2025八年级上册数数学(RJ)14.2.2 完全平方公式1.doc

《2025八年级上册数数学(RJ)14.2.2 完全平方公式1.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2025八年级上册数数学(RJ)14.2.2 完全平方公式1.doc（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2025八年级上册数数学(RJ)14.2.2 完全平方公式1142.2完全平方公式1会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算(重点)2灵活运用完全平方公式进行计算(难点)一、情境导入1教师引导学生复习平方差公式学生积极举手回答平方差公式：(ab)(ab)a2b2.2教师肯定学生的表现，并讲解：这节课我们学习另一种特殊形式的多项式与多项式相乘完全平方公式二、合作探究探究点一：完全平方公式【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算 利用完全平方公式计算：(1)(5a)2；(2)(3m4n)2；(3)(3ab)2.解析：直接运用完全平方公式进行计算即可解：(1)(5a)22510aa2；(2)(

2、3m4n)29m224mn16n2；(3)(3ab)29a26abb2.方法总结：完全平方公式：(ab)2a22abb2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”【类型二】 构造完全平方式 如果36x2(m1)xy25y2是一个完全平方式，求m的值解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值解：36x2(m1)xy25y2(6x)2(m1)xy(5y)2，(m1)xy26x5y，m160，m59或61.方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解【类型三】 运用完全平方公式进行简便运算 利用乘法公式计算：(1)98210

3、199；(2)201622016403020152.解析：原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果解：(1)原式(1002)2(1001)(1001)1002400410021395；(2)原式2016222016201520152(20162015)21.方法总结：运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式【类型四】 灵活运用完全平方公式求代数式的值 已知xy6，xy8.(1)求x2y2的值；(2)求代数式(xyz)2(xyz)(xyz)z(xy)的值解析：(1)由(xy)2x2y22xy，可得x2y2(xy)22xy，将xy

4、6，xy8代入即可求得x2y2的值；(2)首先化简(xyz)2(xyz)(xyz)z(xy)x2y2，由(1)即可求得答案解：(1)xy6，xy8，(xy)2x2y22xy，x2y2(xy)22xy361620；(2)(xyz)2(xyz)(xyz)z(xy)(x2y2z22xy2xz2yz)(xy)2z2xzyzx2y2z2xyxzyzx2y2xyz2xzyzx2y2，又x2y220，原式20.方法总结：通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式：(xy)2x2y22xy，x2y2(xy)22xy.【类型五】 完全平方公式的几何背景 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积

5、来解释一些代数恒等式例如图甲可以用来解释(ab)2(ab)24ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是()Aa2b2(ab)(ab)B(ab)(a2b)a2ab2b2C(ab)2a22abb2D(ab)2a22abb2解析：空白部分的面积为(ab)2，还可以表示为a22abb2，所以，此等式是(ab)2a22abb2.故选C.方法总结：通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释探究点二：添括号后运用完全平方公式 计算：(1)(abc)2；(2)(12xy)(12xy)解析：利用整体思想将三项式转化为二项式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括号的符号法则解：

6、(1)原式(ab)c2(ab)2c22(ab)ca22abb2c22ac2bca2b2c22ab2ac2bc；(2)原式1(2xy)1(2xy)12(2xy)214x24xyy2.方法总结：利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成(ab)2的形式注意a，b可以是多项式，但应保持前后使用公式的一致性三、板书设计完全平方公式1探究公式：(ab)2a22abb2；2完全平方公式的几何意义；3利用完全平方公式计算本节的探讨方式和上节类似，都是通过“做一做”和“试一试”让学生在代数和几何两方面理解完全平方公式完全平方公式分为两数和的平方和两数差的平方两种形式，教学中可以将两个公式写作一个公式：(ab)

7、2a22abb2，有助于学生的记忆在探究两数差的平方公式时，因为学生通过前面的学习已经掌握了几何的说明方法，因此可以让学生自己画图证明14.2.2 完全平方公式教学目标：完全平方公式的推导及其应用；完全平方公式的几何解释；视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力教学重点与难点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用.教学过程：一、提出问题，学生自学问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=aa，那么(a+b)2 应该写成什么样的形式呢？(a+b)2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1）(p+1)2 = (p+1)(p+1) = _； (m+2)

8、2 = _；（2）(p1)2 = (p1)(p1) = _； (m2)2 = _；学生讨论，教师归纳，得出结果：(1) (p+1)2 = (p+1)(p+1) = p2+2p+1 (m+2)2 = (m+2)(m+2) = m2+ 4m+4(2) (p1)2 = (p1)(p1) = p22p+1 (m2)2 = (m2)(m2) = m2 4m+4分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2p1，4m=2m2，恰好是两个数乘积的二倍(1)(2)之间只差一个符号推广：计算(a+b)2 = _；(ab)2 = _. 得到公式，分析公式结论： (a+b)2=a2+2ab+b2 (ab)2=a22a

9、b+b2 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍二、几何分析：你能根据图(1)和图(2)的面积说明完全平方公式吗？图(1)大正方形的边长为(a+b)，面积就是(a+b)2，同时，大正方形可以分成图中四个部分，它们分别的面积为a2、ab、ab、b2，因此，整个面积为a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2，即说明(a+b)2 = a2+2ab+b2.类似地可由图(2)说明(ab)2 = a22ab+b2.三、例题：例1应用完全平方公式计算：(1)( 4m+n)2 (2)(y)2 (3)(ab)2 (4)(ba)2解答：(1)( 4m+n)2 = 16m2+8m

10、n+n2(2) (y)2 = y2y+(3) (ab)2 = a2+2ab+b2(4) (ba)2 = b22ba+a2例2运用完全平方公式计算：(1)1022 (2)992解答：(1)1022 = (100+2)2 = 10000+400+4 = 10404(2)992 = (1001)2 = 10000200+1 = 9801四、添括号法则在公式里的运用问题：在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个多项式看作另外一个整体，例如：(a+b+c)(ab+c)和(a+b+c)2，这就需要在式子里添加括号；那么如何加括号呢？它有什么法则呢？它与去括号有何关系呢？学生回

11、顾去括号法则，在去括号时：a+(b+c) = a+b+c，a(b+c) = abc反过来，就得到了添括号法则：a+b+c = a+(b+c)，abc = a(b+c)理解法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号也是：遇“加”不变，遇“减”都变总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确五、小结：1完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项

12、乘积的2倍2添括号法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算，灵活运用公式进行运算.143因式分解143.1提公因式法1理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系会用提取公因式的方法分解因式(重点)2会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式(难点)一、情境导入1多媒体展示，让学生完成计算：(1)m(abc)；(2)(ab)(ab)；(3)(ab)2.学生通过回忆前面所学的解题方法，完成解题，并积极作答：(1)m(abc)mambmc；(2)(ab)(ab)a2b2；(3)

13、(ab)2a22abb2.2学生通过对比上题发现：(1)mambmcm(abc)；(2)a2b2(ab)(ab)；(3)a22abb2(ab)2.3教师肯定学生的表现，说明其过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为几个整式的积的形式，该过程叫做因式分解，这节课我们就来探讨它二、合作探究探究点一：因式分解的概念 下列从左到右的变形中是因式分解的有()x2y21(xy)(xy)1；x3xx(x21)；(xy)2x22xyy2；x29y2(x3y)(x3y)A1个 B2个 C3个 D4个解析：没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不是因式分解；把一个多项式转化成几个整式积的形式，故是因式分解

14、；是整式的乘法，故不是因式分解；把一个多项式转化成几个整式积的形式，故是因式分解；故选B.方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式探究点二：提公因式法分解因式【类型一】 确定公因式 多项式6ab2c3a2bc12a2b2中各项的公因式是()Aabc B3a2b2 C3a2b2c D3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，公因式为3ab.故选D.方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项

15、的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂【类型二】 用提公因式法因式分解 因式分解：(1)8a3b212ab3c；(2)2a(bc)3(bc)；(3)(ab)(ab)ab.解析：将原式各项提取公因式即可得到结果解：(1)原式4ab2(2a23bc)；(2)原式(2a3)(bc)；(3)原式(ab)(ab1)方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式【类型三】 利用因式分解简化运算 计算：(1)39371391；(2)2920.167220.161320.1620.1614.解析：(1)首先提取

16、公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.16，进而求出即可解：(1)3937139131337139113(33791)1320260；(2)2920.167220.161320.1620.161420.16(29721314)2016.方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便【类型四】 利用因式分解整体代换求值 已知ab7，ab4，求a2bab2的值解析：原式提取公因式变形后，将ab与ab的值代入计算即可求出值解：ab7，ab4，原式ab(ab)4728.方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值【类型五】 因式分解与三角形

17、知识的综合 ABC的三边长分别为a、b、c，且a2abc2bc，请判断ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由解析：对已知条件进行化简后得到ac，根据等腰三角形的概念即可判定解：整理a2abc2bc得，a2abc2bc0，(ac)2b(ac)0，(ac)(12b)0，(ac)0或(12b)0，即ac或b(舍去)，ABC是等腰三角形方法总结：通过提公因式分解因式，找出三边的关系来判定三角形的形状【类型六】 运用因式分解探究规律 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1xx(x1)x(x1)2(1x)1xx(x1)(1x)2(1x)(1x)3.(1)上述因式分解的方法是_，共

18、应用了_次；(2)若分解因式1xx(x1)x(x1)2x(x1)2015，则需应用上述方法_次，结果是_；(3)分解因式：1xx(x1)x(x1)2x(x1)n(n为正整数)解析：(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案；(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案解：(1)因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次；(2)分解因式1xx(x1)x(x1)2x(x1)2015，需应用上述方法2015次，结果是(1x)2015；(3)1xx(x1)x(x1)2x(x1)n(1x)n1.方法总结：解决此类问题需要认真阅读理解题意，根据已知得出分解因式的规律是解题关键三、板书设计提公因式法1因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式2因式分解与整式乘法是方向相反的变形3提取公因式的方法：把多项式各项的公因式提取出来，写成公因式与另一个因式乘积的形式本节中要给学生留出自主的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果