高二数学教案-知识讲解_提高_等差数列及其前n项和.doc

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1、等差数列及其前n项和编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前项和公式，了解等差数列与一次函数的关系；2. 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题；体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题.3. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.【学习策略】数列是特殊的函数，类比一次函数、二次函数等有关知识，研究等差数列的通项公式及前n项和公式的性质特点。注意方程思想的应用：等差数列的通项公式和前项和公式中，共涉及、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程或者方程组，便可求出其余两个量

2、。【要点梳理】要点一、等差数列的定义文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。要点诠释：公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；符号语言形式对于数列,若(，,为常数)或(，为常数)，则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差。要点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关。等差中项如果,成等差数列，那么叫做与的等差中项，即.要点诠释：两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数a，b的等差中

3、项存在且唯一.三个数,成等差数列的充要条件是.要点二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式首相为，公差为的等差数列的通项公式为：（）推导过程：（1）归纳法：根据等差数列定义可得：，当n=1时，上式也成立归纳得出等差数列的通项公式为：（）。（2）叠加法：根据等差数列定义，有：，把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，.(3)迭代法：.要点诠释：通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了。通项公式中共涉及、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量。等差数列通项公式的推广已知等差数列中，第项为，公差为，则：证明：， 由上可知，等差

4、数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况。要点三、等差数列的性质等差数列中，公差为，则若，且,则，特别地，当时.下标成公差为的等差数列的项,组成的新数列仍为等差数列，公差为.若数列也为等差数列，则，（k,b为非零常数）也是等差数列.仍是等差数列.数列（为非零常数）也是等差数列.要点四、等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式公式一：证明：倒序相加法 +：由此得：公式二： 证明：将代入可得：要点诠释：倒序相加是数列求和的重要方法之一。上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。要点五、等差数列的前项

5、和的有关性质等差数列中，公差为，则连续项的和依然成等差数列，即,，成等差数列，且公差为.若项数为2n，则，若项数为2n-1，则，要点六、等差数列中的函数关系等差数列的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)等差数列中，令,则：（,是常数且为公差）（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。当时，一次函数单调增，为递增数列； 当0时，一次函数单调减，为递减数列。 等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）由，令，则：（,为常数）（1）当即时，是关于的一个一次函数；它的图象

6、是在直线上的一群孤立的点。（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点。当时有最小值当时，有最大值要点诠释： 1.公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数。2.（,是常数）是数列成等差数列的充要条件。3.公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数。4.(其中,为常数)是数列成等差数列的充要条件.【典型例题】类型一：等差数列的定义例1. -401是不是等差数列的项？如果是，是第几项？【思路点拨】要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数值，使得等于这一数.【解析】 由 得 由题意知，本题是要回答是否存在正

7、整数n，使得： 成立 解得：即是这个数列的第100项.【总结升华】1.根据所给数列求得首项和公差，写出通项公式. 2.要注意解题步骤的规范性与准确性.举一反三：【变式1】20是不是等差数列0，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【答案】由题意可知：,，此数列的通项公式为：,令,解得，所以20不是这个数列的项.【变式2】求集合的元素的个数，并求这些元素的和【答案】， ， ，中有14个元素符合条件，又满足条件的数7，14，21，98成等差数列，即， .例2(2014 河南)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan+1Sn1，其中为常数()证明：an+2an()是否存在，使

8、得an为等差数列？并说明理由【答案】()见解析。()存在.【解析】()证明：anan+1Sn1，an+1an+2Sn+11，an+1(an+2an)an+1an+10，an+2an()解：当0时，anan+11，假设an为等差数列，设公差为d则an+2an0，2d0，解得d0，anan+11，121，矛盾，因此0时an不为等差数列当0时，假设存在，使得an为等差数列，设公差为d则an+2an(an+2an+1)+(an+1an)2d，Sn1+，根据an为等差数列的充要条件是，解得4此时可得，an2n1因此存在4，使得an为等差数列【总结升华】 （1）证明三个数成等差数列的方法为：证明，即成等差

9、数列。（2）（,是常数）是数列成等差数列的充要条件；(其中,为常数)是数列成等差数列的充要条件.举一反三：【变式1】已知数列的通项公式为这个数列是等差数列吗？【答案】因为时，所以数列是等差数列，且公差为3.【变式2】已知数列中，（），求证：是等差数列。证明：，是公差为的等差数列。类型二：等差数列通项公式的应用例3已知等差数列中，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。【思路点拨】等差数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a1、d的问题，列出a1、d的方程组。【解析】方法一：由通项公式得：，解得， （,）, ,解得.方法二：由等差数列性质，得,

10、即，解得, ， ,解得.方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列是一些共线的点， 点、在同一条直线上， ，解得。【总结升华】1. 等差数列的关键是首项与公差；五个基本量、中，已知三个基本量便可求出其余两个量；2.列方程（组）求等差数列的首项和公差，再求出、，是数列中的基本方法.举一反三：【变式1】在等差数列中，已知求首项与公差.【答案】由 解得；【变式2】等差数列中, , , ,求的值.【答案】即，解得：或.【变式3】已知单调递增的等差数列an的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列an的通项公式【答案】方法一：根据题意，设等差数列的前三项分别为a1，a1d，a12d，则，即，解得或.

11、因为数列为单调递增数列，因此，从而等差数列an的通项公式为an4n1.方法二：由于数列an为等差数列，因此可设前三项分别为ad，a，ad，于是可得，即，解得或.由于数列an为单调递增数列，因此，从而an4n1.类型三：活用等差数列的性质解题例4. 已知等差数列中，若,求的通项公式。【思路点拨】可以直接列方程组求解和；同时留意到脚标，可以用性质：当时解题.【解析】，即,代入已知，有,解得或，当,时，；当,时，, .【总结升华】利用等差数列的性质解题，往往比较简捷.举一反三：【变式1】在等差数列中，则= 【答案】9【变式2】在等差数列中，则= 【答案】10【变式3】在等差数列中，若, 则= , =

12、 【答案】， ，.类型四：前n项和公式及性质的运用例5等差数列前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和.【思路点拨】利用等差数列的前n项和公式求解；或利用性质：“等差数列的连续10项和构成一个新的等差数列”和等差中项求解；或利用相关的函数（）等知识求解。【解析】方法一：利用等差数列的前n项和公式求解。由已知得，解得，。方法二：利用等差数列前n项和公式及性质,则求解。由已知得由(3)-(2)及(2)-(1)结合(4), 得S3m=210.方法三：根据性质：“已知an成等差数列，则Sn,S2n-Sn, S3n-S2n,Skn-S(k-1)n,(k2)成等差数列”解题。由上述性质，知Sm

13、,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列。Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm), S3m=3(S2m-Sm)=210.方法四：由的变形式解题，由上式知，数列也成等差数列，即成等差数列， ，又Sm=30, S2m=100, S3m=210.方法五：an为等差数列， 设Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100, 得，S3m=9m2a+3mb=210.【总结升华】方程是解决这类问题的重要方法，当然具体题目也要注意数列本身的一些性质，它往往更能起到事半功倍的效果.举一反三：【变式1】等差数列an中，若a1+a2+a3+a4+a5=30, a6+a7+a8+a9+a10=80,

14、 则a11+a12+a13+a14+a15=_.【答案】比较对应项可知后一段中每一项总比前段每一项多5d，故后一段和比前一段和多25d，故三段依然构成等差数列，故由等差中项公式可知:a11+a12+a13+a14+a15=280-30=130.【变式2】等差数列an中，Sm=Sn且mn, 则Sm+n=_.【答案】方法一：数列an成等差数列的充要条件是Sn=an2+bn（其中a，b为常数），故有(2)-(1)得a(m2-n2)+b(m-n)=0,mn, a(m+n)+b=0,Sm+n=a(m+n)2+b(m+n)=(m+n)a(m+n)+b=0.方法二:从等差数列Sn=an2+bn去认识它是函数

15、S(x)=ax2+bx图象上的点，Sm=Sn,函数图象对称轴为，故Sm+n=S(0)=a02b0=0.【变式3】等差数列前10项和为100，前20项和为10，求它的前30项和.【答案】方法一：由已知，得，解得，.方法二：等差数列中,，构成新的等差数列，, .方法三：等差数列中，设,则,解得，.例6已知两等差数列、的前项和分别为、，且，试求.【思路点拨】利用前项和公式与性质解题，或利用解决，或利用等差数列前项和形式解题.【解析】方法一：， .方法二：由得方法三：由题设，令等差数列前项和, ，则 ， .【总结升华】依据等差数列的性质可以得到，当已知两等差数列、的前项和分别为、时，有，.举一反三：【

16、变式1】等差数列中，若, 则=_.【答案】由，得.【变式2】已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则= .【答案】.【高清课堂：等差数列及其前n项和379548 练习5】例7一等差数列由3个数组成，3个数之和为9，3个数的平方和为35，求这个数列。【思路点拨】本题设这三个数时，常规设法为, ，但不如用对称设法设为, , 。【解析】设这三个数分别为, , ，则 ，解得,. 所求三个数分别为1，3，5或5，3，1。【总结升华】1. 三个数成等差数列时，可设其分别为, , ；若四个数成等差数列，可设其分别为,.举一反三：【变式】已知四个数成等差数列，且其平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18

17、，求此四个数。【答案】-1，2，5，8或8，5，2，-1或-8，-5，-2，1或1，-2，-5，-8类型五：等差数列前项和的最值问题例8已知数列是等差数列，,，试问为何值时，数列的前项和最大？为什么？【思路点拨】要研究一个等差数列的前项和的最值问题，有两个基本途径：其一是利用是的二次函数关系来考虑；其二是通过考察数列的单调性来解决。【解析】方法一：, 即, ， ， 又， 当, 有最大值为.方法二：要使最大，必须使且，即解得， ，时，最大为.【总结升华】对等差数列前项和的最值问题有两种方法:1. 利用:当，时，前项和有最大值。可由，且，求得的值；当，时，前项和有最小值。可由，且，求得的值.2. 利用：由利用二次函数配方法求得最值时的值举一反三：【变式1】设等差数列的前项和为, 已知,. （1）求公差的取值范围；（2）指出，中哪一个值最大，并说明理由.【答案】（1）依题意，有，即，解得.（2）法一:由，可知.设存在自然数,使得就是，中的最大值，只需,由，故是，中的最大值.法二:, 最小时，最大，, ，时，最小，故是，中的最大值.【变式2】(2014 江西)在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为【答案】，当且仅当n8时Sn取得最大值，即，解得：综上：d的取值范围为(1，)