中考总复习教案：平面向量及其加减运算（提高）知识讲解.doc

《中考总复习教案：平面向量及其加减运算（提高）知识讲解.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考总复习教案：平面向量及其加减运算（提高）知识讲解.doc（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、中考总复习：平面向量及其加减运算（提高） 知识讲解撰稿：杜少波 审稿：张晓新 【考纲要求】1.理解有向线段的概念；2.理解向量的概念，并会用向量的概念解决简单的问题；3.掌握平行向量的概念，会用平行向量定理解决有关的问题；4.掌握向量的加法法则、减法法则，能熟练运用法则进行相关作图和运算.【知识网络】【考点梳理】考点一、平面向量1.有向线段 规定了方向的线段，叫做有向线段.有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，我们把前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.例如：“有向线段AB”是以A点为起点，B点为终点，用符号标记为.2.向量既有大小、又有

2、方向的量叫做向量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点. 向量除了用上面的符号表示以外，还可以用一个小写的粗体英文字母表示，如a、b、c，也可以在字母上方加箭头表示，如、.向量的大小也叫向量的长度，又称为向量的模，向量的长度用表示.特别地，长度为0的向量叫做零向量，记为，其方向是任意的，它与任意向量平行；长度为1的向量叫做单位向量，记为.3.相等向量和互为相反向量方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量.零向量与零向量相等.方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量.与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量，记作，规定零向量的相反向量是零向量.4.平行向量方向相同或相反的两个非零向量

3、叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为.相等向量有传递性.要点诠释： 有向线段的起、终点决定向量的方向，与表示不同方向的向量；有向线段的长度决定向量的大小，用表示，；任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与它的起点无关.相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等.考点二、平行向量定理1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量，记为.要点诠释：任意非零向量与跟它同方向的单位向量的关系：，.2.平行向量定理：如果向量

4、与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.要点诠释：（1）定理中，的符号由与同向还是反向来确定.（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行.（4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A、B、C三点的共线若存在实数，使 . 考点三、平面向量的加法1.向量的加法求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.2.向量的加法法则 （1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的

5、终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量加法的三角形法则. （2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可以把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则. （3）平行四边形法则：如果、是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共点，作两个向量分别与、相等；再以这两个向量为临边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是与的和向量.上述规定叫做向量加法的平行四边形法则. 在平行四边形ABCD中（如图），设向量=，=，则与的和向量

6、为,记作:. 3.向量的加法运算律 （1）交换律：+=+. （2）结合律：（+）+=+（+）. （3）规定：.考点四、平面向量的减法1.向量的减法已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.2.向量的减法法则 （1）三角形法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点做出两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量.这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形法则. （2）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.即-=+（-）.要点诠释：（1）向量的减法可以转化为向量的加法. 向量的减法是加法的逆运算.（2）向量加法的三角形法则与向量减法的三

7、角形法则的区别：【典型例题】类型一、平面向量1.下列命题中正确的是( ) A.单位向量都相等； B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量； C.若，满足|且与同向，则； D.对于任意向量、,必有|+|+|. 【思路点拨】考查单位向量、共线向量、向量的模的相关知识.【答案】D【解析】向量既有大小又有方向，A中没有考虑方向，所以错误；长度相等且方向相反的两个向量一定是共线向量，所以B错误；向量不能比较大小，所以C错误；D正确.【总结升华】向量既有大小又有方向，一定要考虑它的方向性，零向量的方向是任意的；向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小；方向相同或相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫

8、共线向量；平行向量未必是相等向量，但相等向量一定是平行向量.举一反三：【变式】下列结论中，不正确的是()A向量，共线与向量同义；B若向量，则向量与共线；C若向量，则向量；D只要向量a，b满足|a|b|，就有ab.【答案】D类型二、平面向量的加减法2. (2012上海)如图，已知梯形，/，若，DCBA，那么 （用，表示）.【思路点拨】考查向量加法的三角形法则以及平行向量.【答案】【解析】/，, =.【总结升华】当两条边平行时，它们所表示的向量也平行，并且向量的模的倍数等于两条边之间的倍数.举一反三：【变式】如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则()A.B.C.D.【答案】A3

9、. 化简的结果是（ ）A. B. C. D. 【思路点拨】考查向量加法和减法的交换律及结合律.【答案】B【解析】原式=.【总结升华】要将有公共端点的两个向量放在一起运算，向量的减法也适用交换律和结合律.举一反三：【变式】下列判断不正确的是（ ）A.； B.如果，那么；C.； D.如果（），那么【答案】A类型三、平面向量的作图4. 如图，已知向量、，求作向量-+. 【思路点拨】考察利用向量的三角形法则作图.【答案与解析】1.在平面内取一点O，作，；2.连接BA，则；3.过点A作；4.连接BC，则=-+.（如图）【总结升华】多个向量做加减时，需要从前往后依次作图.类型四、平面向量综合应用5.如图，

10、点D，E，F分别是ABC三边AB、BC、CA的中点，求证：（1）. （2） 【思路点拨】考察向量的三角形法则,以及利用三角形法则对向量进行分解.【答案与解析】证明：（1）由向量加法的三角形法则可知：=，=， 所以. （2）点D，E，F分别是ABC三边AB、BC、CA的中点，, , , + =（）+()+()=.【总结升华】由于向量既有大小又有方向，所以两个向量大小相等，方向相反时，和为.6. 在四边形ABCD中，请判断四边形的形状，并证明你的结论.【思路点拨】不妨从求已知向量的和入手，看对边所表示的向量之间的位置关系和数量关系，进而判断四边形的形状.【答案与解析】 四边形是梯形. 证明如下： 可见且不平行；由题意+=，,根据向量平行的判定定理知：，且，ADBC且不相等，四边形是梯形.【总结升华】判断四边形的形状，关键是看对边的位置关系和数量关系.举一反三：【变式】O是四边形ABCD对角线的交点，若 ，则四边形ABCD是（ ）. A、等腰梯形B、平行四边形C、菱形D、矩形【答案】B