阵的乘法矩阵的乘法矩阵的乘法矩阵的乘法定义定义

3、 设两个矩阵设两个矩阵,则矩阵则矩阵A与矩阵与矩阵B的乘积记为的乘积记为规定规定 其中其中 应注意应注意:只有当矩阵只有当矩阵A的列数与的列数与B的行数相同时，的行数相同时，A与与B才能才能作乘积，作乘积，并且乘积矩阵的行数与并且乘积矩阵的行数与A的行数相等，乘积矩阵的列的行数相等，乘积矩阵的列数与数与B的列数相等的列数相等.5矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：(1)结合律:(2)分配律：(3)设k是数:6例 设 求乘积矩阵求乘积矩阵.解：解：7矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置定义定义设设 则矩阵则矩阵 称为称为A的的转置矩

4、阵转置矩阵转置矩阵转置矩阵(transposed matrix),(transposed matrix),记记作作 转置矩阵就是把转置矩阵就是把A的行换成同序号的列得到的一个新矩阵。的行换成同序号的列得到的一个新矩阵。例如，矩阵例如，矩阵 的转置矩阵为的转置矩阵为 8性质：性质：1。A2=AA2。(AB)=BA3。(kA)=kA4。(A+B)=A+B9逆矩阵逆矩阵 逆矩阵的概念逆矩阵的概念逆矩阵的概念逆矩阵的概念 定义：定义：定义：定义：设设A为阶为阶n方阵，若存在方阵，若存在n阶方阵阶方阵B，使，使AB=BA=I则称则称A是是可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵（invertible matri

5、xinvertible matrix）。）。）。）。并称并称B为为A的的逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵(inverse matrix)(inverse matrix)，记为记为 ,即 如果矩阵如果矩阵A是可逆的是可逆的,则则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.事实上，设事实上，设A，B都是可逆矩阵，则有都是可逆矩阵，则有于是 10 定义定义设设A为为n阶方阵，若阶方阵，若 则称A是是非奇异矩阵非奇异矩阵非奇异矩阵非奇异矩阵(nonsingular matrix)(nonsingular matrix)或非退化矩阵,否则称A是奇异矩阵奇异矩阵奇异矩阵奇异矩阵(singularsingularmatri

6、x)matrix)或退化矩阵。定义定义设 令 为|A|中元素 的代数余子式，则称方阵 为A的伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵(adjoint matrix),(adjoint matrix),或记为adj A。11矩阵可逆的充要条件矩阵可逆的充要条件矩阵可逆的充要条件矩阵可逆的充要条件 定理：定理：方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，即|A|0，并且12矩阵的秩矩阵的秩 矩阵秩的概念矩阵秩的概念矩阵秩的概念矩阵秩的概念定义：定义：设A是一个mn矩阵，在A中任取k行、k列，位于这些k行和k列交叉处的元素按原来的次序组成一个k阶行列式,称为矩阵A的一个k阶子式子式子式子式（minormino

7、r）。）。例如：矩阵 由1、2、3行与1、2、3列构成的三阶子式 在矩阵A中有一个三阶子式不为零，而所有的四阶子式全为零,这时我们可以称A的秩是3。13 定义定义：矩阵矩阵A中的非零子式的最高阶数称为中的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩(rank-rank-of a matrixof a matrix），），），），记作记作r(A)。零矩阵的所有子式全为零零矩阵的所有子式全为零,所以规定零矩阵的秩为零所以规定零矩阵的秩为零.设设A是是n阶方阵阶方阵,若若A的秩等于的秩等于n,则称则称A为为满秩矩阵满秩矩阵满秩矩阵满秩矩阵(nonsingular(nonsingularma

8、trixmatrix），），），），否则称为否则称为降秩矩阵降秩矩阵降秩矩阵降秩矩阵(singular matrix)(singular matrix)。矩阵秩的性质矩阵秩的性质矩阵秩的性质矩阵秩的性质 144 0 8 2 90 3 0 1 20 0 0 4 70 0 0 0 0例例.的秩为的秩为 .3注注:从例可以看出行阶梯形矩阵的秩就等于从例可以看出行阶梯形矩阵的秩就等于 它的阶梯数它的阶梯数(即即:非零行的数目非零行的数目).而任何一个矩阵都可以经过有限次初等而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行行 变换化为变换化为行行阶梯形阶梯形.15线性方程组线性方程组一一.线性方程组的概念线性方程组

9、的概念 含有含有n个未知量个未知量,m个方程的线性方程组的个方程的线性方程组的 一般形式如下一般形式如下a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+amnxn=bm(3.1)(非非)齐次线性方程组齐次线性方程组,解解,相容相容 16设设A=a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn,b=b1b2bm,a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+amnxn=bm则线性方程组则线性方程组 可以写成可以写成Ax=b.x=x1x2xn,解向量解向量,解集解集,通解通解,同解同解 17称称A=a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn为为(3.1)的的系数矩阵系数矩阵,A,b=a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm为为(3.1)的的增广矩阵增广矩阵.18