浅谈直觉思维在概率论教学中的作用.docx

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1、浅谈直觉思维在概率论教学中的作用 摘要：先论述了数学直觉思维的含义和特征，并通过一个实例来探讨直觉思维在概率论教学中的作用。其中在基于傅立叶变换物理意义的特征函数直观说明的基础上，提出了特征函数的一种基于坐标分解的新说明。 关键词：直觉思维；概率论；特征函数 中图分类号：O211.5 文献标记码：A 文章编号：1674-932432-0106-02 数学直觉思维实力的培育是目前概率论教学中常常被忽视而又特别重要的实践内容，它与逻辑思维实力的培育在数学教化中有着同样的作用。 一、数学直觉思维的概述 数学直觉思维的含义 数学直觉思维是人脑对数学对象及其结构的一种干脆的理解。这种数学直觉与直观、直感

2、有区分。数学直观与直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官干脆获得的感觉或感知。而直觉的探讨对象则是抽象的数学结构及其关系。直觉思维和逻辑思维是两种既互补又不同的思维形式，两者辩证运动推动着数学思维过程不断发展。而直觉思维以知觉为基础，以想象为动身点，非逻辑推理为方法，因而更富有创建性，它代表了创建思维的本质特征。 数学直觉思维的特征 数学直觉思维的特征主要有：产生的突发性。头脑中各种思维元素调动、组合以求在极短的时间内实现相识过程的突变和飞跃。过程的跳动性。数学直觉思维依靠于思维中的想象、揣测和洞察力去干脆把握事物，干脆由已知条件跳到结论，呈跳动状。形式的非逻辑性。数学直觉是一种干脆反映

3、数学对象结构关系的心智活动形式。它是人脑对于数学结构及其间的某种干脆的领悟或洞察，是一种不同于 一般推理过程的干脆悟性。原则的整体性。在直觉思维过程中，思维的主体常表现为对事物的整体洞察、全局把握，短暂舍弃局部的、细微环节的、非本质的部分，即整体的确定性，细微环节上的模糊性。 二、特征函数的新说明 特征函数是概率统计中一种有力的工具，文献2和3探讨了它的一些性质和应用，但它涉及傅立叶变换，内容比较枯燥，运算比较繁杂。鉴于此，笔者在基于傅立叶变换物理意义的特征函数直观说明和数学直觉思维中数学直觉启发的基础上，提出了特征函数的一种基于坐标分解的新的直观说明。 基于傅立叶变换物理意义的直观说明 明显

4、特征函数是一种特别的傅立叶变换，那么它也就有傅立叶变换所具有的物理意义5。 离散状况下，首先=pe的物理说明：在振动理论中，把特征函数看作一个振动，e相当于单位谐波，可说明成由简谐振动pe叠加产生的运动。 再次p=edt的物理说明：p在振动edt理论中，是由简谐振动dt叠加产生的运动。 连续状况下，特征函数也有相应的物理说明。 特征函数=fedx的物理说明：在振动理论中，把特征函数看作一个振动，e相当于单位谐波，特征函数即可理解为由简谐振动fedx叠加产生的运动。 同理，f=edx也有类似的物理说明：在振动理论中，f是由一切角频率为t的简谐振动 edx叠加产生的运动，为初始向量，e为单位谐波。

5、 基于坐标分解的新的直观说明 受傅立叶变换物理意义的启发，得到基于坐标分解6的特征函数的新说明。 离散状况下，特征函数=pe的新说明：可以看作是以e为基的可列无穷维空间下的坐标分解，第k维的坐标值为p。 p=edt的新说明：p可以看作是以 edt为基的实数势无穷维空间下的坐标分解，是在基edt下的坐标值。 同理，连续状况下，特征函数也有相应的新说明： 特征函数=fedx的新说明：可以看作是以edx为基的实数势无穷维空间下的坐标分解，f是在基edx下的坐标值。 f=edt的新说明：f可以看作是以edt为基的实数势无穷维空间下的坐标分解，是在基edt下的坐标值。 新说明在求分布函数时的应用 如求下

6、列各随机变量的概率分布，已知其特征函数分别为： cost cos2t 由文献4中的反演公式可解决此问题，即利用公式： F-F=dt 但计算过程比较繁杂。假如利用本文提出的新说明去求这个问题就特别简洁，现用此法求解。 分析：只要将特征函数进行坐标分解即可，可以看作是以e为基的可列无穷维空间下的坐标分解，第k维的坐标值为pk，由文献4中的唯一性定理可知pk即为概率分布。 解：由Euler定理 cost= =eit1+eit =Peit1+Peit 由唯一性定理可知，它的概率分布唯一，P=0.5，P=0.5，即为所求的概率分布。 cos2t= =eit0+eit2+eit =Peit0+Peit2+

7、Peit 由唯一性定理可知，它的概率分布唯一，P=0.5，P=0.25，P=0.25，即为所求的概率分布。 可见，基于坐标分解的特征函数的新说明能加深我们对特征函数的理解，而且能使特征函数相关的求解问题化繁为简。 综上可见，培育数学直觉思维对于培育学生的学习爱好和创新思维具有重要意义。但我们也应看到：直觉的相识一般具有较大的片面性，直觉思维在数学学习过程中会产生误导作用，这往往表现为对于已建立的直觉的不适当应用，也即是将仅仅合适于某些特例的结论错误地进行推广。最终，直觉“牢靠性”又往往会导致过度的自信。特殊是表现为相识上的“先入为主”以及严峻的“排它性”，这样就导致思维的“过早封闭”并表现出不应有的“顽固性”。这样，充分看到直觉思维的这种“负载”对创建性思维活动的影响是完全必要的，同时也应学会如何去限制这种直觉对于相识活动的影响。 基金项目：中国民航高校科研启动基金。 第6页 共6页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页