2025高考数学专项复习第25讲 三角形面积问题含解析.docx

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1、2025高考数学专项复习第25讲 三角形面积问题含解析第25讲 三角形面积问题 一解答题（共19小题）1已知焦点在轴上的椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线，直线上存在、两点满足，求面积的最小值（3）若与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，交轴于定点，线段的垂直平分线交轴于点，且为定值，求点的坐标2如图，椭圆的离心率为，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点为椭圆外一点，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积最大值时的直线的方程3如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与

2、相交于、两点，且线段被直线平分（1）求椭圆的方程；（2）求直线的斜率；（3）求面积的最大值4已知点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点当的面积最大时，求直线的方程5已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）（1）求证：直线过定点；（2）求与面积之和的最小值6如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，点为抛物线的焦点，且抛物线上存在不同的两点，（1）若中点为，且满足，的中点均在上，证明：垂直于轴；（2）若点，在该抛物线上且位于轴的两侧，为坐标原点），且与的面积分别为和，求最小值7如图，

3、已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上（）设中点为，证明：垂直于轴；（）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围8已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（1）若直线垂直于轴，求；（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由9已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，且的斜率为（1）求椭圆的离心率的值；（2）若，为过椭圆的右焦点的任意直线，且直线交椭圆于点，求内切圆面积的最大值10已知椭圆的左、右焦点分别是和，离心率为，以在椭圆上，且的

4、面积的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆右焦点，交该椭圆于、两点，中点为，射线交椭圆于，记的面积为，的面积为，若，求直线的方程11已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点在椭圆上，直线过交椭圆于，两点（1）求椭圆的标准方程；（2）当时，点在轴上方时，求点，的坐标；（3）若直线交轴于点，直线交轴于点，是否存在直线，使得与的面积满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由12已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆离心率（1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点，若的面积为，求直线的方程13已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，点，是坐标平面内一点，且（1）求椭圆的方程；

5、（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于、两点，问：在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由14已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，的周长为8，为坐标原点（）求椭圆的方程；（）求面积的最大值15已知抛物线上有一点到焦点的距离为（）求及的值；（）如图，设直线与抛物线交于两点，且，过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，连接，试判断的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由16已知点是抛物线上的动点，点到抛物线准线与到点，的距离之和的最小值为（1）求抛物线的方程；（2）如图，设直线与抛物线交于两点，且

6、，过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，求的面积17如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点（）求证：点在定直线上；（）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标18已知，椭圆的离心率，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程19椭圆的离心率为，其右焦点到椭圆外一点的距离为，不过原点的直线与椭圆相

7、交于，两点，且线段的长度为2（）求椭圆的方程；（）求面积的最大值第25讲 三角形面积问题 参考答案与试题解析一解答题（共19小题）1已知焦点在轴上的椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线，直线上存在、两点满足，求面积的最小值（3）若与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，交轴于定点，线段的垂直平分线交轴于点，且为定值，求点的坐标【解答】解：（1）设椭圆的方程为，椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，所以，又椭圆经过点，代入椭圆方程，求得，所以椭圆的方程为：；（2）设，由，所以，故面积的最小值为9；（3）设直线的方程为：，则点，联立，消去

8、得，所以，则的中点的坐标为，又，得，则直线的方程为：，令，得点的坐标为，则，所以，当且仅当时，比值为定值，此时点，为，故或2如图，椭圆的离心率为，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点为椭圆外一点，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积最大值时的直线的方程【解答】解：（1）由题意可知：，左焦点到椭圆上点的最远距离为3，即使，可解得：，所求椭圆的方程为：；（4分）（2）易得直线的方程：，设，其中，在椭圆上，（6分）设直线的方程为，代入椭圆：，整理得：，根据韦达定理可知：，（8分），点到直线的距离为：丨丨丨丨，（10分）当时，取最大值，此时直线的方程（12

9、分）3如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于、两点，且线段被直线平分（1）求椭圆的方程；（2）求直线的斜率；（3）求面积的最大值【解答】解：（1）设椭圆的左焦点的坐标为，则由已知可得，且，解得，所以，所以椭圆的方程为；（2）设，的中点为，则，两式作差可得：，又，且，即，所以，故直线的斜率为；（3）由（2）设直线的方程为，则点到直线的距离为，联立方程，消去整理可得：，所以，所以，所以三角形的面积为，当且仅当，即时取等号，此时三角形的面积的最大值为4已知点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆

10、相交于，两点当的面积最大时，求直线的方程【解答】解：（1）设，由条件知又，可得，椭圆的方程：（2）依题意当轴不合题意，故设直线，设，将代入椭圆的方程：得，当，即，从而又点到直线的距离所以的面积设，则，当且仅当，等号成立，且满足，所以当的面积最大时，的方程为：或5已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）（1）求证：直线过定点；（2）求与面积之和的最小值【解答】解：（1）设直线的方程为：，点，由，可得，点，在抛物线上可得，由可得或1（舍去），由可得根据韦达定理有，直线过定点；（2）点，位于轴的两侧，不妨设在轴的上方，则，又焦点，当且仅当，取“”号，与面积之和的最小值是3

11、，6如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，点为抛物线的焦点，且抛物线上存在不同的两点，（1）若中点为，且满足，的中点均在上，证明：垂直于轴；（2）若点，在该抛物线上且位于轴的两侧，为坐标原点），且与的面积分别为和，求最小值【解答】解：（1）证明：设，因为直线，的中点在抛物线上，所以，为方程的两个根，即，的两个不同的实数根，所以，所以垂直于轴（2）根据题意可得，设，则，所以，则或，因为，位于轴的两侧，所以，设直线的方程为，联立，得，所以，则，所以直线过定点，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为67如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上（）设中点为，证明：

12、垂直于轴；（）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围【解答】解：（）证明：可设，中点为的坐标为，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上，可得，化简可得，为关于的方程的两根，可得，可得，则垂直于轴；（另解：设，的中点分别为，交于，为的中位线，又为的中点，为的中点，设，由，解得，所以垂直于轴）（）若是半椭圆上的动点，可得，由（）可得，由垂直于轴，可得面积为，可令，可得时，取得最大值；时，取得最小值2，即，则在递增，可得，面积的取值范围为，8已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（1）若直线垂直于轴，求；（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，

13、若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）依题意，当轴时，则，得；（2）设，又在椭圆上，满足，即，解得，即直线，联立，解得，；（3）设，直线，则，联立，得则，由直线的方程：，得纵坐标；由直线的方程：，得的纵坐标若，即，代入根与系数的关系，得，解得存在直线或满足题意9已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，且的斜率为（1）求椭圆的离心率的值；（2）若，为过椭圆的右焦点的任意直线，且直线交椭圆于点，求内切圆面积的最大值【解答】解：（1）设点的坐标为，点的坐标为，则线段的中点为，直线的斜率为，直线的斜率为，所以，直线和直线的斜率之积为，由于

14、点、在椭圆上，则有，上述两式相减得，化简得，所以，因此，椭圆的离心率为；（2）由（1）知，由于，得，由于，得，所以，所以，椭圆的标准方程为，的周长为，椭圆的右焦点为，设直线的方程为，设点，、，将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，由韦达定理可得，的面积为，令，则，所以，由于函数在区间，上单调递增，所以，当时，的面积取到最大值，设的内切圆的半径为，则，所以，当的面积取到最大值时，其内切圆的半径取到最大值，因此，内切圆面积的最大值为10已知椭圆的左、右焦点分别是和，离心率为，以在椭圆上，且的面积的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆右焦点，交该椭圆于、两点，中点为，射线交椭圆于，记的面积为，

15、的面积为，若，求直线的方程【解答】解：（1）依题意，显然当在短轴端点时，的面积最大为，即，又由离心率为，解得，所以椭圆的方程为（2）因为，所以，所以，所以，当斜率不存在时，不合题意，当斜率存在时，设直线方程为，设点，则，两式作差得：，即，故直线的方程为：，联立，解得，联立，解得，因为，所以，即，解得：，所以直线的方程为11已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点在椭圆上，直线过交椭圆于，两点（1）求椭圆的标准方程；（2）当时，点在轴上方时，求点，的坐标；（3）若直线交轴于点，直线交轴于点，是否存在直线，使得与的面积满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意可知，又

16、，联立方程组可解得：，所以椭圆的方程为（2）设，依题意，因为，所以，即，又在椭圆上，满足，即，解得，即，直线，联立方程组，解得（3）存在直线或，使得与的面积满足，设，直线（斜率不存在时不满足题意），则，联立方程组，整理得则，由直线的方程：，得纵坐标由直线的方程：，得纵坐标，由，得所以，所以，代入根与系数的关系式，得，解得存在直线或满足题意12已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆离心率（1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点，若的面积为，求直线的方程【解答】解：（1）可得，椭圆的方程为：（2），该直线的方程设为，联立可得设，则，的面积解得直线的方程为13已知椭圆的离心率为，其左、

17、右焦点分别为，点，是坐标平面内一点，且（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于、两点，问：在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）设，由，即为，即有，又，解得，又，则，因此所求椭圆的方程为：；（2）动直线的方程为，由，得，设，则，假设在轴上存在定点，满足题设，则，由假设得对于任意的，恒成立，即，解得因此，在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过这个点，点的坐标为这时，点到的距离，设则得，所以，当且仅当时，上式等号成立因此，面积的最大值是14已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点

18、，的周长为8，为坐标原点（）求椭圆的方程；（）求面积的最大值【解答】解：（）因为过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，的周长为8，则由椭圆的定义可得，所以，又，所以，则，故椭圆的方程为；（）由（）值，则可设直线的方程为：，代入椭圆方程可得：，设，则，所以，原点到直线的距离为，所以三角形的面积为，令，所以，当时，函数单调递增，所以当时，故三角形的面积的最大值为15已知抛物线上有一点到焦点的距离为（）求及的值；（）如图，设直线与抛物线交于两点，且，过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，连接，试判断的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由【解答】解：由抛物线，可得焦点，抛物线上的点到焦点的

19、距离为，把代入抛物线方程，解得联立，得：，即，的面积16已知点是抛物线上的动点，点到抛物线准线与到点，的距离之和的最小值为（1）求抛物线的方程；（2）如图，设直线与抛物线交于两点，且，过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，求的面积【解答】解：（1）点到抛物线准线与到点，的距离之和的最小值为，点到抛物线的焦点与到点，的距离之和的最小值为，抛物线的方程为；（2）联立直线与抛物线得：，即，的面积17如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，线段的中点为，直线与过

20、且垂直于轴的直线交于点（）求证：点在定直线上；（）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标【解答】解：（1）抛物线的焦点，因为在椭圆上，所以，又因为离心率，所以可得，所以椭圆的方程为：；（2）设，因为，所以，在点的切线的方程，即，设，联立，整理可得：，由，得且，因此，将其代入，得，所以，所以直线的方程为，联立方程，解得点的纵坐标为，所以点在定直线上；由知直线的方程为，令，得，所以，又，所以，设，则，当，即时，取到最大值，此时，满足式，所以点的坐标为，18已知，椭圆的离心率，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于

21、，两点，当的面积最大时，求直线的方程【解答】解：（1）设，由条件知，得，又，所以，故的方程；（2）依题意当轴不合题意，故设直线，设，将代入，得，当，可得，即或，从而，又点到直线的距离，所以的面积，设，则，当且仅当，等号成立，且满足，所以当的面积最大时，的方程为：或19椭圆的离心率为，其右焦点到椭圆外一点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，且线段的长度为2（）求椭圆的方程；（）求面积的最大值【解答】解：（）设椭圆右焦点为，则由题意得得或（舍去），所以椭圆方程为（）因为线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点、能构成三角形，直线不过原点，则弦与垂直，故可设直线程为，由消去，并整理，得，设，又，所

22、以，因为，所以，即，所以，即，因为，所以又点到直线的距离，因为，所以，所以，即的最大值为第26讲 四边形面积问题 一选择题（共1小题）1已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，若四边形为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为ABCD二填空题（共2小题）2设、为椭圆的左右焦点，过椭圆的中心任作一直线与椭圆交于两点，当四边形面积最大时，的值等于3设，是椭圆的两个焦点，过，分别作直线，且，若与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点（点，在轴上方），则四边形面积的最大值为三解答题（共15小题）4已知椭圆的离心率，过右焦点作

23、与轴垂直的直线，与椭圆的交点到轴的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于、两点、不在轴上），若，求四边形面积的最大值5已知椭圆的离心率为，过其右焦点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，椭圆的右顶点为，且满足（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为（其中的直线过点，且与椭圆交于点，弦的中点为，直线与椭圆交于点，求四边形面积的取值范围6已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，（1）证明：直线过定点；（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积7如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，已知，且（）求

24、、的方程；（）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值8已知点是抛物线的焦点，是其准线上任意一点，过点作直线，与抛物线相切，为切点，与轴分别交于，两点（）求焦点的坐标，并证明直线过点；（）求四边形面积的最小值9已知，曲线上任意一点满足直线与直线的斜率之积为（1）求曲线的标准方程；（2）已知直线过（与轴不重合）且交于，两点，过且垂直于直线的直线交于，两点，求四边形面积的取值范围10平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于，两点，且椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2），为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值11过椭圆右焦点的直线交于，两点，且椭圆的

25、长轴长为短轴长的倍（1）求的方程；（2），为上的两点，若四边形的对角线分别为，且，求四边形面积的最大值12已知双曲线的离心率，点、分别是曲线的两条渐近线、上的两点，为坐标原点）的面积为9，点是曲线上的一点，且（1）求此双曲线的方程；（2）设点是此双曲线上的任意一点，过点分别作、的平行线交、于、两点，试证：平行四边形的面积为定值（3）若点是此双曲线上不同于实轴端点的任意一点，设、分别为双曲线的左、右焦点），且，试求的变化范围13已知，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的垂线，在轴上方交双曲线于点，且（1）求双曲线的两条渐近线的夹角；（2）过点的直线和双曲线的右支交于，两点，求的面积最小值；（3）

26、过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于，两点，求平行四边形的面积14如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由15已知的两个顶点坐标是，的周长为，是坐标原点，点满足（）求点的轨迹的方程；（）若互相平行的两条直线，分别过定点和，且直线与曲线交于，两点，直

27、线与曲线交于，两点，若四边形的面积为，求直线的方程16如图，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且（1）求，的方程；（2）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值17已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线的准线上（）求椭圆的方程；（）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，如图所示若，求圆的方程；设与四边形的面积分别为，若，求的取值范围18已知椭圆的左右焦点分别为，点，是椭圆的左右顶点，点是椭圆上一动点，的周长为6，且直线，的斜率之积为（1）求

28、椭圆的方程；（2）若、为椭圆上位于轴同侧的两点，且，求四边形面积的取值范围第26讲 四边形面积问题参考答案与试题解析 一选择题（共1小题）1已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，若四边形为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为ABCD【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，渐近线方程为，设，可得，设的方程为，的方程为，到直线的距离为，由解得，即，可得，则四边形的面积为，解得，则双曲线的方程为，焦点，以为直径的圆的方程为，联立双曲线方程，解得，可得在以为直径的圆外，且在双曲线上，可得的横坐标的范围是，故选：二填

29、空题（共2小题）2设、为椭圆的左右焦点，过椭圆的中心任作一直线与椭圆交于两点，当四边形面积最大时，的值等于7【解答】解：因为四边形是平行四边形，所以，四边形可以成两个全等三角形的组合图形，则；当取最大值时四边形面积最大，即当点、分别在上下顶点时，取最大值，四边形面积最大，令椭圆的实半轴为，虚半轴为，焦半径为此时，故答案为73设，是椭圆的两个焦点，过，分别作直线，且，若与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点（点，在轴上方），则四边形面积的最大值为4【解答】解：由题意可得椭圆的焦点，的坐标分别为，因为，设平行线间的距离为，所以四边形面积为，当直线的斜率不存在时，可得四边形为矩形，设直线的方程：，代入椭

30、圆的方程可得，所以，这时，当直线的斜率存在且不为0时，且，由椭圆的对称性可得为平行四边形，设的方程为：，设，联立直线与椭圆的方程，整理可得，所以，可得两条平行线间的距离，所以令，则，所以，所以，故答案为：4三解答题（共15小题）4已知椭圆的离心率，过右焦点作与轴垂直的直线，与椭圆的交点到轴的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于、两点、不在轴上），若，求四边形面积的最大值【解答】解：（1）由已知可得，因为直线经过右焦点，所以，即，又因为，所以，所以椭圆的方程为（2）因为过的直线与椭圆交于，两点，不在轴上），所以设直线的方程为，联立得，设，则，因为，所以四边形为平行四

31、边形，所以，令，得，由对勾函数的单调性，得当，即时，5已知椭圆的离心率为，过其右焦点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，椭圆的右顶点为，且满足（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为（其中的直线过点，且与椭圆交于点，弦的中点为，直线与椭圆交于点，求四边形面积的取值范围【解答】解：（1）由得，椭圆（2分）（2）斜率为（其中的直线过点，可得直线方程为：，由消得恒正，（4分），（此处也可以用点差法：由得，由得，即为、两点的坐标（6分）点，到直线的距离之和为（8分）（10分）的取值范围：（12分）6已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，（1）证明：直线过定点；（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切

32、点为线段的中点，求四边形的面积【解答】解：（1）证明：的导数为，设切点，即有，切线的方程为，即为，切线的方程为，联立两切线方程可得，可得，即，直线的方程为，即为，可化为，可得恒过定点；（2）法一：设直线的方程为，由（1）可得，中点，由为切点可得到直线的距离即为，可得，解得或，即有直线的方程为或，由可得，四边形的面积为；由，可得，此时到直线的距离为；到直线的距离为，则四边形的面积为；法二：（2）由（1）得直线的方程为由，可得于是，设，分别为点，到直线的距离，则，因此，四边形的面积设为线段的中点，则由于，而，与向量平行，所以解得或当时，；当时，综上，四边形的面积为3或7如图，为坐标原点，椭圆的左、

33、右焦点分别为，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，已知，且（）求、的方程；（）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值【解答】解：（）由题意可知，且，且，且解得：椭圆的方程为，双曲线的方程为；（）由（）可得直线不垂直于轴，设的方程为，联立，得设，则，则在直线上，直线的方程为，联立，得解得，代入得由，得，的坐标分别为，则，到的距离分别为：，在直线，的两端，则四边形的面积当，即时，四边形面积取得最小值28已知点是抛物线的焦点，是其准线上任意一点，过点作直线，与抛物线相切，为切点，与轴分别交于，两点（）求焦点的坐标，并证明直线过点；（）求四边形面积的最小值

34、【解答】解：解法一：，设，则即同理又在，上，则，所以所以直线过焦点解法二：，设直线方程 为，则由得，所以，过的切线方程为，过的切线方程为，所以交点的坐标为因为在直线上，所以，所以即直线过焦点由知，代入得，则，则，到的距离，所以，由（1）知，则，所以，令，则，在，上是增函数，则四边形面积的最小值为39已知，曲线上任意一点满足直线与直线的斜率之积为（1）求曲线的标准方程；（2）已知直线过（与轴不重合）且交于，两点，过且垂直于直线的直线交于，两点，求四边形面积的取值范围【解答】解：（1）设动点，由题意可知，化简可得：（2）当与轴不垂直时，设的方程为，由得则，所以过点且与垂直的直线，圆心到的距离为，所

35、以故四边形的面积可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为，当与轴垂直时，其方程为，四边形的面积为12综上，四边形面积的取值范围为10平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于，两点，且椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2），为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值【解答】解：（1）直线过椭圆的右焦点，令，则，所以椭圆的右焦点为，故，因为椭圆的离心率为，则，解得，所以，故椭圆的方程为；（2）由，可得或，因此；由题意，可设直线的方程为，由，可得，所以，因为，则直线的斜率为1，所以，故四边形的面积为，当时，取得最大值，故四边形面积的最大值为11过椭圆右焦点的直线交于，两点，且椭圆的长轴长

36、为短轴长的倍（1）求的方程；（2），为上的两点，若四边形的对角线分别为，且，求四边形面积的最大值【解答】解：（1）由题意知，解得，所以的方程为：；（2）联立方程组，解得，、，可得依题意可设直线的方程为：，与线段相交，联立方程组消去得：，设，则，四边形的面积，当时，最大，最大值为所以四边形的面积最大值为12已知双曲线的离心率，点、分别是曲线的两条渐近线、上的两点，为坐标原点）的面积为9，点是曲线上的一点，且（1）求此双曲线的方程；（2）设点是此双曲线上的任意一点，过点分别作、的平行线交、于、两点，试证：平行四边形的面积为定值（3）若点是此双曲线上不同于实轴端点的任意一点，设、分别为双曲线的左、右

37、焦点），且，试求的变化范围【解答】（1）解：双曲线的离心率，则，双曲线的渐近线方程为，设，则，即，可知所求双曲线方程为，点在双曲线上，又，联立解得：，则，所求双曲线方程为；（2）证明：设，则双曲线的渐近线方程为，设其中一条平行的直线方程为，即联立，解得，不妨设点，则，又点到直线的距离，（定值）；（3）解：为双曲线上任意一点，又，即，即，则，13已知，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的垂线，在轴上方交双曲线于点，且（1）求双曲线的两条渐近线的夹角；（2）过点的直线和双曲线的右支交于，两点，求的面积最小值；（3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于，两点，求

38、平行四边形的面积【解答】解：（1）双曲线的，可令，解得，设，由，可得，解得，则双曲线的方程为，可得双曲线的方程为，即有，可得夹角；（2）当直线的斜率不存在，可得，可得的面积为；直线的斜率存在，设过点的直线设为，联立双曲线方程，可得，设，又，可得，可得的面积为，设，可得，综上可得的面积的最小值为；（3）设，可得，双曲线的渐近线方程为，到直线的距离为，由平行于直线的直线，联立直线，可得，即有行四边形的面积为14如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为

39、双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由【解答】解：（1）因为双曲线，可得，由双曲线的定义可得，又因为，可得，因为，由，可得，则点的横坐标为，所以，可得，即点，过点且与渐近线平行的直线的方程为，联立双曲线的方程，解得点，直线的方程为，点到直线的距离为，且，因此，四边形的面积为；（2）四边形的面积为定值，理由如下：设点，双曲线的渐近线方程为，则直线的方程为，联立，解得，即点，直线的方程为，即，点到直线的距离为，且，因此，（定值）15已知的两个顶点坐标是，的周长为，是坐标原点

40、，点满足（）求点的轨迹的方程；（）若互相平行的两条直线，分别过定点和，且直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，若四边形的面积为，求直线的方程【解答】解：（）由已知，得，所以，点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不含左右顶点）因为，所以，所以，点的轨迹方程为设，由得，又故，点的轨迹的方程为，即（）由题意可知，当直线的斜率不存在时，易求得，这时，四边形的面积为，不符合要求当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，则直线的方程为由消去得，设，则，故，又，两条平行直线，间的距离由椭圆的对称性知：四边形为平行四边形，其面积，解得，或故，直线的方程为或16如图，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线

41、的左右焦点分别为，离心率为，已知，且（1）求，的方程；（2）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值【解答】解：（1）因为，所以，即，因此，即，从而，于是，所以，故椭圆方程为，双曲线的方程为（2）因为直线不垂直于轴且过点，故可设直线的方程为由联立椭圆方程，得，易知此方程的判别式大于0设，则，是上述方程的两个实根，所以，因此，的中点为，故直线的斜率为，的方程为，即由联立双曲线方程，得，所以，从而，设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，所以，因为点，在直线的异侧，所以，于是，从而，又因为，所以，四边形面积而，故当时，取得最小值2四边形面积的最小值为217已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线的准线上（）求椭圆的方程；（）设为坐标原点，是直线上的动