线性代数在经济分析中的应用.docx

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1、线性代数在经济分析中的应用 摘 要线性代数在计算数学、运筹学、生物学、微积分、经济科学、管理科学等众多领域都有着广泛的应用。经济系统内各部门间是相互联系、相互依存的，每个部门都具有双重性：每个部门不仅向自身、其他部门及社会供应自己的产品或服务，同时在生产过程中都要消耗自身及其他部门供应的产品或服务。投入产出分析是一种行之有效的经济数量分析方法，投入产出模型是国民经济安排工作的重要工具。在市场经济条件下，投入产出分析被充分汲取到国民经济核算体系中，具有重要的实践意义 关键词投入产出方法 干脆消耗系数 完全消耗系数 技术结构矩阵 中图分类号 D151.2 文献标识码 A 文章编号 2095-343

2、711-0044-04 线性代数在计算数学、运筹学、生物学、微积分、经济科学、管理科学等众多领域都有着广泛的应用，如矩阵是经济探讨和经济工作中处理线性经济模型的重要工具。闻名的投入产出分析就是以线性代数理论为基础的，是线性代数卓有成效的应用。投入产出方法可以进行经济预料、探讨某项经济政策的实施将对社会经济产生什么影响，还可以用于一些特地的社会问题探讨。 线性代数学问也是线性规划问题探讨的必备基础。 计算数学中一切方法无例外地都以线性代数为基础，从这个意义上，可以说线性代数是完全的应用学科。以下以投入产出方法为例，给出它在经济分析中的应用实例。 投入产出分析是20世纪30年头由俄罗斯籍美国经济学

3、家列昂惕夫首先提出的，是经济分析的一种方法。粗略地说，就是产出某种产品，须要投入多少资源？ 一、投入产出方法的基本原理 例1 铁路建设的钢材需求问题 建设一公里铁路约须要用钢材101吨，假如安排增建3 000公里铁路，须要钢铁部门增产多少钢材？ 分析：须要增产的钢材是不是1013000=300000呢？事实上并非如此。因为为了增建这三千公里铁路，还须要增加采矿、炼铁、炼钢、轧钢、电力、运输等部门的生产实力，这些部门都须要增加对钢材的需求，甚至扩大工人住宅也须要钢材。 因此增建三千公里铁路，远远不止须要30万吨钢材，必需统筹考虑各部门之间的关系，并进行综合平衡。 投入产出分析就是对例1中这样错综

4、困难的关系进行定量分析，使各部门能有安排按比例地协调发展。 它是探讨某一经济系统中各部门之间的“投入”与“产出”关系的一种线性模型，一般称之为投入产出模型，被广泛的应用在微观及宏观经济系统的平衡分析上，已成为进行现代化管理的重要工具。 “投入”是指从事一项经济活动的各种消耗，其中包括原材料、设备、动力、人力、资金等的消耗；“产出”是指从事一项经济活动的结果。投入产出方法应用广泛，以下介绍其基本原理及计算方法。 价值型投入产出模型 经济系统内各部门间是相互联系、相互依存的，每个部门都具有双重性：每个部门不仅向自身、其他部门及社会供应自己的产品或服务，同时在生产过程中都要消耗自身及其他部门供应的产

5、品或服务。 而经济系统各部门之间的投入产出关系通常用投入产出表来描述。 投入产出表 投入产出表分为实物型和价值型两种。实物型投入产出表采纳实物计量单位编制，其特点是经济意义明确，适合于实际工作的须要；价值型投入产出表采纳货币计量单位编制，其特点是单位统一，适合于对经济系统进行全面的分析探讨。以下为价值型投入产出表： 表1 其中xi表示第i个生产部门的总产出，xij表示第i个部门在生产过程中消耗第j个部门的产品数量，yi表示第个i部门的最终产品，zj表示第j个部门的新创建价值。 平衡方程 产品安排平衡方程 为了保持一个经济系统的正常运转，必需保持投入与产出之间的平衡，从数量关系上看，就是要使xi

6、、xij及yi满意方程组： x11+x12+x1n+y1=x1x21+x22+x2n+y2=x2xn1+xn2+xnn+yn=xn 或简写成xi =xij+yi 它表明，每一个部门的总产出xi应等于该部门留着本部门运用的产品及在生产过程中流向其他各部门作为中间产品消耗的产品xij和向社会供应的最终产品yi的总和。式称为部门间产品安排平衡方程。 生产消耗平衡方程 从投入产出表的纵列看，要保持一个经济系统投入与产出之间的平衡，还要使xj、xij及zi满意方程组： x11+x21+xn1+z1=x1x12+x22+xn2+z2=x2x1n+x2n+xnn+zn=xn 或简写成 xj =xij+zj

7、它表明，每一个部门的总投入xj应等于该部门所消耗的全部物资xij以及新创建的价值zj之和。式称为部门间生产消耗平衡方程。 投入产出均等方程 对产品安排平衡方程两边求和，得 xi= xij+yi 对生产消耗平衡方程两边求和，得 xj= xij+zj 由式、，知yi=zj 它表明，各部门向社会供应的全部最终产品应等于各部门新创建的价值。 式、和反映了一个经济系统达到平衡的条件，即投入与产出之间必需满意的数量关系. 干脆消耗系数 为了充分反映各部门之间在生产技术上的数量依存关系，给出 定义1 第j部门每生产一个单位产品干脆消耗第i部门的产品量，称为第j部门对第i部门的干脆消耗系数，记作aij，即 a

8、ij= 换句话说，aij是第j部门每生产一个单位产品须要第i部门干脆安排给它的产品数量。 各部门之间的干脆消耗系数构成的n阶方阵 称为干脆消耗系数矩阵。 各部门之间的干脆消耗系数是以生产技术性联系为基础的，是相对稳定的，一般把它叫做技术系数。它反映了各部门之间的干脆联系的强度，aij的数值愈接近1，说明j部门与i部门的联系愈亲密；若aij的数值愈接近0，则说明j部门与i部门之间的联系愈稀疏；当aij的值为零时，说明j部门与i部门之间没有干脆的生产与安排联系。 由定义，干脆消耗系数具有下列性质： 全部元素均非负，且0aij0时，表示第i部门的安排产量超过安排需求量，即供大于求， 称之为余量； 当

9、i 0时，表示第i部门的计划产量不能满足计划需求量，即供不应求，称之为有缺口； 当i 0时，表示第i部门的安排产量与安排需求量基本平衡. 各部门的肯定不平衡数额i 是各部门安排产量与安排需求量平衡差额的准确数值，这些数值就是各部门的安排须要调整的数量.当某一部门的不平衡数额很小时，则可以认为该部门的安排量无需调整，该部门的安排产量基本上是合理的，可行的. 例3 某一经济系统有六个部门，已知该系统的干脆消耗系数矩阵为 安排最终产品数值Y=T，安排总产品数值X=T，试求不平衡数额，检验这项安排是否合理. 解 依据式，计算可得 1=x1-a1jxj-y1=-10，2=x2-a2jxj-y2=0， 2

10、=x3-a3jxj-y3=-20，4=x4-a4jxj-y4=30， 5=x5-a5jxj-y5=-10，6=x6-a6jxj-y6=0， 所以各部门不平衡额度为 =T， 故由不平衡数额可知，该生产安排须要调整. 调整现有生产安排 例4 已知某经济系统有三个生产部门，其完全消耗系数矩阵为 下一安排期最终产品的安排是Y=T，试求： 下一安排期的安排总产量； 在安排的执行过程中，假如发觉第1部门产品有5个单位的余量，第3部门产品有10个单位的缺口，那么原安排应如何调整？ 解 因为 ， 所以，由式、式得，下一安排期的安排总产量是 ； 当最终产品的数量发生变更量Y=Y2-Y1时，则各部门间的总产品相应

11、发生的变更量是X=X2-X1Y2-Y1=Y 即 X=Y 将Y= T 代入上式，得 ， 所以，原安排总产量应作如下调整 即三个部门调整后的总产量分别为x1=196.18，x2=402.543，x3=513.14. 投入产出分析是一种行之有效的经济数量分析方法，投入产出模型是国民经济安排工作的重要工具.在市场经济条件下，投入产出分析被充分汲取到国民经济核算体系中，具有重要的实践意义. 参 考 文 献 1 彭文学等.经济应用数学微积分M.武汉：武汉工业高校出版社，11018. 2 冯翠莲.新编经济数学基础M.北京：北京高校出版社2022. 3 韩飞等.应用经济数学M.长沙：湖南师范高校出版社，2022. 4 李学银等.线性代数M.武汉：华中科技高校出版社，2022. 5 龚友运等.高等数学M.武汉：华中科技高校出版社，2022. 责任编辑：林志恒 第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页