2025高考数学专项复习第21讲 向量的转换与计算含解析.docx

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1、2025高考数学专项复习第21讲 向量的转换与计算含解析第21讲 向量的转换与计算 一选择题（共1小题）1是抛物线的焦点，过作两条斜率都存在且互相垂直的直线，交抛物线于点，交抛物线于点，则的最小值是A8BC16D二解答题（共14小题）2已知抛物线的准线为，焦点为，的同心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且（）求和抛物线的方程；（）过点作两条斜率存在且互相垂直的相交线、，设与抛物线相交于点、，与抛物线相交于点、，求的最小值3已知抛物线过点（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于？若存在，求直线的方

2、程，若不存在，说明理由（3）过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与抛物线相交于点，与抛物线相交于点，求的最小值4已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为2，过点作两条斜率存在且互相垂直的直线、，设与抛物线相交于点、，与抛物线相交于点、（1）求抛物线的方程；（2）求的最小值5如图，已知直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，交于点，抛物线的焦点为（1）求的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线，过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与曲线相交于点，与曲线相交于点，求的最小值6已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1（）求动点的轨迹的方程；（）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线

3、，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值7已知椭圆的方程为，为左焦点，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与椭圆相交于点，与椭圆相交于点，求的最小值8设定点，动圆过点且与直线相切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值9已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点（）求椭圆和抛物线的标准方程；（）过点作两条斜率都存在且互相垂直的直线、，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求的最小值10已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、构成等差数列（）求

4、椭圆的方程；（）设是过原点的直线，是与垂直相交于点，与椭圆相交于，两点的直线，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由11如图，已知点和圆，是圆的直径，从左到右、和依次是的四等分点，（异于，是圆上的动点，交于，直线与交于，为定值（1）求点的轨迹曲线的方程及的值；（2）设是过原点的直线，直线与垂直相交于点，与轨迹相交于，两点，且是否存在直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由12椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设是过原点的直线，直线与垂直相交于点且与椭圆相交于、两点，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直

5、线的方程；若不存在，请说明理由13如图，已知点和圆，是圆的直径，从左到右和依次是的四等分点，（异于、是圆上的动点，交于，直线与交于，为定值（1）求的值及点的轨迹曲线的方程；（2）设是过原点的直线，是与垂直相交于点、与轨迹相交于，两点的直线，是否存在上述直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由14已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为（）求椭圆的标准方程；（）设是过原点的直线，是与垂直相交于点、与椭圆相交于，两点的直线，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由15如图，已知抛物线，点，抛物线上的点，过点作直线的垂

6、线，垂足为（）求直线斜率的取值范围；（）求的最大值第21讲 向量的转换与计算 参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1是抛物线的焦点，过作两条斜率都存在且互相垂直的直线，交抛物线于点，交抛物线于点，则的最小值是A8BC16D【解答】解：抛物线的焦点，设的方程：，的方程，由，消去得：，由，消去得：，（9分），当且仅当，即时，有最小值16，（12分）故选：二解答题（共14小题）2已知抛物线的准线为，焦点为，的同心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且（）求和抛物线的方程；（）过点作两条斜率存在且互相垂直的相交线、，设与抛物线相交于点、，与抛物线相交于点、，求的最

7、小值【解答】解：（）准线交轴于，在中，抛物线方程是，在中，的方程是（）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，由，得：，设，则，是上述方程的两个实根，的斜率为，设，则同理得，当且仅当时，即时，取最小值163已知抛物线过点（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由（3）过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与抛物线相交于点，与抛物线相交于点，求的最小值【解答】解：（1）将代入，得，解得故所求抛物线的方程为，其准线方程为（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得直线与抛物线有公共点，解

8、得，由直线与的距离，可得，解得，符合题意的直线存在，其方程为（3）由题意可知：设，设直线的斜率为，则的方程为，联立，得，直线的斜率为，方程为，设，联立，化为，当且仅当时取等号当时，的最小值为164已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为2，过点作两条斜率存在且互相垂直的直线、，设与抛物线相交于点、，与抛物线相交于点、（1）求抛物线的方程；（2）求的最小值【解答】解：（1）点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为2，抛物线的方程为；（2）设，由题意知，直线的斜率存在且不为零，设为，则的方程为由，得，直线的斜率为，同理可得，当且仅当，即时，的最小值为165如图，已知直线与抛物线交于，两点，点的坐标

9、为，交于点，抛物线的焦点为（1）求的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线，过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与曲线相交于点，与曲线相交于点，求的最小值【解答】解：（1）设，由，得由已知得直线的方程是即，则有，即由与消去，得所以把代入得，解得当时方程成为，显然此方程有实数根所以；（2）由（1）知抛物线方程为由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为得设，则，是上述方程的两个实根，于是，则，的斜率为设，则同理可得，当且仅当，即时，取最小值166已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1（）求动点的轨迹的方程；（）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交

10、于点，求的最小值【解答】解：（）设动点的坐标为，由题意得，化简得当时，；当时，所以动点的轨迹的方程为和（）由题意知，直线的斜率存在且不为零，设为，则的方程为由，得设，的坐标分别为，则，直线的斜率为设，则同理可得，故，当且仅当，即时，的最小值为167已知椭圆的方程为，为左焦点，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与椭圆相交于点，与椭圆相交于点，求的最小值【解答】解：（1）椭圆的左焦点，右焦点点在椭圆上，椭圆的方程（2）设直线的方程由可得设，则，直线的方程设，则，同理当且仅当即时取得最小值8设定点，动圆过点且与直线相切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过点作

11、两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值【解答】解：（1）定点，动圆过点且与直线相切，依题意知，点的轨迹是以为焦点，以直线经为准线的抛物线，动圆圆心的轨迹的方程为（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为由，得设，则有，的斜率为设，则同理可得，故当且仅当，即时，取得最小值169已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点（）求椭圆和抛物线的标准方程；（）过点作两条斜率都存在且互相垂直的直线、，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求的最小值【解答】解：设椭圆的标准方程为，焦距为，则由题意得，椭圆的标准方程为（4分）

12、右顶点的坐标为设抛物线的标准方程为，抛物线的标准方程为（6分）（）设的方程：，的方程，由消去得：，由消去得：，（9分）当且仅当即时，有最小值16（13分）10已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、构成等差数列（）求椭圆的方程；（）设是过原点的直线，是与垂直相交于点，与椭圆相交于，两点的直线，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（）依题意，设椭圆的方程为，、构成等差数列，可得，即，又，则，可得椭圆的方程为；（）设，两点的坐标分别为，假设存在直线使成立，（） 当与轴垂直时，满足的直线的方程为或，当时，的坐标分别为，当时，同理可得，即此时的直线不存在；（

13、） 当与轴不垂直时，设的方程为，由与垂直相交于点且，得，因为，可得，将代入椭圆方程，得，由根与系数的关系得，即为，即，矛盾，故此时的直线也不存在综上可知，使成立的直线不存在11如图，已知点和圆，是圆的直径，从左到右、和依次是的四等分点，（异于，是圆上的动点，交于，直线与交于，为定值（1）求点的轨迹曲线的方程及的值；（2）设是过原点的直线，直线与垂直相交于点，与轨迹相交于，两点，且是否存在直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意，设，则，直线与交于，故，且，相乘得，又点是圆上的动点，故，（4分）要使为定值，则，解得此时即时，点的轨迹曲线的方程为（2）设，

14、两点的坐标分别为，假设使成立的直线存在，（）当不垂直于轴时，设的方程为，由与垂直相交于点且得，即，即，将代入椭圆方程，得由求根公式可得，将，代入上式并化简得将代入并化简得，矛盾，即此时直线不存在；（）当垂直于轴时，满足的直线的方程为或，当时，的坐标分别为，当时，同理可得，矛盾，即此时直线也不存在综上可知，使成立的直线不存在12椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设是过原点的直线，直线与垂直相交于点且与椭圆相交于、两点，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设椭圆方程为，则，设右焦点，则，解得，则，则椭圆的

15、方程为；（2）设，两点的坐标分别为，假设使成立的直线存在当不垂直于轴时，设的方程为，由与垂直相交于点且得，即，即有， 即将代入椭圆方程，得与有两个交点， 将代入得化简，得，由、得，不成立当垂直于轴时，则为轴，点坐标为，不合题意综上，不存在上述直线使成立13如图，已知点和圆，是圆的直径，从左到右和依次是的四等分点，（异于、是圆上的动点，交于，直线与交于，为定值（1）求的值及点的轨迹曲线的方程；（2）设是过原点的直线，是与垂直相交于点、与轨迹相交于，两点的直线，是否存在上述直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）易得，设，则，直线与交于，故，且，相乘得，又点是圆

16、上的动点，故即，要使为定值，则，解得，此时即时，点的轨迹曲线的方程为（2）设，两点的坐标分别为，假设使成立的直线存在，（）当不垂直于轴时，设的方程为，由与垂直相交于点且，得，即，即，将代入椭圆方程，得由求根公式可得，将，代入上式并化简得将代入并化简得，矛盾，即此时直线不存在，（）当垂直于轴时，满足的直线的方程为或，当时，的坐标分别为，；当时，同理可得，矛盾，即此时直线也不存在综上可知，使成立的直线不存在14已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为（）求椭圆的标准方程；（）设是过原点的直线，是与垂直相交于点、与椭圆相交于，两点的直线，是否存在上述直线使成立？若

17、存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（）设椭圆的半焦距为，由题意知所以，又，因此故椭圆的标准方程为（6分）（）设，两点的坐标分别为，假设使成立的直线存在，（）当不垂直于轴时，设的方程为，由与垂直相交于点且得，即，即将代入椭圆方程，得由求根公式可得，因此将代入上式并化简得，即此时直线不存在；（10分）（）当垂直于轴时，满足的直线的方程为或，当时，的坐标分别为，当时，同理可得，矛盾，即此时直线不存在综上可知，使成立的直线不存在（14分）15如图，已知抛物线，点，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为（）求直线斜率的取值范围；（）求的最大值【解答】解：（）由题可知，所以，故直线斜率

18、的取值范围是：；（）由知，所以，设直线的斜率为，则，即，则，联立直线、方程可知，故，又因为，故，所以，令，则，由于当时，当时，故，即的最大值为第22讲 轨迹方程 一选择题（共5小题）1过点斜率为正的直线交椭圆于，两点，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，则外接圆半径的最小值为ABCD2方程表示A椭圆B双曲线C抛物线D圆3若动圆过定点且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹为A双曲线B椭圆C抛物线D双曲线一支4已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为ABCD5已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点轨迹方程是ABCD二填空题（共7小题）6两定点的坐标分别为，动点满足条件，动点的

19、轨迹方程是7设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为8已知点，圆，点是圆上一动点，的垂直平分线与交于点，则点的轨迹方程为9已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则的方程为10方程所表示的曲线是 11若动点到定点的距离是它到直线的距离的倍，则动点的轨迹方程是12在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点、，且、，、分别为椭圆的左、右顶点，则直线与的交点所在的曲线方程为三解答题（共28小题）13已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线，求的方程，并说明是什么曲线14已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5（1）求点的轨迹

20、方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为，线段，点为上一点，点，求的中点的轨迹方程15设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点，求点的轨迹方程16已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线被曲线截得的弦的中点坐标17已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）若直线与曲线相切，求的值18已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线求的方程19已知圆的方程为，定点，求过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程20已知两圆，动圆与两圆都相切，求动圆

21、圆心的轨迹方程21在三角形中，的内切圆与相切于点，求顶点的轨迹方程22直角三角形的直角顶点为动点，作于，动点满足，当动点运动时，点的轨迹为曲线，（1）求曲线的轨迹方程；（2）求曲线的轨迹方程；（3）设直线与曲线交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求的最大值23动点到点的距离与它到直线的距离相等，求动点的轨迹方程24若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程25设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足求点的轨迹方程26在平面直角坐标系中，点，为动点，分别为椭圆的左、右焦点已知为等腰三角形（）求椭圆的离心率；（）设直线与椭圆相交于，两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程2

22、7设，点的坐标为，点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足，求点的轨迹方程28已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线，分别交于，两点，交的准线于，两点（）若在线段上，是的中点，证明；（）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程29已知点，动点满足为和的等差中项（1）求动点的轨迹的方程；（2）过作直线交于，两点，求的中点的轨迹方程30已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点求的轨迹方程31在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知直线的参数方程为为参数，点，并且直线与曲线交于，两点，求32如图，椭圆，为常数

23、），动圆，点，分别为的左，右顶点，与相交于，四点（）求直线与直线交点的轨迹方程；（）设动圆与相交，四点，其中，若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值33已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程34已知椭圆与抛物线有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，为弦的中点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一定点，使得的长度为定值？若存在，则求出点，若不存在，请说明理由35已知椭圆的离心率为，椭圆的

24、下顶点和上顶点分别为，且，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点（）求椭圆的标准方程；（）当时，求的面积；（）求证：直线与直线的交点的纵坐标为定值36已知椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆的右焦点与坐标轴不垂直的直线交于点，交轴于点，为线段的中点，且为垂足问：是否存在定点，使得的长为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由37已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，的周长为，面积为（1）求的方程（2）设的左、右顶点分别为，过点的直线与交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则_（从以下三个问题中任选一个填到横线上并给出解答）求直线和交点的轨迹方程；是否

25、存在实常数，使得恒成立；过点作关于轴的对称点，连结，得到直线，试探究：直线是否恒过定点38已知抛物线，直线交于抛物线于、两点，（1）求抛物线的方程（2）互相垂直的直线、分别切抛物线于、两点，试求两切线交点的轨迹方程39已知椭圆的离心率为，其中一个顶点是双曲线的焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆相交于不同的两点，过点，分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程40为一定点，是轴上的一动点，轴上的点满足，若点满足，求：（1）点的轨迹曲线的方程；（2）曲线的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹第22讲 轨迹方程 参考答案与试题解析一选择题（共5小题）1过点斜率为正的直线交椭圆于，两点，是椭

26、圆上相异的两点，满足，分别平分，则外接圆半径的最小值为ABCD【解答】解：如图，先固定直线，设，则（C）（D），其中为定值，故点，在一个阿波罗尼斯圆上，且外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为，阿波罗尼斯圆会把点，其一包含进去，这取决于与谁更大，不妨先考虑的阿波罗尼斯圆的情况，的延长线与圆交于点，即为该圆的直径，接下来寻求半径的表达式，由，解得，同理，当时有，综上，；当直线无斜率时，与椭圆交点纵坐标为，则；当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，与椭圆方程联立可得，设，则由根与系数的关系有，注意到与异号，故，设，则，故，又，故选：2方程表示A椭圆B双曲线C抛物线D圆【解答】解：方程变形为：，表示

27、点到定点与定直线的距离相等的点的轨迹，由抛物线的定义可知：点的轨迹是抛物线故选：3若动圆过定点且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹为A双曲线B椭圆C抛物线D双曲线一支【解答】解：设动圆的半径为，动圆圆心为，点在动圆上，又定圆的圆心为，半径为2，定圆与动圆相外切圆心距由此可得（常数），点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支故选：4已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为ABCD【解答】解：设动圆圆心的坐标为，半径为，则由题意可得，相减可得，故点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，由题意可得，故点的轨迹方程为故选：5已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点轨迹方程是ABCD【解答】

28、解：由，得其焦点坐标为，设线段中点为，由中点坐标公式得：，是抛物线上的点，即，故选：二填空题（共7小题）6两定点的坐标分别为，动点满足条件，动点的轨迹方程是或【解答】解：设，则，它们是直线、的倾角还是倾角的补角，与点在轴的上方还是下方有关；以下讨论：若点在轴的上方，此时，直线的倾角为，的倾角为，得：，当时，为等腰直角三角形，此时点的坐标为，它满足上述方程当点在轴的下方时，同理可得点的轨迹方程为，当点在线段上时，也满足，此时综上所求点的轨迹方程为或故答案为：或7设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为【解答】解：如图，连接，根据垂直平分线的性质，

29、由已知得，所以，同时，因此点的运动轨迹为椭圆，设其方程为，所以其方程为故答案为：8已知点，圆，点是圆上一动点，的垂直平分线与交于点，则点的轨迹方程为【解答】解：因为的垂直平分线与交于点，所以所以，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，这里，所以点的轨迹方程为：故答案为：9已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则的方程为【解答】解：由圆，可知圆心；圆，圆心，半径3设动圆的半径为，动圆与圆外切并与圆内切，而，由椭圆的定义可知：动点的轨迹是以，为焦点，4为长轴长的椭圆，曲线的方程为（去掉点故答案为：10方程所表示的曲线是双曲线【解答】解：方程化为：表达式的几何意义是：平面内动点到定点，与

30、到定直线的距离的比为的点的轨迹，不在直线上，轨迹是双曲线故答案为：双曲线11若动点到定点的距离是它到直线的距离的倍，则动点的轨迹方程是【解答】解：点到定点的距离是，点到直线的距离是，化简为故答案为12在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点、，且、，、分别为椭圆的左、右顶点，则直线与的交点所在的曲线方程为【解答】解：由题意，直线的方程为，直线的方程为，两式左右分别相乘得、在椭圆上，代入可得故答案为：三解答题（共28小题）13已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线，求的方程，并说明是什么曲线【解答】解：点，动点满足直线与的斜率之积为，化简得，即曲线的方程为，曲线是一个椭圆，除去左右顶点

31、14已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为，线段，点为上一点，点，求的中点的轨迹方程【解答】解：（1）由题意坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5，得，化简得即点的轨迹方程是，所求轨迹是以为圆心，以5为半径的圆（2）设，根据题意有，所，点在圆上，所以有，所以，所以，所以的中点的轨迹方程为15设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点，求点的轨迹方程【解答】解：因为，故，所以，故，又圆的标准方程为，从而，所以（5分）由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（10分）16已知圆，圆，动圆与圆外切并

32、且与圆内切，圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线被曲线截得的弦的中点坐标【解答】解：（1）由已知得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径设动圆的圆心为，半径为圆与圆外切并且与圆内切，由椭圆的定义可知，曲线是以，为左、右焦点的椭圆（左定点除外），得，椭圆方程为；（2），以为圆心，为半径的圆与圆公共弦所在直线为的方程为，联立曲线与直线，可得，设交点，则，中点的横坐标为，代入直线，得中点的纵坐标为，所求中点坐标为，17已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）若直线与曲线相切，求的值【解答】解：（1）圆，圆，设动圆半径为在内，

33、动圆只能在内与内切，不能是在动圆内，即：动圆与圆外切，则，动圆与圆内切，则，即到和到的距离之和为定值是以、为焦点的椭圆的中点为原点，故椭圆中心在原点，的方程为；（2）由，得：，若直线和曲线相切，则，解得：18已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线求的方程【解答】解：圆，圆，设动圆半径为在内，动圆只能在内与内切，不能是在动圆内，即：动圆与圆外切，则，动圆与圆内切，则，即到和到的距离之和为定值是以、为焦点的椭圆的中点为原点，故椭圆中心在原点，的方程为19已知圆的方程为，定点，求过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程【解答】解：圆与圆外切，如图，即，由双曲线的定义，点的轨迹是以，为焦点

34、，2为实轴长的双曲线的左支，其中，故所求轨方程为20已知两圆，动圆与两圆都相切，求动圆圆心的轨迹方程【解答】解：由题意，若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆，动圆与两圆，都相切，即点在线段，的垂直平分线上又，的坐标分别为与其垂直平分线为轴，动圆圆心的轨迹方程是；若一内切一外切，不妨令与圆内切，与圆外切，则到的距离减去到的距离的差是，由双曲线的定义知，点的轨迹是以与为焦点，以为实半轴长的双曲线左支，故可得，故此双曲线的方程为同理与圆外切，与圆内切，此双曲线的方程为此双曲线的方程为综知，动圆的轨迹方程为或21在三角形中，的内切圆与相切于点，求顶点的轨迹方程【解答】解：如图，设、分别为圆与、的两个切

35、点，则，又，点的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，且，轨迹方程为故答案为：22直角三角形的直角顶点为动点，作于，动点满足，当动点运动时，点的轨迹为曲线，（1）求曲线的轨迹方程；（2）求曲线的轨迹方程；（3）设直线与曲线交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求的最大值【解答】解：（1）直角三角形的直角顶点的轨迹为圆：；（2）设，则，动点满足，解得，代入曲线的轨迹方程可得，化为（3）当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，坐标原点到直线的距离为，化为联立，化为，则，又，当且仅当时取等号综上可得：的最大值为223动点到点的距离与它到直线的距离相等，求动点的轨迹方程【解

36、答】解：由抛物线的定义知点的轨迹是以为焦点的抛物线，其开口方向向右，且，解得，所以其方程为故答案为：24若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程【解答】解：设动圆圆心为，半径为，圆，定圆圆心为，半径，两圆外切，又动圆与直线相切，圆心到直线的距离，即动点到定点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义可得，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且，即，故动圆圆心的轨迹方程为25设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足求点的轨迹方程【解答】解：设，由题意可得，设，由点满足可得，可得，即有，代入椭圆方程，可得，即有点的轨迹方程为圆；故答案为：26在平面直角坐标系中，点，为动点，

37、分别为椭圆的左、右焦点已知为等腰三角形（）求椭圆的离心率；（）设直线与椭圆相交于，两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程【解答】解：（）设，由题得，即，整理得，得（舍，或，所以（）由（）知，可得椭圆方程为，直线方程为，的坐标满足方程组，消并整理得，解得，得方程组的解为，不妨设，设点的坐标为，则，由得，由即将代入化简得，代入化简得所以，因此点的轨迹方程为27设，点的坐标为，点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足，求点的轨迹方程【解答】解：由知，三点在同一条垂直于轴的直线上，故可设，则即再设，由得将代入式得又点在抛物线将代入得整理得因为所以故所求的点的轨迹方程：28已

38、知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线，分别交于，两点，交的准线于，两点（）若在线段上，是的中点，证明；（）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程【解答】（）证明：连接，由，及，得，是的中点，（）设，准线为，设直线与轴交点为，的面积是的面积的两倍，即设中点为，由得，又，即中点轨迹方程为29已知点，动点满足为和的等差中项（1）求动点的轨迹的方程；（2）过作直线交于，两点，求的中点的轨迹方程【解答】解：（1），是与的等差中项，即，点在以，为焦点的椭圆上，又，椭圆的方程是；（2）设中点，在椭圆上，得：，即，整理得：而适合上式，的中点的轨迹方程为30已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为

39、，为坐标原点求的轨迹方程【解答】解：圆的方程可化为，所以圆心为，半径为4设，则，由题设知，（6分）故，即由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是（12分）31在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知直线的参数方程为为参数，点，并且直线与曲线交于，两点，求【解答】解：（1）曲线的参数方程为为参数，整理得曲线的普通方程（2）直线的参数方程为为参数，代入；得到，所以，；故32如图，椭圆，为常数），动圆，点，分别为的左，右顶点，与相交于，四点（）求直线与直线交点的轨迹方程；（）设动圆与相交，四点，其中，若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值【解答】解：设，则，则直线的

40、方程为直线的方程为由可得：，在椭圆上，代入可得：；证明：设，矩形与矩形的面积相等，均在椭圆上，为定值33已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程【解答】解：（1）因为点是抛物线的顶点，故点的坐标为，根据题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，设，故，因为，则，因为、是上的两个动点，则有，故，整理可得，解得，由，消去可得，则有，所以，解得，故直线的方程为，所以直线经过一个定点（2）线段的中点坐标为，又直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的方程为，同理，线段的垂直平分线的方程为，由解得，