13.4课题学习最短路径问题教学设计.pdf

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1、课题学习最短路径问题教学内容解析：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。本节课以数学史中的一个经典故事-“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。教学目标设置：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、在谈最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。教学重点难点：重点：利用轴对称将最短路径问

2、题转化为“两点之间、线段最短”问题。难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。学生学情分析：1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱， 自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识， 但在数学的说理上还不规范， 集合演绎推理能力有待加强。2、学生已经学习过“ 两点之间，线段最短。 ” 以及“ 垂线段最短 ” 。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。教学策略分析：最短路径问题从本质上说是最值问题，作为八年级学生， 在此前

3、很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 问题，更会感到陌生，无从下手。解答“当点 A、B在直线 l 的同侧时， 如何在 l 上找到点 C，使 AC与 BC的和最小” ，需要将其转化为“直线l 异侧的两点，与直线l 上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化， 怎样通过轴对称实现转化， 一些学生会存在理解上和操作上的困难。在证明“最短”时，需要在直线上任取

4、一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。教学时，教师可以让学生首先思考“直线l 异侧的两点，与直线l 上的点的和最小”为学生搭建桥梁，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。教学条件分析 :在初次解决问题时， 学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用几何画板通过动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。教具准备：直尺、几何画板，ppt教学过程：环 节教师活动学生活动设计意图一复习引入1.【问题】 ：看到图片，回忆如何用学过的数学知识解释这个问题2.这样的问

5、题， 我们称为“最短路径”问题。1、两点之间，线段最短。2、两边之和大于第三边。从学生已经学过 的 知 识 入手，为进一步丰富、完善知识 结 构 做 铺垫。二探究1.探究一：【故事引入】：唐朝诗人李颀在古从军行中写道：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河 ”诗中就隐含着一个有趣的数学认真读题，仔细思考。从异侧问题入手，由简到难，逐步深入。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 新知问题，古时候有位将军，每天从军营回家，都要经过一条笔直的小河。

6、而将军的马每天要到河边喝水，那么问题来了，问题：怎样走才能使总路程最短呢将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点” “线” ，把实际问题抽象线段和最小问题。二探究新知2.探究二：【变换情境】：后来将军把家搬到了河的对面，若还是要带马先到河边喝水，然后再回家，应该怎样走，才能使总路程最短呢（1） 【转化】 ：你能将实际问题抽象为数学问题吗（2） 【展示】 ：让学生猜想，并画出图形。巡视发现学生不同的作法（尽可能多） ，分别展示各小组的作法。给予学生一定的提示。【回答】：学生思考并回答，如何将实际问题转化为数学问题。已知：直线 L和同侧两点A、B求作：直线 L 上一点 C ，使 C 满足 A

7、C+BC的值最小。【学生展示】：作法 1：作法 2： ：作法 3：学 生 主 动 探索，充分发挥学 生 的 主 动性。展 示 多 种 方法，产生思维冲突，引发学生进一步探究的学习欲望。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - （3） 【度量】 ：如何才能判断哪种猜想是正确的呢 （测量一下）在 几 何 画 板 中 分 别 度 量 出AC,BC的长度，并计算 AC+BC 。让学生观察数值如何变化。并反思各自的作法是否正确。【学生反思】：第 1

8、种作法是利用“垂线段最短”，得到 AC最短，利用“两点之间线段最短” ，得到BC 最 短 ，但 不 能 确定AC+BC是最短的。第 2种作法只能说明在河l 上取一点，到 A、B两地的距离相等，也就是ACBC。不能说明AC+BC最短第 3 种作法应该是正确的。二探究新知3.解决问题【追问】用第 3 种作法的同学，你们是怎样想到作点B 关于直线 L 的对称点的为什么要作对称点如果做点 B关于直线 L的对称点，就是把点 B移到了另一侧，而且满足了BC BC 。其实直线L 上所有点到 B和 B 的距离都相等。也可是根据垂直平分线的性质， L 就是线段BB 的垂直平分线， 而垂直平分线上的点到线段两个端

9、点的距离相等。利用轴对称将同侧线段和最短 转化 为异侧线段和最短问题。借助轴对称，把折线转化为线段的长来求解。让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力。让学生在反思的过程中，体会轴对称的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - （4） 【推理论证】 ：如何证明AC+BC最短呢【提示】 ：没有比较就不会产生大小。通常我们要在直线上任另取一点 C （与点 C不重合） ，只要证明 AC+BC AC+BC

10、即可。（3） 【几何画板】下面我们可以借助数学工具 几何画板来进一步验证一般性。老师动手操作，验证结论的正确性。 。（1） 学生自主证明，教师纠错。（2）师生共同分析，学生说明证明过程，教师版书。（3）共同完成证明过程。认真观察，思考，要想确认 AC+BC 最短， 可以在直线 l 上任取一点 C （不与点 C重合）1.独立纠错2.兵教兵让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力。通 过 动 画 演示，从特殊到一般地验证了前面的结论。三发散思维除了作点 B关于直线 l的对称点以外，还有没有别的作法还可以作点 A 关于直线 l的对称点。发散思维，培养学生一题多解的能力。四得出结论【问题】 ：我

11、们是如何解决将军饮马问题的先将实际问题转化为数学问题。然后作其中一个点关于直线 l 的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置。让学生反思刚才的探究过程。培养数学思维，和及时总结所学的知识的好习惯。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 五范例分析1.【问题】 ：如图，一个旅游船从大桥 AB的 P处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC上，再回到 P处，请画出旅游船的最短路径。在具体问题中实 践 已 有

12、 模型，固化已有模型。为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。六巩固练习1.【题目】 ：如图，直线l 是一条河， P、Q 为河同侧的两地，欲在 l 上某处修建一个水泵站 M，分别向 P、Q两地供水，四种方案中铺设管道最短的是（）2.【题目】：如图，在直角三角形 ABC中，角 A30 度，角 C为直角，且 BC=1 ，MN为 AC的垂直平分线，设P为 直 线 MN 上任 一点 ，PB+PC的最小值为3.如图，正方形 ABCD边长为8，M 在 BC上，BM2，N为 AC 上 的 一 动 点 ， 则BN+MN的最小值为将军饮马模型的直接应用。习题难度，由易到难，逐步深入。让学生进一步巩固解决最短路径问题的

13、基本策略和基本方法。七课堂小结1.【问题】 ：本节课研究问题的基本过程是什么当我们遇到一个实际问题，首先，我们要将实际问题变成一个数学问题（群答），也就是抽象成一个数学模型，这样可以帮助我们进行实验观察，进而运用合情推理得到一个猜想，然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。我们要先将实际问题变成一个数学问题， 然后观察实验，提出猜想，之后通过证明，验证猜想，从而得出结论， 最后再将结论运用到实际问题里。培养学生总结在课题学习的基本思路。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

14、 - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 目标检测设计：题目 1、 （课后练习）课本93 页，第 15 题。设计意图：本题难度适中， 适合作为课后练习，是学生跳一跳能摘到的果子，达到复习本节课知识方法，又为后续学习打下基础。题目 2、 （拓广探索）在 AOB内有一点 P，在射线 OA上找一点 M，在射线 OB上找一点 N，使PMN的周长最短。设计意图：学以致用，并且有提高和挑战，作两次轴对称。在解决最短路径问题时，通常利用轴对称将同侧转化为异侧问题，化折线为直线，从而作出最短路径的选择。2.【问题】 ：轴对称在所研究问题中起什么作用利用轴对称主要是进行问题的转化，它其实是起到了一个桥梁的作用，同时也体现了我们数学学习中的转化思想。转化作用精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -