2025八年级上册数数学(RJ)14.3.1 提公因式法2.doc

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1、2025八年级上册数数学(RJ)14.3.1 提公因式法214.3 因式分解14.3.1 提公因式法 教学目标 1知识与技能 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式 2过程与方法 使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解 3情感、态度与价值观 培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值 重、难点与关键 1重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式 2难点：正确地确定多项式的最大公因式 3关键：提公因式法关键是如何找公因式方法是：一看系数、二看字母公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母

2、取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂 教学方法 采用“启发式”教学方法 教学过程 一、回顾交流，导入新知 【复习交流】 下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？ （1）2x2+4=2（x2+2）； （2）2t23t+1=（2t33t2+t）； （3）x2+4xyy2=x（x+4y）y2； （4）m（x+y）=mx+my； （5）x22xy+y2=（xy）2 问题： 1多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？ 2多项式4x2x和xy2yzy呢？ 请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由 【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在mn+mb中的

3、公因式是m，在4x2x中的公因式是x，在xy2yzy中的公因式是y 概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 二、小组合作，探究方法【教师提问】 多项式4x28x6，16a3b24a3b28ab4各项的公因式是什么？ 【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂 三、范例学习，应用所学 【例1】把4x2yz12xy2z+4xyz分解因式 解：4x2y

4、z12xy2z+4xyz =（4x2yz+12xy2z4xyz） =4xyz（x+3y1） 【例2】分解因式，3a2（xy）34b2（yx）2 【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式（yx）2或（xy）2，于是有两种变形，（xy）3=（yx）3和（xy）2=（yx）2，从而得到下面两种分解方法 解法1：3a2（xy）34b2（yx）2 =3a2（yx）34b2（yx）2 =（yx）23a2（yx）+4b2（yx）2 =（yx）2 3a2（yx）+4b2 =（yx）2（3a2y3a2x+4b2） 解法2：3a2（xy）34b2（yx）2 =（xy）23a2（xy）4b2（xy）2 =（xy）2

5、 3a2（xy）4b2 =（xy）2（3a2x3a2y4b2） 【例3】用简便的方法计算：0.8412+120.60.4412 【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便 解：0.8412+120.60.4412 =12（0.84+0.60.44） =121=12 【教师活动】在学生完全例3之后，指出例3是因式分解在计算中的应用，提出比较例1，例2，例3的公因式有什么不同？ 四、随堂练习，巩固深化 利用提公因式法计算： 0.5828.69+1.2368.69+2.4788.69+5.7048.69 五、课堂总结，发展潜能 1利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式在找最大公因式时应注意

6、：（1）系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都有的；（3）指数要找最低次幂 2因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止 六、布置作业，专题突破 课本习题 板书设计 提公因式法1、提公因式法 例： 练习：143.2公式法第1课时运用平方差公式因式分解1理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点(重点)2掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式(难点)一、情境导入1同学们，你能很快知道9921是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流2你能将a2b2分解因式吗？你是如何思考的？二、合作探究探究点：运用平方差公式分解因式【类型一】 判定能否利用平方

7、差公式分解因式 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()Aa2(b)2 B5m220mnCx2y2 Dx29解析：A中a2(b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m220mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中x2y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中x29x232，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确故选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反【类型二】 利用平方差公式分解因式 分解因式：(1)a4b4；(2)x3y2xy4.解析：(1)a4b4可以写成(a2)2(b2)2的形式，这

8、样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一个因式a2b2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x3y2xy4有公因式xy2，应先提公因式再进一步分解因式解：(1)原式(a2b2)(a2b2)(a2b2)(ab)(ab)；(2)原式xy2(x2y2)xy2(xy)(xy)方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止【类型三】 底数为多项式或单项式时，运用平方差公式分解因式 分解因式：(1)(ab)24a2；(2)9(mn)2(mn)2.解析：将原式转化为两个式子的平方差的形式后，运用平方差公式分解因式解：(1)原式(ab2

9、a)(ab2a)(ba)(3ab)；(2)原式(3m3nmn)(3m3nmn)(2m4n)(4m2n)4(m2n)(2mn)方法总结：在平方差公式a2b2(ab)(ab)中，a和b可以代表单项式、多项式或单独一个数【类型四】 利用因式分解整体代换求值 已知x2y21，xy，求xy的值解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将xy的值代入计算即可求出xy的值解：x2y2(xy)(xy)1，xy，xy2.方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便【类型五】 利用因式分解解决整除

10、问题 2481可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可解：2481(2241)(2241)(2241)(2121)(2121)(2241)(2121)(261)(261)2664，26163，26165，这两个数是65和63.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除【类型六】 利用平方差公式进行简便运算 利用因式分解计算：(1)1012992；(2)57224282.解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可解：(1)1012992(10199

11、)(10199)400；(2)57224282(57224282)(572428)(572428)100014436000.方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便【类型七】 在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式(1)x25；(2)x32x.解析：(1)直接利用平方差公式分解，即可求得答案；(2)首先提取公因式x，然后利用平方差公式进行二次分解，即可求得答案解：(1)x25(x)(x)；(2)x32xx(x22)x(x)(x)方法总结：注意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式在实数范围内进行因式分解的结果可以出现无理数【类型八】 因式分解的实际

12、应用 如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了则S阴影(1002992)(982972)(2212)100999897215050(cm2)答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.方法总结：

13、首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题三、板书设计运用平方差公式因式分解1平方差公式：a2b2(ab)(ab)；2平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征分析多项式的次数和项数，然后再确定公式如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底1

14、4.3.2 公式法第1课时 运用平方差公式因式分解 教学目标 1知识与技能 会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力 2过程与方法 经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性 3情感、态度与价值观 培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值 重、难点与关键 1重点：利用平方差公式分解因式 2难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性 3关键：应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来 教学方法 采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进

15、自己的思维 教学过程 一、观察探讨，体验新知 【问题牵引】 请同学们计算下列各式 （1）（a+5）（a5）； （2）（4m+3n）（4m3n） 【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演 （1）（a+5）（a5）=a252=a225； （2）（4m+3n）（4m3n）=（4m）2（3n）2=16m29n2【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律1分解因式：a225； 2分解因式16m29n 【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案： （1）a225=a252=（a+5）（a5） （2）16m29n2=（4m）2（3n）2=（4m+3n）（

16、4m3n） 【教师活动】引导学生完成a2b2=（a+b）（ab）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解 平方差公式：a2b2=（a+b）（ab） 评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式） 二、范例学习，应用所学 【例1】把下列各式分解因式：（投影显示或板书） （1）x29y2； （2）16x4y4； （3）12a2x227b2y2； （4）（x+2y）2（x3y）2； （5）m2（16xy）+n2（y16x） 【思路点拨】在观察中发现15题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解 【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分

17、解，请5位学生上讲台板演 【学生活动】分四人小组，合作探究 解：（1）x29y2=（x+3y）（x3y）； （2）16x4y4=（4x2+y2）（4x2y2）=（4x2+y2）（2x+y）（2xy）； （3）12a2x227b2y2=3（4a2x29b2y2）=3（2ax+3by）（2ax3by）； （4）（x+2y）2（x3y）2=（x+2y）+（x3y）（x+2y）（x3y） =5y（2xy）； （5）m2（16xy）+n2（y16x） =（16xy）（m2n2）=（16xy）（m+n）（mn）W 三、随堂练习，巩固深化 1求证：当n是正整数时，n3n的值一定是6的倍数2试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除连续偶数的平方差能被一个奇数整除 四、课堂总结，发展潜能 运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征分析多项式的次数和项数，然后再确定公式如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底 五、布置作业，专题突破 课本习题 板书设计第1课时 运用平方差公式分解因式1、平方差公式： 例： a2b2=（a+b）（ab） 练习：