2022高一数学教案函数概念的深入理解第2讲 .doc

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1、函数概念的深入理解第2讲 函数12级函数的单调性与奇偶性（一）满分晋级 函数10级集合中的常用数学思想函数11级函数概念的深入理解新课标剖析 当前形势函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷（理）中考查510分高考要求内容要求层次具体要求ABC函数的概念与表示通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如，图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用

2、映射了解映射的概念北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第3题5分第13题5分第6题 5分第14题 5分第6题 5分第13题 5分第14题 5分第5题 5分 函数贯穿整个高中的数学学习，高中函数的本质是一种对应关系，无论你用什么形式表达，只要对任何一个确定的自变量，存在唯一的函数值与之对应的就是函数关系，最常见也是最实用的是解析式表示如：，表示把任意一个东西对应到它的平方；而则表示把任意一个东西对应到它加；，表示把任何一个东西对应到它的相反数；这种对应是更本质的，而且不依赖于字母的选择也可以通过图象给出对应关系，它的最大好处是可以

3、直观地看出一个函数长什么样，后面我们会有一个很重要的任务，就是一点点教大家怎么去画一些你并不认识的函数图象，如，本讲分成两个板块，板块一是对函数符号的理解：包括具体函数的求值问题、求解析式问题、抽象函数的求值问题与求解析式问题（仅限目标班）；板块二是函数的定义域与值域问题：包括基本的图象变换、具体函数与抽象复合函数的定义域问题、函数的值域的常见求法本讲内容在暑期对应第二讲函数及其表示，当时介绍了映射的概念、函数的概念与三要素（包括：函数求值、同一函数、复合函数的概念、具体函数与抽象复合函数的定义域问题、利用图象法求常见函数的值域与最简单的复合函数的值域问题）、函数的表示法（其中解析式的求法介绍

4、了代入法、配凑法、换元法、待定系数法）本讲会在预习的基本上重点介绍：抽象函数的函数值求法、求函数解析式的方程组法、图象变换、求函数值域的方法总结2.1函数符号的理解考点1：具体函数的求值问题暑假知识回顾已知函数，如果，求的值；当为何值时，函数的最小值是？【解析】 经典精讲【例1】 设，则_设函数，则的值为（ ）ABCD已知且，则_设，则_（目标班专用）已知函数，记，则_【解析】 D； ； 0 考点1是具体函数的求值问题，即给出的解析式，求出具体的某个考点2是具体函数的求解析式问题，即给出函数满足的某些条件或形式，求出暑期时我们学习了求函数解析式的代入法、配凑法、换元法与待定系数法，这里介绍一种

5、新的方法方程组法，解决满足形如与的函数方程求解析式的问题考点2：求函数解析式的方法总结 解析式给法分两种，一种是明着给的，一种是暗着给的 明着给的规则，如：已知，求直接代入即可得；对于这个问题需要理解清楚：的作用是把括号里的整体变成平方加，不管括号里面的是什么，都对应到它整体的平方加；中的与中的不一样，如它们很可能对应不同的取值范围；与不是同一个函数，解析式就不一样，但它们都有一个作用叫 暗着给的规则，如：若，求此时，对应的规则是不直接给出的关键要看对进行了什么操作，所以要把变成与相关的：，于是，这就是配凑的方法也可以令，于是，代入得到，即换元法 暗着给的对应法则还要注意定义域的限制，如：若，

6、求可以用配凑法或换元法得到于是我们得到但如何由得到呢，这不可能，因为，暑假知识回顾1已知函数，求【解析】 2已知是一次函数，且，求【解析】 或【例2】 （目标班专用）若，求的表达式已知，求已知，求【解析】 分析：可求：令，即得到那么令，得到和互为倒数，当时，当时，令，由，得，于是得到一般情况：令与得到 ； 例2的方程组法，只需要换元一次，就能得到一个类似“二元一次方程组”，解出，下面的拓展题，需要用两次换元法，得到一个类似“三元一次方程组”，解出【拓展】设对满足的所有实数，函数满足，求所有可能的【解析】 对于法则只有一个描述，而不直接给出对应法则，反过来要求对应法则相关的问题，在数学中统称为函

7、数方程问题（是以函数的解析式为未知量，给出一些相关条件，去求解函数）也叫抽象函数问题，这是与给出解析式的具体函数对应的通过函数方程求值、通过函数方程求解析式（仅目标班）、判断单调性与奇偶性的问题，都是我们后面要研究的函数方程问题这类问题的主要方法是赋值法考点3：抽象函数的求值问题【铺垫】已知的定义域为，对任意的，有，则_【解析】 ；【例3】 定义在（正实数集）上的函数满足（），已知，则_，_定义在上的函数满足（），则_，_（目标班专用）对任意实数，均满足，且，则_【解析】 ； ；【拓展】已知定义域为的函数满足；，且 求； 求证：【解析】 ；，故，从而令得，故命题得证考点：抽象函数的解析式问题（

8、目标班专用）【例4】 设是定义在上的函数，满足，且对任意的，都有，则_设是定义在上的函数，满足，且对任意的，都有，则_【解析】 ； ；2.2函数定义域与值域考点4：函数图象的三大变换知识点睛 图象变换有四种基本的形式，包含九种具体的变换方式，如下：函数的图象经过对应的变换后的对应解析式如下（）：四种基本变换形式九种具体的变换方式针对图象的具体操作变换后对应的解析式平移变换水平平移向右（左）平移个单位（）垂直平移向上（下）平移个单位（）翻折变换上下翻折轴上方的图象不变，将轴下方的图象翻折到轴上方来左右翻折轴右边的图象不变，将轴右边的图象翻折到轴的左边覆盖原来左边的图象对称变换按轴对称将的图象作关

9、于轴的对称按轴对称将的图象作关于轴的对称按原点对称将的图象作关于原点的对称伸缩变换横向伸缩纵坐标不变，横坐标变为原来的（倍）纵向伸缩横坐标不变，纵坐标变为到原来的（倍）我们在这里只讲前面三种图象形式的形式，最后一种图象的伸缩变换我们放到三角函数的图象与性质中再讲一个函数经过图象变换变成一个新的函数，变化过程有两个基本原则：所有的变换都只针对或本体；的变化只影响横方向，的变化只影响纵方向由此我们可以得到：函数图象纵方向的变换，如上下平移不会改变函数定义域；而横方向的变换，如左右平移不会改变函数的值域函数图象的三大变换：平移、对称、翻折给定函数， 函数图象的平移：包括上下平移与左右平移，得到与，见

10、下图； 函数图象的对称：得到，见下图； 函数图象的翻折：得到与，见下图 平移变换 对称变换 翻折变换 老师可以结合下面的小例子讲解这三个图象变换：平移：例：的图象向右平移1个单位得到；例：的图象向上平移一个单位得到；例：已知函数的定义域为，则的定义域为当一个函数平移时定义域也会平移，例如：定义域为，表示向左平移1个单位，定义域也向左平移1个单位，即为对称与不同，是先，再取负；是先取负，再“”负号加在函数值身上，不变，函数值为原来的相反数只是沿轴把上下颠倒一下“”负号加在自变量身上，自变量在变，原来在处取到的，现在在处取到，原来在取到的值现在在3处取到可以将的图象分别按轴对称一下，再按轴对称一下

11、，顺序不限翻折：先再取绝对值，相当于把所有负的函数值变成正的，正的函数值保持不变即把轴下方的部分翻折到轴上方，轴上方的不变；：先取绝对值再，当时，函数值不变；当时，取处的函数值，所以原来轴左边的图象直接被无视，而轴右边的图象被翻折到轴左边，最后得到的图象一定关于轴对称综上所述，可以得到一个很简单的结论，所有的函数变化，首先要看这个变化施加在谁身上，若施加在身，那么它的变化将是横方向上的变化，若变化施加在身上，它的变化将是纵向的【铺垫】试用图象变换的知识画出下列函数的草图：；【解析】 【例5】 （目标班专用）试用图象变换的知识画出下列函数的草图：；【解析】 【备注】只给出一种可行的方式，方式不唯

12、一，需要明确的是：所有的变换都针对本身，所以想得到只能先翻折再平移，不能先平移再翻折考点5：函数的定义域知识点睛求函数定义域问题： 具体函数的自然定义域：目前的限制条件有分母不为零，零的零次方无意义，偶次根式下非负；（自然定义域以后还会增加对数函数的真数不为零，指数函数的底数大于零且不等于等，一个函数不标注定义域，则指得就是它的自然定义域，如，不需要再注明） 限制定义域： 人为规定的限制，如； 实际背景的限制，如物理中的时间；再如实际问题中，一个物体的个数是非负整数等；抽象复合函数的定义域问题暑假知识回顾1函数的定义域是 【解析】 2 已知函数的定义域为，则的定义域为_； 已知函数的定义域为，

13、则的定义域为_； 已知函数的定义域为，则的定义域为_【解析】 ； 【分析】以第小题为例：为什么会这样？可以从两个角度来理解：一是上面所说的图象的平移变换；向右平移个单位得到，所以的定义域也是的定义域向右平移一个单位得到的第二种理解是直接从对函数的理解入手：需理解与是两个不同函数；定义域是指的范围而这两个函数的公共点在于是有要求的，对于而言只有当时才能被作用，这个之外的数就作用不了，所以会对内的数加以限制，同样的的规则也会对括号中的数加以限制，这样就得到一个基本的等价形式，都在的作用下，内的范围应相同可以直接把对应的函数简单地构造出来，帮助学习理解，如满足定义域为，则，定义域为经典精讲【例6】

14、若函数的定义域为，函数的定义域为，则_；若函数的定义域为非空集合，函数的定义域为， 若，则的取值范围是_（目标班专用）已知函数的定义域为非空集合，函数的定义域为非空集合若，求实数的值及实数的取值范围【解析】 ； ； ，的取值范围是 虽然抽象函数的定义域我们在暑期预习时已经讲过，但考虑到这是一个难点，所以在这里我们仍然安排了一道例题，老师可以根据暑假知识回顾的讲解，让学生再练习一下【例7】 已知函数的定义域为，则的定义域为_已知函数的定义域为，则函数的定义域为_【解析】 ； ；考点6：函数的值域暑假知识回顾在暑假预习时，我们学习了常见函数的值域问题：包括一次函数、二次函数与反比例函数及加上人为定

15、义域限制后的值域问题，这样的问题借助于这些函数的图象可以很快得到结果，但计算上需要小心，特别是系数正负交替时很容易出错1求下列函数的值域：；，；【解析】 ；暑假预习还讲到了简单的复合函数的值域，复合函数就像加工厂，东西进去后经过一道又一道的工序，最后出来，比如你们从小学进入初中，从初中进入高中，从高中出来就变成一合格人才这是一个多道工序复合的过程，前一道工序出来的产品是后一道工序的原料，就像前一层复合的值域是后一道复合的定义域求复合函数的值域是一层一层从内往外走，先看整个函数的定义域，再依次从内层开始求每层的值域，每一个内层的值域都对应它外面一层的定义域，这样一层层的处理就可以得到整个函数的值

16、域了暑假的复合函数每层复合都非常清晰的，如下面的2，我们会进一步研究更复杂的复合函数，见后面例题前的铺垫2求下列函数的值域：；，；【解析】 ；经典精讲 值域的问题不同老师有不同的讲法，这很正常，因为到目前为止，没有一种公认的使所有函数都能求到值域的方式，还有很多函数的值域，是你们到目前为止，没有手法能求解出来的但求解值域问题有两个大致的方向，一个方向是借助于基本函数的图象解决我们熟悉的函数及其复合函数的值域问题，当然每个人熟悉的函数是不一样多的，后面我们也会学习更多的函数，比如对勾函数、指对函数，扩充我们的函数库；另一个是借助于代数基本变形求值域，比如配方法、换元法、分离常数法、判别式法等当然

17、，这两个方向不是完全独立的，很多时候，进行换元或者分离常数后，一个陌生的函数会转化为我们熟悉的函数，从而利用图象解决值域问题 在高中范围内，能借助于代数基本变形解决的值域问题通常次数差小于等于，如：，等，再比如次数差也不超过，这些问题都是可以解决的，往往都是通过换元法转化为二次函数相关的函数来求值域如：；中：令，则转化为，；包括都可以通过得到它的最小值，这个函数就是对勾函数，我们在下一讲函数的性质中熟悉这个函数的图象 换元法见例8的铺垫与第小题 分式函数：分式函数是高中挺常见的一类函数，形如的形式，其中与都是次数不超过的多项式函数一次比一次，如，我们通过分离常数将分子化为常数，得到，这是反比例

18、函数通过平移得到的函数；二次比一次，如，令，得到，转化为对勾函数；一次比二次，如，当时，将分子除下来得到，分母即为的形式；二次比二次，如，通过分离常数将分子化为一次的，得到，转化为的形式；一次分式函数的值域问题见例8二次分式函数的值域在对勾函数讲完在期中复习一讲再讲 判断式法：（不在例题中出现，供选讲）对于分式函数，还有一种处理方式是判别式法，近年来这种方法在高考与模拟考试中基本没有用过，而且只对定义域不受限的情形才方便使用，可以用判别式法解决的问题用上面的代数变形也可以解决，所以判别式法老师可以选择性的作个介绍求函数的值域解：将看成参数，去分母整理得： （*），当时，此方程有解；当时，此方程

19、有解，解得，且综上知，当，（*）有解，即对于这样的，存在使得成立，也即，所以我们求出来的范围即为函数的值域练习：求函数的值域解：将看成参数，去分母整理得到关于的方程：，当时，方程有解，故在值域内；当时，此方程有解，解得，且综上知，函数的值域为【铺垫】求下列函数的值域：；，【解析】 ； ；其实换元法求值域与通过复合函数由内而外一层层求值域是完全一致的【例8】 求下列函数的值域：；(目标班专用)【解析】 ； ； ； 且； ；【拓展】函数的值域是_【解析】 下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点，如图1；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角

20、坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图3图3中直线与轴交于点，则的象就是，记作图1图2图3 方程的解是 ； ； 【解析】 ；，三点共线； ；，且点在轴负半轴，且点在轴正半轴，实战演练【演练1】设函数，则的值为（ ）A B C D【解析】 A【演练2】设，则_【解析】 ；【演练3】函数的定义域为_若函数的定义域为，那么的定义域是_ABCD【解析】 ； A【演练4】已知，则（ ）A B C D【解析】 B；【演练5】已知定义在上的函数满足（），若，则_，_【解析】 ；【演练6】求下列函数的值域：；【解析】 ； ；大千世界已知是定义在上的函数，且对任意的都有，则 【解析】，因此上述的不等式都取等号，即，故易知