1.4.2正弦函数余弦函数的性质.pdf

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1、（1）正弦、余弦函数的性质(教学设计 ) 教学目的：知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。教学重点：正、余弦函数的周期性教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、创设情境 ,导入新课：1现实生活中的“周而复始”现象：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几过了十四天呢（2）现在下午 2 点 30，那么

2、每过 24 小时候是几点（3）路口的红绿灯（贯穿法律意识）2数学中是否存在“周而复始”现象，观察正（余）弦函数的图象总结规律正弦函数( )sinf xx性质如下：（观察图象）1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2规律是：每隔 2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明222525Oxy11精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 结论：象这样一种函数叫做周期函数。文字语言：正弦

3、函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x增加2k（kZ）时，总有(2)sin(2)sin( )f xkxkxf x也即： （1）当自变量x增加2k时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x，sin(2)sinxkx恒成立。余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。二、师生互动，新课讲解：1周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有： f (x+T)= f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。问题：（1）正弦函数sinyx，xR是不是周期函数，如果是，周期是多少（2k，k

4、Z且0k）余弦函数呢（2）观察等式4sin)24sin(是否成立如果成立，能不能说2是 y=sinx的周期（3）若函数( )f x的周期为T，则kT，*kZ也是( )f x的周期吗为什么（是，其原因为：( )()(2 )()f xf xTf xTf xkTL）2.最小正周期： T 往往是多值的（如y=sinx 2,4,-2,-4,都是周期）周期 T 中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx的最小正周期为 2（一般称为周期）从图象上可以看出sinyx，xR；cosyx，xR的最小正周期为2；3、例题讲解例 1（课本 P35例 2） 求下列三

5、角函数的周期：xycos3xy2sin（3）12sin()26yx，xR解： （1）3cos(2 )3cosxx，自变量x只要并且至少要增加到2x，函数3cosyx，xR的值才能重复出现，所以，函数3cosyx，xR的周期是2（2）sin(22 )sin 2()sin 2xxx，自变量x只要并且至少要增加到x，函数sin 2yx，xR的值才能重复出现，所以，函数sin2yx，xR的周期是（3）),621sin(6)4(21sin22)621sin(2xxx，自变量x只要并且至少要增加到4x，函数sin 2yx，xR的值才能重复出现，所以，函数)621sin(2xy，xR的周期是4变式训练 1：

6、求下列三角函数的周期：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （1）y=sin3x （2）y=cos3x（3）y=3sin4x(4) y=sin(x+10) (5) y=cos(2x+3)解：1sin(3x+2)=sin3x 又 sin(3x+2)=sin3(x+32)即：f (x+32)=f (x)周期 T=322cos3x=cos(23x)=cos)6(31x即：f (x+6)=f (x) T=633sin4x=3sin(4x+2)=

7、3sin(）（841x)=f (x+8) 即：f(x+8)=f(x) T=84sin(x+10)=sin(x+10+2) 即 f(x)=f(x+2)T=25cos(2x+3)=cos(2x+3)+2=cos2(x+)+3即：f(x+)=f(x) T=由以上练习，请同学们自主探究T与 x 的系数之间的关系。小结：形如 y=Asin(x+) (A,为常数 ,A0, xR) 周期2|Ty=Acos( x+)也可同法求之一般结论：函数sin()yAxb及函数cos()yAxb，xR的周期2|T课堂巩固练习 2 快速求出下列三角函数的周期(1)y=sinx43（2） y=cos4x+1 (3) y=)5

8、cos(21x(4)y=sin(431x)(5)y=3cos(-352x)-1三、课堂小结： 1.周期函数定义：对定义域内任意x,都有 f(x+T)=f(x).=sin x与 y=cos x的周期都是 2k,最小正周期是 2.3.sin()yAxb及cos()yAxb的周期2|T精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 四、作业布置1、P52 3 2、金太阳导学案与固学案4奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性其特

9、点是什么(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。例如：f(-3)=21,f(3)=21,即 f(-3)=f(3)；由于 cos(x)=cosx f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx 的图象上的任一点 ,那么,与它关于 y 轴的对称点 (-x,y)也在函数 y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。(2)正弦函数的图形观察函数 y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么

10、关系这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢函数的图象关于原点对称。也就是说，如果点（ x,y）是函数 y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数 y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(x)=f(x) ，那么精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 函数 f(x)就叫做奇函数。如果函数 f(x)是奇函数或偶函

11、数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）f(-x)= f(x)或 f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。首先看其定义域是否关于原点对称， 若对称，再计算 f(-x)， 看是等于 f(x)还是等于 - f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。例 2： 判断下列函数的奇偶性(1)y=sinxcosx (2)y=cos2x变式训练 2：判断下列函数的奇偶性（1）y=sinx+cosx (2)y=sin2x5.单调性从 ysinx，x23,2的图象上可看出：当 x2

12、，2时，曲线逐渐上升， sinx 的值由 1 增大到 1.当 x2，23时，曲线逐渐下降， sinx 的值由 1 减小到 1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间22k，22k(kZ)上都是增函数，其值从 1增大到 1；在每一个闭区间22k，232k(kZ)上都是减函数，其值从1 减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从 1 增加到 1；在每一个闭区间 2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1 减小到 1.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5

13、页，共 9 页 - - - - - - - - - - 例 3：求函数 y=1sin()23x的单调递增区间。变式训练 3：求函数 y=1sin()23x的单调递减区间。6最大值与最小值。正弦函数 y=sinx当 x=22k时取最大值 1，当 x=322k时取最小值 -1。余弦函数 y=cosx当 x=2k时取最大值 1，当 x=2k最取最小值 -1。 （以上kZ）例 4： （课本 P38 例 3）下列函数有最大值、最小值吗如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量 x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么（1）y=cosx+1 (2)y= -3sin2x变式训练 4： （课本 P39例 4）

14、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小。sin()sin()1810与；2317cos()cos()54与课堂巩固练习 2（课本 P40练习 NO：1；2；3）三、课堂小结，巩固反思1、正弦函数与余弦函数的周期性，最小正周期的求法。2、正弦函数与余弦函数的奇偶性，会判定三角函数的奇偶性。3、会求sin()yAxb的单调区间。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 4、会求sin()yAxb的最值。四、课时必记：1、一般结论：函数sin

15、()yAxb及函数cos()yAxb，xR的周期2|T2、y=sinx为奇函数，图象关于原点对称；y=cosx是偶函数，图象关于y 轴对称。3、正弦函数 y=sinx每一个闭区间22k，22k(kZ)上都是增函数，其值从1 增大到 1；在每一个闭区间22k，232k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到 1.余弦函数 y=cosx在每一个闭区间 (2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1 增加到 1；在每一个闭区间 2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1 减小到1.4、正弦函数 y=sinx当 x=22k时取最大值 1，当 x=322k时取最小值 -1。余弦函数 y=cosx当 x=

16、2k时取最大值 1，当 x=2k最取最小值 -1。 （以上kZ）五、分层作业：A 组：1、 （课本 P46习题 A 组NO：2）2、 （课本 P46习题 A 组NO：3）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 3、 （课本 P46习题 A 组NO：4）4、 （课本 P46习题 A 组NO：5（1） ）B组：1、 （课本 P46习题 A 组NO：5（2） ）2、(tb0135302)函数 y=Asin(wx+ )+C中，A、w、C为常数，且

17、 A0，w0，则这个函数的最小值是（ C） 。（A）A+C （B）A-C （C）-A+C （D）-A-CC组：1、作出下列函数的图象，若是周期函数，请写出它的周期（1）y=|sinx| (2)y=|cosx|精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 2、函数 y=ksinx+b的最大值为 2, 最小值为 -4，求 k,b 的值。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -