2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(含答案及解析).pdf

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1、20XX 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（时间 ：20XX 年 4 月 20 日上午 8：0010 ：00）一、选择题（本题满分30 分，每小题6分）1. 如果实数 m，n，x，y 满足anm22，byx22，其中 a，b 为常数， 那么 mx+ny 的最大值为答： A. 2baB. abC. 222baD. 222ba2. 设)(xfy为指数函数xay. 在 P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，41,21N四点中，函数)(xfy与其反函数)(1xfy的图像的公共点只可能是点答： A. PB. QC. MD. N3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列

2、成等比数列，那么zyx的值为答： A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如果111CBA的三个内角的余弦值分别是222CBA的三个内角的正弦值，那么答： A. 111CBA与222CBA都是锐角三角形B. 111CBA是锐角三角形，222CBA是钝角三角形C. 111CBA是钝角三角形，222CBA是锐角三角形D. 111CBA与222CBA都是钝角三角形5. 设 a，b 是夹角为 30 的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面，答： A. 不存在B. 有且只有一对C. 有且只有两对D. 有无数对二、填空题（本题满分50 分，每小题10 分）6. 设集合222xxBxxxA和，其中符

3、号x表示不大于x 的最大整数，则1 2 0.5 1 xyz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - ABI_. 7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6 点的概率是P_(结果要求写成既约分数） . 8. 已 知 点 O 在ABC内 部 ，022OCOBOA.OCBABC与的 面 积 之 比 为_. 9. 与圆0422xyx外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为_. 10. 在ABC中，若 tanAtanB=tanAtanC+tanc

4、tanB，则222cba=_. 三、解答题（本题满分70 分，各小题分别为15 分、 15 分、 20 分、 20 分）11. 已知函数cbxxxf22)(在1x时有最大值1，nm0，并且nmx,时，)(xf的取值范围为mn1,1. 试求 m，n 的值 . 12. A、B 为双曲线19422yx上的两个动点，满足0OBOA。（）求证：2211OBOA为定值；（）动点P 在线段 AB 上，满足0ABOP，求证：点P 在定圆上 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - -

5、 - - - - - - - 13. 如图，平面M、N 相交于直线l. A、D 为 l 上两点，射线DB 在平面 M 内，射线DC 在平面 N 内. 已知BDC，BDA，CDA，且，都是锐角 . 求二面角NlM的平面角的余弦值（用，的三角函数值表示）. MBDANC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 14. 能否将下列数组中的数填入33 的方格表， 每个小方格中填一个数，使得每行、 每列、两条对角线上的3 个数的乘积都相等？若能，请给

6、出一种填法；若不能，请给予证明. （） 2,4,6,8,12,18,24,36,48；（） 2,4,6,8,12,18,24,36,72. 20XX 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分30 分，每小题6分）1. 如果实数 m，n，x，y 满足anm22，byx22，其中 a，b 为常数，那么mx+ny 的最大值为答： B A. 2baB. abC. 222baD. 222ba解由柯西不等式abyxnmnymx)()(22222；或三角换元即可得到精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

7、- - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - abnymx，当2anm，2byx时，abnymx. 选 B. 2. 设)(xfy为指数函数xay. 在 P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，41,21N四点中，函数)(xfy与其反函数)(1xfy的图像的公共点只可能是点答： D A. PB. QC. MD. N解取161a，把坐标代入检验，4116121，而2116141，公共点只可能是点 N. 选 D. 3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么zyx的值为答：A A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8、 解第一、二行后两个数分别为2.5， 3 与 1.25， 1.5； 第三、 四、 五列中的5. 0 x，165y，163z，则1zyx. 选 A. 4. 如果111CBA的三个内角的余弦值分别是222CBA的三个内角的正弦值，那么答： B A. 111CBA与222CBA都是锐角三角形B. 111CBA是锐角三角形，222CBA是钝角三角形C. 111CBA是钝角三角形，222CBA是锐角三角形D. 111CBA与222CBA都是钝角三角形解两个三角形的内角不能有直角；111CBA的内角余弦都大于零， 所以是锐角三角形；若222CBA是锐角三角形，则不妨设cos1A=sin2A=cos12A，

9、cos1B=sin2B=cos22A，cos1C=sin2C=cos12C. 1 2 0.5 1 xyz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 则212AA，212BB，212CC，即)(23222111CBACBA，矛盾 . 选 B. 5. 设 a，b 是夹角为 30 的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面，答： D A. 不存在B. 有且只有一对C. 有且只有两对D. 有无数对解任作 a 的平面，可以作无数个. 在 b 上任取一点

10、M，过 M 作的垂线 . b 与垂线确定的平面垂直于. 选 D. 二、填空题（本题满分50 分，每小题10 分）6. 设集合222xxBxxxA和，其中符号x表示不大于x 的最大整数，则3, 1BA. 解 2x，x的值可取1 ,0, 1,2. 当x=2，则02x无解；当x=1，则12x， x=1；当x=0，则22x无解；当x=1，则32x，3x. 所以31或x. 7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6 点的概率是21691P(结果要求写成既约分数） . 解考虑对立事件，216916513P. 8. 已知点 O 在ABC内部，022OCOBOA.OCBABC与的面积之比为5：1. 解由图，

11、ABC与OCB的底边相同，高是 5：1. 故面积比是5：1. 9. 与圆0422xyx外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为)0(82xxy或)0(0 xy. 解由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、2x为准线的抛物线上的点；BOCA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 若切点是原点，则圆心在x 轴负半轴上 .所以轨迹方程为)0(82xxy，或)0(0 xy. 10. 在ABC中，若 tanAtanB=tanAtanC+t

12、anctanB，则222cba= 3 . 解切割化弦，已知等式即CBCBCACABABAcoscossinsincoscossinsincoscossinsin，亦即CBACBAcos)sin(sinsinsin，即CCBA2sincossinsin=1，即1cos2cCab. 所以，122222ccba，故3222cba. 三、解答题（本题满分70 分，各小题分别为15 分、 15 分、 20 分、 20 分）11. 已知函数cbxxxf22)(在1x时有最大值1，nm0，并且nmx,时，)(xf的取值范围为mn1,1. 试求 m，n 的值 . 解由题1)1(2)(2xxf， 5 分1)(x

13、f，11m，即1m，nmxf,)(在上单调减，mmmf11) 1(2)(2且nnnf11)1(2)(2. 10 分m，n 是方程xxxf11)1(2)(2的两个解，方程即) 122)(1(2xxx=0，解方程，得解为1，231，231. nm1，1m，231n. 15 分12. A、B 为双曲线19422yx上的两个动点，满足0OBOA。（）求证：2211OBOA为定值；（）动点P 在线段 AB 上，满足0ABOP，求证：点P 在定圆上 . 证（）设点A 的坐标为)sin,cos(rr， B 的坐标为)sin,cos(rr，则OAr，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

14、- - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - OBr，A 在双曲线上，则19sin4cos222r. 所以9sin4cos1222r. 5 分由0OBOA得OBOA，所以22sincos，22sincos. 同理，9cos4sin9sin4cos122222r，所以365914111|1|12222rrOBOA. 10 分（）由三角形面积公式，得OBOAABOP，所以2222OBOAABOP，即22222OBOAOBOAOP. 即136591411122222OPOPOBOAOP. 于是，5362OP.

15、 即 P 在以 O 为圆心、556为半径的定圆上. 15 分13. 如图，平面M、N 相交于直线l. A、D 为 l 上两点，射线DB 在平面 M 内，射线DC 在平面 N 内. 已知BDC，BDA，CDA，且，都是锐角. 求二面角NlM的平面角的余弦值（用，的三角函数值表示）. 解在平面 M 中，过 A 作 DA 的垂线，交射线 DB 于 B 点；在平面 N 中，过 A 作 DA 的垂线，交射线 DC 于 C 点. 设 DA=1 ，则tanAB，cos1DB，tanAC，cos1DC， 5 分并且BAC就是二面角NlM平面角 . 10 分MBDANC精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

16、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 在ABCDBC与中，利用余弦定理，可得等式costantan2tantancoscoscos2cos1cos122222BC，所以，coscoscos2cos1cos1tantancostantan22222=coscos)coscos(cos2， 15 分故得到sinsincoscoscoscos. 20 分14. 能否将下列数组中的数填入3 3 的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3 个数的乘积都相等？若能，请

17、给出一种填法；若不能，请给予证明. （） 2,4,6,8,12,18,24,36,48；（） 2,4,6,8,12,18,24,36,72. 解（）不能 . 5 分因为若每行的积都相等，则9 个数的积是立方数. 但是2 4 6 8 12 18 24 36 48=21+2+1+3+2+1+3+2+4 3121211=219 38不是立方数，故不能. （）可以 . 15 分如右表表中每行、每列及对角线的积都是2623. 20 分36 2 24 8 12 18 6 72 4 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -