高二数学-知识讲解_《常用逻辑用语》全章复习与随堂_基础.doc

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1、常用逻辑用语全章复习与巩固编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.了解命题“若，则”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【知识网络】常用逻辑用语命题四种命题及其关系充要条件全称量词、存在量词互为逆否命题等价逻辑联结词简单命题与复合命题充分、必要、充要、既不充分也不必要或、且、非【要点梳理】要点一：命题的四种形式如果用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，则命题的四种形式

2、为：原命题： 若，则；逆命题： 若，则；否命题： 若，则； 逆否命题：若，则.四种命题的关系：原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除、之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.要点二：充分条件、必要条件、充要条件对于“若则”形式的命题：若，则是的充分条件，是的必要条件；若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；若既有，又有，记作，则是的充分必要条件（充要条件）.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，

3、如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断，比如可判断为；=，可判断为，且，即.如图： “”“，且”是的充分不必要条件.“”“”是的充分必要条件. 要点诠释：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.要点三：逻辑联结词“或”“且”“非”

4、“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.（2）复合命题的构成形式：或；且；非（即命题的否定）.（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：非真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假当、同时为假时，“或”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；当、同时为真时，“且”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”.“非”与的真假相反.要点诠释：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“或”为例：一是成立且不成立，二是不成立但成立，三是成立且也成立.可以类比于集合中“或”.（2）“或”、“且”联结的

5、命题的否定形式：“或”的否定是“且”； “且” 的否定是“或”.（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论.要点四：量词与全称命题、特称命题 全称量词与存在量词（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词.表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”.含有全称量词的命题，叫做全称命题.全称命题“对中任意一个，有成立”可表示为“”，其中为给定的集合，是关于的命题.（2）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词.表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”.含有存在量词的命

6、题，叫做特称命题.特称命题“存在中的一个，使成立”可表示为“”，其中为给定的集合，是关于的命题. 对含有一个量词的命题进行否定（1）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题：，他的否定： .全称命题的否定是特称命题.（2）对含有一个量词的特称命题的否定特称命题：，他的否定： .特称命题的否定是全称命题.要点诠释：（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）.（2）一些常见的词的否定：正面等于大于小于是都是至少一个至多一个否定不等于不大于不小于不是不都是一个也没有至少两个【典型例题】类型一：命题

7、的四种形式【高清课堂：常用逻辑用语综合395487 例1】例1.写出下列命题的否命题： （1）若，则中至少有一个为0； （2）若，则全是0.【解析】（1）若，则a，b，c都不为0；（2）若则x，y不都为0.【总结升华】注意否命题的结构和含有逻辑量词的命题的否定.举一反三：【变式1】“已知是实数，若，则”，写出下面相应的命题，并判断真假.上述命题的逆命题为： , ；上述命题的否命题为： , ；上述命题的否定为： , .【答案】 逆命题：已知 是实数，若 ，则，；假命题.否命题：已知是实数，若或，则；假命题.命题的否定：已知是实数，若，则.假命题.【变式2】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，

8、并判断其真假.（1）若1，则方程有实根；（2）若，则全为零.【答案】（1）逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根，则q1时成立；但当时也成立，设aR，则a1是的充分不必要条件.【总结升华】处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；举一反三：【变式1】指出下列各组命题中,是的什么条件（1）：； ：方程有实根；（2）：； ：；（3）：圆与直线相切；：. 【答案】 (1)必要非充分条件或，方程有实根或，或或，即.所以A是B的必要非充分条件(2)必要非充分条件 ；，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件(3)充要条件直线与圆相切 圆(0，0)到直线的距离，即.所以A是B的充要条

9、件.【变式2】条件：，条件：,则是的( ). A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A.【解析】p:或；，显然“”成立“pq”成立，所以p是q的充分但不必要条件.类型三：复合命题真假的判断例3. 已知下列各组命题，写出满足条件的复合形式命题，并判断真假.（1）：是方程的根， ：是方程的根； 或q.（2）：，：是有理数； 且.（3）：若，则或； 非.【解析】（1）p或q：或是方程的根，真命题；（2）p且 ：是大于3的有理数，假命题；（3）非p：若，则且，假命题；【总结升华】1. 判断复合命题的真假的步骤：确定复合命题的构成形式；判断其中简单命

10、题p和q的真假；根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2. 条件“或”是“或”的关系，否定时要注意.举一反三：【变式1】若命题：，则命题“非”是（ ）A且 B或 C D 【答案】A ；【解析】因为命题可陈述为：属于集合A或属于集合B，非：即不属于集合A且也不属于集合B，即非：且，故选A.【高清课堂：常用逻辑用语综合395487 例3】【变式2】若命题是真命题，是真命题，则（ ） （A）和都是真命题 （B）和都是假命题 （C）是真命题，是假命题 （D）是假命题，是真命题【答案】D类型四：全称命题与特称命题真假的判断例4. 判断下列命题的真假：（1）； （2）.【解析】（1）由于，当时，不成立，故(1)为假命题；（2）由于，当时能使，所以（2）为真命题.【总结升华】1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【变式】写出下列命题的否定，并判断真假.（1）； （2）所有的正方形都是矩形；（3）； （4）至少有一个实数，使得.【答案】（1）：（假命题）；（2）：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；（3）：（真命题）； （4）：（真命题）.