2025高考数学专项复习第9讲 破解离心率问题之顶底角公式含解析）.docx

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1、2025高考数学专项复习第9讲 破解离心率问题之顶底角公式含解析）第9讲 破解离心率问题之顶底角公式 一选择题（共6小题）1如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线离心率的取值范围为)ABCD2已知，是椭圆的两个焦点，若存在点为椭圆上一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是ABCD3设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则该椭圆离心率的最小值为ABCD4已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点满足，则该椭圆离心率取值范围是ABCD5椭圆的焦点、在轴上，点为椭圆上一点且不大于，则它的离心率的取值范围是ABCD6已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存

2、在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是ABCD二多选题（共3小题）7已知椭圆的左、右两个焦点分别为，为椭圆上一动点，则下列结论正确的有A的周长为6B的最大面积为C存在点使得D的最大值为58已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的一个的值ABCD9已知是椭圆的右焦点，为左焦点，为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点，2，3，组成公差为的等差数列，则A的面积最大时，B的最大值为8C的值可以为D椭圆上存在点，使三填空题（共7小题）10已知双曲线的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，则双曲线的离心率的取值范围为11椭圆的左右焦点为，是

3、椭圆上一点，若，且，则椭圆的离心率的取值范围是12已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是13已知、是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是14已知椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为 15设椭圆两焦点为，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围为16已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的范围 2025高考数学专项复习第9讲 破解离心率问题之顶底角公式含解析）第9讲 破解离心率问题之顶底角公式 参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1如图，已知双

4、曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）ABCD【解答】解：在中，在直角三角形中，可得，取左焦点，连接，可得四边形为矩形，故选：2已知，是椭圆的两个焦点，若存在点为椭圆上一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是ABCD【解答】解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值由此可得：存在点为椭圆上一点，使得，中，可得中，所以，即，其中，可得，即椭圆离心率，且故选：3设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则该椭圆离心率的最小值为ABCD【解答】解：在以为直径，

5、原点为圆心的圆上，圆与椭圆相交的条件为圆的半径在椭圆半长轴和半短轴之间，即：，由可得：故选：4已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点满足，则该椭圆离心率取值范围是ABCD【解答】解：设，由余弦定理得：，又，即，解得，得，故选：5椭圆的焦点、在轴上，点为椭圆上一点且不大于，则它的离心率的取值范围是ABCD【解答】解：因为椭圆中位于短轴端点时，最大，由题意可知，所以，即，解得又因为，解得所以故选：6已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是ABCD【解答】解：点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则的最大值大于等于即可，即当为短轴端点时，即可，如图所示，

6、又，该椭圆的离心率的取值范围是故选：二多选题（共3小题）7已知椭圆的左、右两个焦点分别为，为椭圆上一动点，则下列结论正确的有A的周长为6B的最大面积为C存在点使得D的最大值为5【解答】解：根据题意可得，对于：的周长为，故正确，对于：的最大面积为，故正确，对于：若要存在点使得，则，即点在以为直径的圆上，且，所以点为以为直径的圆与椭圆的交点，而椭圆的短轴一半长为，所以不存在点，故错误，对于，所以最大值为5，故正确，故选：8已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的一个的值ABCD【解答】解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张

7、角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值椭圆上存在点使得是钝角，中，中，即，可得，又，结合选项可得，满足条件的一个的值为故选：9已知是椭圆的右焦点，为左焦点，为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点，2，3，组成公差为的等差数列，则A的面积最大时，B的最大值为8C的值可以为D椭圆上存在点，使【解答】解：由已知椭圆方程可得：，由椭圆的性质可得：当点为椭圆的短轴端点时，最大，且此时三角形的面积也最大，此时，正确，错误，椭圆上的动点满足，即，又椭圆上至少有21个不同的点组成公差为的等差数列，所以的最大值为8，正确，设已知的等差数列为，公差为，则，又，所以，所以，即的最大值为，正确，

8、故选：三填空题（共7小题）10已知双曲线的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，则双曲线的离心率的取值范围为，【解答】解：法一：，设，则，法二：，令，故答案为：，11椭圆的左右焦点为，是椭圆上一点，若，且，则椭圆的离心率的取值范围是，【解答】解：椭圆的左右焦点为，是椭圆上一点，若，且，可得，则，短轴的端点与两个焦点所成角大于等于，因为，所以故答案为：12已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是【解答】解：，可得，在中，在直角三角形中，可得，取左焦点，连接，可得四边形为矩形，故答案为：13已知、是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且

9、，则椭圆的离心率的取值范围是【解答】解：、是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且，以为直径的圆与椭圆有交点，圆的半径，又，椭圆的离心率的取值范围是，故答案为，14已知椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为，【解答】解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值由此可得：存在点为椭圆上一点，使得，中，中，所以，即，可得，故答案为：，15设椭圆两焦点为，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围为，【解答】解：点满足，点的轨迹是以为直径的圆，其方程为又椭圆上存在点，使得，以为直径的圆与椭圆有公共点

10、，由此可得椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部，即，化简得，解得因此，椭圆的离心率椭圆离心率在之间取值，椭圆的离心率，故答案为：，16已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的范围 ，【解答】解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，因为椭圆上存在点使得是钝角，所以中，所以直角三角形中，所以，即，所以，即，所以，又，所以，故答案为：，第10讲 几何法秒解离心率问题 一选择题（共19小题）1过双曲线的右焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线左支于点，且是的中点，则双曲线离心率为

11、ABCD2设，分别是双曲线的左、右焦点圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为ABCD3如图，已知椭圆，过原点的直线与椭圆交于、两点，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则椭圆离心率的取值范围为A，B，C，D，4已知，是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，则椭圆的离心率为ABCD5设椭圆的两个焦点是，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率为ABCD6如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之和为AB4CD7设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为A3B

12、2CD8设椭圆的左、右两个焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率为ABCD9已知双曲线过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点，、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为AB2CD10设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是ABCD11设双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为已知，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是ABCD12已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为ABCD13已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线支上，满足，又直线与双曲线的左

13、、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是ABCD14已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点为上一点，且轴过点的直线与线段交于点，与轴交于点若直线经过的三等分点（靠近点），则的离心率为ABCD15已知双曲线的左、右焦点分别为、，是右支上一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率是ABCD16已知双曲线的左顶点为，过双曲线的右焦点作轴的垂线交于点，点位于第一象限，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为AB2CD17已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为ABCD18已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆

14、与双曲线的一条渐近线交于，两点若，则双曲线的离心率为ABCD219过椭圆的左顶点作圆是椭圆的焦距）两条切线，切点分别为，若，则该椭圆的离心率为ABCD二填空题（共11小题）20已知是双曲线的一个焦点，是上的点，线段交以的实轴为直径的圆于，两点，且，是线段的三等分点，则的离心率为21设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为22如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点若四边形为矩形，则的离心率是 23已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是24已知直线与双曲线相交于不同的两点，为双曲线的左焦点，且满足，为坐标原点），则

15、双曲线的离心率为25双曲线的左、右焦点分别是、，直线与曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率是 26已知双曲线的右焦点为，是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为27设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是28已知点是椭圆的右焦点，点是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 29已知双曲线的左、右焦点分别为，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为若，则的离心率是30已知双曲线的右顶点为，且以为圆心，双曲线虚轴长为直

16、径的圆与双曲线的一条渐近线相交于，两点，若则双曲线的离心率的取值范围是第10讲 几何法秒解离心率问题 参考答案与试题解析一选择题（共19小题）1过双曲线的右焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线左支于点，且是的中点，则双曲线离心率为ABCD【解答】解：如图，记右焦点为，则为的中点，为的中点，为的中位线，为切点，点在双曲线上，在中，有：，即，离心率，故选：2设，分别是双曲线的左、右焦点圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为ABCD【解答】解：可设为第一象限的点，且，由题意可得，由双曲线的定义可得，由勾股定理可得，联立消去，可得：，即，则，故选：3如图，已知椭圆，过原点的直线与椭圆交于、两点

17、，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则椭圆离心率的取值范围为A，B，C，D，【解答】解：设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为矩形因此，又，故选：4已知，是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，则椭圆的离心率为ABCD【解答】解：设，则，而由椭圆的定义可知，所以，所以，则，在中，所以在中，即，整理可得：，所以，故选：5设椭圆的两个焦点是，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率为ABCD【解答】解：如图，因为，且，所以，可得，故过作，在直角三角形中，由，可得即可得，故选：6如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之和为AB4CD

18、【解答】解：、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若，且，可得：，代入椭圆方程可得：，可得，可得，解得代入双曲线方程可得：，可得：，可得：，解得，则与的离心率之和为：故选：7设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为A3B2CD【解答】解：设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，设，则，即，又，在中，由余弦定理可得：，即，双曲线的离心率故选：8设椭圆的左、右两个焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率为ABCD【解答】解：设椭圆的左、右两个焦点分别为、，右顶点为，为椭圆

19、上一点，且，可知：，设，可得，解得，可得故选：9已知双曲线过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点，、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为AB2CD【解答】解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，即，如下图所示：由点到直线距离公式可知：，又，设，由双曲线对称性可知，而，由正切二倍角公式可知：，即，化简可得：，即，由双曲线离心率公式可知：故选：10设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是ABCD【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为，分别与联立，解得，中点坐标为，点满足，故选：11设双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点

20、为已知，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是ABCD【解答】解：令代入双曲线的方程可得，由，可得，即为，即有，因为恒成立，由双曲线的定义，可得恒成立，由，共线时，取得最小值，可得，即有，由，结合可得，的范围是故选：12已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为ABCD【解答】解：在中，由正弦定理知，即，又在椭圆上，联立得，即，同除以得，得椭圆的离心率的取值范围为故选：13已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线支上，满足，又直线与双曲线的左、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是ABCD【解答】解：以，为边，作平行四边形，如图

21、所示：则，又，所以，因为对角线相等的平行线四边形是矩形，所以，根据双曲线的性质，可知，因为，所以，即，在中，有，又，所以，所以，因为，即，所以，解得，又因为双曲线的离心率，所以，由题意知，双曲线的渐近线方程为，又直线与双曲线的左右两支各交于一点，所以直线的斜率大于双曲线的渐近线的斜率，所以，即，所以，解得（或舍去），综上所述，故选：14已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点为上一点，且轴过点的直线与线段交于点，与轴交于点若直线经过的三等分点（靠近点），则的离心率为ABCD【解答】解：如图，由，所以，得所以故选：15已知双曲线的左、右焦点分别为、，是右支上一点，与轴交于点，的内切圆在

22、边上的切点为，若，则的离心率是ABCD【解答】解：设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为，则，由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得，解得，又，即有，离心率故选：16已知双曲线的左顶点为，过双曲线的右焦点作轴的垂线交于点，点位于第一象限，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为AB2CD【解答】解：把代入双曲线，解得，为等腰直角三角形，即，即，解得或（舍故选：17已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为ABCD【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：，即，由题意可得，所以到渐近线的距离，圆的半径为，因为，所以可得，所以，所以可得离心率

23、，故选：18已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点若，则双曲线的离心率为ABCD2【解答】解：双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径做圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点若，可得到渐近线的距离为：，可得：，即，可得离心率为：故选：19过椭圆的左顶点作圆是椭圆的焦距）两条切线，切点分别为，若，则该椭圆的离心率为ABCD【解答】解：左顶点，因为，由椭圆的对称性可得，所以，即，所以离心率，故选：二填空题（共11小题）20已知是双曲线的一个焦点，是上的点，线段交以的实轴为直径的圆于，两点，且，是线段的三等分点，则的离心率为【解答】解：如图：，是的中点，也是的中点，设，

24、可得：，消去可得：，即，即，解得，所以故答案为：21设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为【解答】解：设椭圆的标准方程为：，由，设，过做，则，由椭圆的定义可得：，即，由，即，整理得：解得，即，则故答案为：22如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点若四边形为矩形，则的离心率是【解答】解：设，点为椭圆，；，即；又四边形为矩形，由解得，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，的离心率是故答案为：23已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是2【解答】解：令，代入双曲线的方程可得，由题意可设，由，可得，即为，由，可得，解得（负的

25、舍去）故答案为：224已知直线与双曲线相交于不同的两点，为双曲线的左焦点，且满足，为坐标原点），则双曲线的离心率为【解答】解：设，则，取双曲线的右焦点，连接，可得四边形为平行四边形，可得，设在第一象限，可得，即，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得，化为，则故答案为：25双曲线的左、右焦点分别是、，直线与曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率是 【解答】解：设，因为，则，所以，在三角形中，由余弦定理可得：，整理可得：，所以离心率，故答案为：26已知双曲线的右焦点为，是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为2【解答】解：如图，由题

26、知，则，点是线段的中点，则，故，则，所以故答案为：227设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是【解答】解：不妨设双曲线的方程是，由及双曲线的对称性知，关于轴对称，如图，又满足条件的直线只有一对，当直线与轴夹角为时，双曲线的渐近线与轴夹角大于，双曲线与直线才能有交点，若双曲线的渐近线与轴夹角等于，则无交点，且不可能存在，当直线与轴夹角为时，双曲线渐近线与轴夹角小于，双曲线与直线有一对交点，若双曲线的渐近线与轴夹角等于，也满足题中有一对直线，但是如果大于，则有两对直线不符合题意，则，解得故答案为28

27、已知点是椭圆的右焦点，点是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为【解答】解：如图，作轴于点，则由，得：，所以，即，由椭圆的第二定义得，又由，得，解得，故答案为：29已知双曲线的左、右焦点分别为，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为若，则的离心率是【解答】解：设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为，则，由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得，解得，又，即有，离心率故答案为：30已知双曲线的右顶点为，且以为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于，两点，若则双曲线的离心率的取值范围是，【解答】解：由题意可得，渐近线的方程为：，由双曲线及渐近线的对称性圆交于，过作于，由题意可得，因为则，所以，则，而由点到直线的距离公式可得，所以，即，即，故答案为：，