高等数学第二章导数与微分(课堂PPT).ppt

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1、第第2 2章章 导数与微分导数与微分本章重点本章重点本章重点本章重点导数与微分的概念；导数与微分的概念；导数与微分的概念；导数与微分的概念；基本初等函数的求导公式；基本初等函数的求导公式；基本初等函数的求导公式；基本初等函数的求导公式；求导法则求导法则求导法则求导法则;导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用本章难点本章难点本章难点本章难点导数与微分的概念；导数与微分的概念；导数与微分的概念；导数与微分的概念；复合函数的求导法则。复合函数的求导法则。复合函数的求导法则。复合函数的求导法则。12.1 2.1 2.1 2.1 导数的概念导数的概念2.2 2.2 2.2 2.2 初等函数的导数与求导

2、法则初等函数的导数与求导法则2.4 2.4 2.4 2.4 函数的微分及其应用函数的微分及其应用2.3 2.3 2.3 2.3 中值定理与中值定理与中值定理与中值定理与导数的应用导数的应用第第2 2章章 导数与微分导数与微分22.1.1 2.1.1 2.1.1 2.1.1 两个实例两个实例两个实例两个实例 2.1.2 2.1.2 2.1.2 2.1.2 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义2.1.4 2.1.4 2.1.4 2.1.4 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系 2.1 2.1 导数的概念导数的概念2.1.3 2

3、.1.3 2.1.3 2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义31 1 1 1、变速直线运动的速度、变速直线运动的速度、变速直线运动的速度、变速直线运动的速度设一质点在设一质点在 t 轴上从某一点开始作变速直线运轴上从某一点开始作变速直线运动，已知运动方程为动，已知运动方程为 s=s(t).记记 t=t0 时质点的位置坐时质点的位置坐标为标为 s0=s(t0).当当 t 从从 t0 增加到增加到 t0 t 时，时，s 相应地相应地在在t 这段时间内的位移为这段时间内的位移为2.1.1 2.1.1 两个实例两个实例 4而在而在而在而在 t t 时间内质点的平均速度为时

4、间内质点的平均速度为时间内质点的平均速度为时间内质点的平均速度为随着随着随着随着 t t 的减小，平均速度的减小，平均速度的减小，平均速度的减小，平均速度就愈接近质点在时刻就愈接近质点在时刻就愈接近质点在时刻就愈接近质点在时刻t t0 0的的的的瞬时速度瞬时速度瞬时速度瞬时速度(简称简称简称简称速度速度速度速度).).但无论但无论但无论但无论 t t 取得怎样小，取得怎样小，取得怎样小，取得怎样小，平均速度平均速度平均速度平均速度总不能精确总不能精确总不能精确总不能精确刻画质点在时刻刻画质点在时刻刻画质点在时刻刻画质点在时刻 t t=t t0 0的运动的运动的运动的运动变化率。变化率。变化率。

5、变化率。5采取采取“极限极限”的手段：如果平均速度的手段：如果平均速度时的极限存在，时的极限存在，当当则自然地把此极限则自然地把此极限(记为记为 v v)定义为质点在定义为质点在 t=t0 时的瞬时速度或速度时的瞬时速度或速度:该极限值就是该极限值就是该极限值就是该极限值就是 t t0 0 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度 v v（t t0 0 ）。）。）。）。62 2 2 2、曲线的切线斜率、曲线的切线斜率、曲线的切线斜率、曲线的切线斜率设曲线设曲线L的方程为的方程为为为 L上的一个定点上的一个定点.点点 P0 的切线，可在的切线，可在曲线上取邻近于曲线上取邻近于P0

6、 的点的点割线割线 P0 P 的斜率的斜率:为求曲线为求曲线 y=f(x)在在算出算出7割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置8割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置9割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置10割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置11割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置12割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置

7、切线位置切线位置切线位置切线位置13割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置14割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置15割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置1617线线 P0P 的极限位置的极限位置即为点即为点 P0 处的切线。处的切线。当当时，割时，割2 2 2 2、曲线的切线斜率、曲线的切线斜率、曲线的切线斜率、曲线的切线斜率割线的斜率割线的斜率就会无限接近切线的斜率就会无限接近切线的斜率18变速直线运动的变速直线运动的变速直线运动的变速直

8、线运动的瞬时瞬时瞬时瞬时速度速度速度速度曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率导数导数导数导数19定义定义2-12-1存在，则称函数存在，则称函数 y=f(x)在点在点 x0可导可导，并称此并称此极限值为函数极限值为函数 y=f(x)在点在点x0 的的导数导数，记作，记作设函数设函数 y=f(x)在点在点x0的某一个邻域内有定义的某一个邻域内有定义.若极限若极限或或2.1.2 2.1.2 导数的定义导数的定义公式公式120注注1 1注注2 2注注3 3若极限不存在，则称若极限不存在，则称f(x)在在x0不可导不可导.若若则称则称 f(x)在在 x0的导数的导数为为无穷大无穷大

9、.若令若令当当时，时，注注4 4公式公式2公式公式321该类型该类型题是填题是填空题的空题的常出形常出形式，必式，必须会须会例1：设函数f(x)在x0处的导数 .求222324252627例例例例1 1 1 1由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为解：解：解：解：28例例2问题1.能跟上题一样直接求吗？能跟上题一样直接求吗？问题2.是 经过原点吗？提示：曲线跟切线有个共同的交点：切点切点2930证明：证明：证明：证明：2.1.4 2.1.4 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系（1）若）若 f(x)在在 x0点可导，则

10、它在点可导，则它在 x0点必连续点必连续.f(x)在在 x0点可导，则点可导，则则有则有所以所以 f(x)在在 x0点连续点连续.31反例：反例：反例：反例：（2）若）若 f(x)在在 x0点连续，则它在点连续，则它在 x0点未必可导点未必可导.f(x)=|x|在点在点 x00处连续但不可导处连续但不可导.一方面一方面所以所以 f(x)在在 x0点连续点连续.另一方面另一方面所以所以 f(x)在在x0点不可导点不可导.32敲黑板了：计算题或者填空题敲黑板了：计算题或者填空题3334定理定理定理定理1 1 函数四则运算函数四则运算的求导法则的求导法则35例例例例1 1 1 1解解解解例例例例2

11、2 2 2解解解解363738例例例例5 5 5 5解解解解注：分段函数的求导，是大纲要求，但没考过注：分段函数的求导，是大纲要求，但没考过39利用定义求利用定义求x=0的导数，公式的导数，公式240411.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式初等函数的导数初等函数的导数 小结小结42定理定理定理定理2-62-6即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)2 2 复合函数的求导法则复合函数的求导法则43推广推广推广推广例例例例3 3 3 3解解解解44

12、例例例例4 4 4 4解解解解例例例例5 5 5 5解解解解45例例例例6 6 6 6解解解解例例例例7 7 7 7解解解解46例例例例8 8 8 8解解解解47例例例例9 9 9 9解解解解48求多层函数的复合函数导数：求多层函数的复合函数导数：例：49定理定理定理定理2-52-5即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.3 3 反函数的求导法则反函数的求导法则50例例例例1 1 1 1同理可得同理可得51因为互为相反数：所以f(10)=2,则(2)=105253定义定义定义定义:隐函数的显化隐函数的显化4 4 隐函数的求导法隐函数的求导法 例例例例（显化）

13、（显化）（不能显化）（不能显化）54隐函数求导法则隐函数求导法则隐函数求导法则隐函数求导法则:把隐函数（把隐函数（y）看成自变量（）看成自变量（x）的复合函数，）的复合函数，用复合函数求导法则用复合函数求导法则:问题问题问题问题:隐函数不易显化或隐函数不易显化或 不能显化如何求导不能显化如何求导?方程两边直接对自变量（方程两边直接对自变量（x）求导）求导.55例例例例1 1 1 1解解解解解得解得56例例例例2 2 2 2解解解解所求切线方程为所求切线方程为显然通过原点显然通过原点.57敲黑板：敲黑板：隐函数的隐函数的对数求导法对数求导法观察函数观察函数方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边

14、取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法适用范围适用范围:58例例例例3 3 3 3解解解解等式两边取对数得等式两边取对数得59解解解解等式两边取对数得等式两边取对数得例例例例4 4 4 460616263定义定义定义定义5 5 高阶导数高阶导数64记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,652.2.2.2.高阶导数求法举例高阶导数求法举例高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例

15、例例5 5 5 5解解解解直接法直接法直接法直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.66解解解解例例例例6 6 6 667解解解解例例例例7 7 7 768解解解解同理可得同理可得例例例例8 8 8 869莱布尼兹公式莱布尼兹公式还没考过！还没考过！7071参数方程的高阶求导：经常考！参数方程的高阶求导：经常考！72732.4 2.4 函数的微分及其应用函数的微分及其应用一、微分及其几何意义一、微分及其几何意义一、微分及其几何意义一、微分及其几何意义 (一一一一)微分定义微分定义微分定义微分定义 (二二二二)微分的几何意义微分的几何意义微分的几何意义微分的几何意义

16、 二、微分的基本公式与运算法则二、微分的基本公式与运算法则二、微分的基本公式与运算法则二、微分的基本公式与运算法则 三、一阶微分形式不变性三、一阶微分形式不变性三、一阶微分形式不变性三、一阶微分形式不变性 四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用 74实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.一、微分及其几何意义一、微分及其几何意义 75再如再如再如再如,既容易计算既容易计算既容易计算既容易计算又是较好的又是较好的又是较好的又是较好的近似值近似值近似值近似值7677可微的条件可微的条件可微的条件可

17、微的条件78由定义知由定义知:79例例例例1 1 1 1解解解解80(二)微分的几何意义MNT）几何意义几何意义:(如图如图)P 81求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.二、微分的基本公式与运算法则二、微分的基本公式与运算法则 1.1.1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 822.2.2.2.微分的四则运算法则微分的四则运算法则微分的四则运算法则微分的四则运算法则 83例例例例2 2 2 2解解解解例例例例3 3 3 3解解解解84结论：结论：三、一阶微分形式不变性三、一阶微分形式不变性 复合函数复合函数复合函数复合函数的微分法的微分法的微分法的微分法则则则则微分形式的不变性微分形式的不变性微分形式的不变性微分形式的不变性85例例例例5 5 5 5解解解解例例例例4 4 4 4解解解解86例例例例6 6 6 6解解解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.#87当|x|很小时，我们有或四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用 则近似公式变为近似公近似公近似公近似公式式式式88例例1 1解：解：的近似值.求令f(x)=sinx，则取代入近似公式89