2022高一数学教案与数列的第一次亲密接触第2讲.doc

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1、与数列的第一次亲密接触第2讲满分晋级 数列2级数列的小伙伴们数列3级等差数列深入数列1级与数列的第一次亲密接触知识切片 本讲主要是数列的概念和等差数列的初步认识，包括等差数列的通项和求和公式，以及等差数列最简单的几个性质，更多的性质会在春季同步时再深入研究本讲内容较多，下讲内容较少，可以与下一讲作个时间上的均衡数列的引入我们已经学习过整数、有理数和无理数，它们可以用来表示某些数量不过有些时候，表示的会比较不一般比如下面这个著名的问题（兔子问题）：1202年，意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci）在他的一本书中提出的一个问题一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔

2、子每个月能生出一对小兔子来如果所有兔子都不死，年初由一对初生的小兔子开始，一年以后共有多少对兔子？要解决这个问题，我们可以列一个表：时间（月）123456789101112兔宝宝（对）1011235813213455成熟兔（对）01123581321345589兔总数（对）1123581321345589144如果我们只是单纯的写出最后的答案，我们会错过很多有趣的结论我们将每个月最后的兔子数写成一列，就得到一列数，研究这一列数的规律，容易发现它们满足：从第项起，每一项都等于前两项的和，由这条规律我们就可以知道两年后乃至若干年后的兔子总数了这一列数就称为数列还有很多其它的数列，各个数列其各自的项

3、之间都有其内在关系和规律，研究数列的规律和性质是我们接下来两讲要学习的内容（斐波那契数列有视频，可结合视频说明）2.1数列的认识 考点1：数列的定义与分类知识点睛1数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第项，所以，数列的一般形式可以写成：简记为以前面的斐波那契数列为例，需要注意的： 数列中每一项都和它的序号有关，数列中的数是按一定次序排列的如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列如：数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是不同的数列数列和斐波那契数列也是不同的数列 数列的定义中，

4、并没有规定数列中的数必须不同因此，同一个数在数列中可以重复出现如：1，1，1，；2，2，2，2，2，等 与是不同的概念表示数列，而仅表示数列的第项2数列的分类 按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列 按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列 按照任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：有界数列和无界

5、数列斐波那契数列是无穷数列，递增数列，无界数列更多的例子见例1经典精讲【例1】 下面数列哪些是递增数列，递减数列，常数列，摆动数列？哪些是有穷数列，无穷数列？全体自然数组成数列：0，1，2，3，；某校6个班学生人数构成的数列：15，16，18，20，22，30；数列：5，3，8；数列：5，5，5，5，5；数列：100，90，80，70，60，50，根据数列的规律填空1 1 2 3 5 8 5 3 10 6 15 12 3 5 9 17 33 1 2 2 3 4 6 （2010湖南文20）给出下面的数表序列：其中表有行，第1行的个数是1，3，5，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和，

6、写出表4【解析】 递增数列 无穷数列 递增数列 有穷数列摆动数列 有穷数列 常数列 有穷数列递减数列 无穷数列 13此数列为著名的斐波那契数列，从第三项起每一项是前两项之和20，24此数列是混合数列，奇数项为首项为5，公差为5的等差数列，偶数项是首项为3，公比为2的等比数列，按顺序应填20，2465根据数列的规律每一项为9从第三项起每一项为前两项之和减1，所以空格应填9趣味数列：（供课堂增加趣味性，活跃气氛选用）1请写出下列数列的下一项：2，12，1112，3112，211213，_2按规律填空： ； ；【解析】 1这个数列中每一项都和前一项和读法有关，第一项是2，第二项是一个2，第三项是一个

7、1一个2，第四项是三个1一个2，往后以此类推所以应该填入的数列为：312213 2，所以应该填；将数列的前几项反过来写：所以，以此类推后边应该为，所以应该填考点2：数列的通项公式与递推公式知识点睛数列的表示方法： 图象法：数列是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的项是一系列函数值所以，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点作图来表示这个数列全体正偶数组成的数列用图象法表示为（如图）：数列图象与一般函数图象的区别在于数列的图象是一系列孤立的点 列表法：与函数一样，数列也可以用列表的方法来表示如：全体正偶数按从小到大的顺序构成的数列2，4，6，

8、8，用列表法可表示为123246列表法可以清楚地反映出数列的许多具体的项，但由于受某些条件的限制，用列表的方法有时不能完整的反映一个数列，或数列的具体规律，所以并不是每一个数列都可以用列表的方法表示图象法可以比较清楚的揭示数列的变化规律，列表法表示数列能使人一目了然，但它们的缺点就是数列的项数比较多时，表示起来一般会非常费劲，比如斐波那契数列用这两种方法就不好表示数列更多的是用下面两种方法来表示 递推公式法：如果已知数列的第1项（或前几项），且任意一项与它相邻的一项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的递推公式如：数列3，4，5，6，7，用递推公式可这样表示：， 通项

9、公式法：数列的第项也叫做数列的通项如果数列的第项与之间的关系可用一个函数关系来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式中的数列可以用来表示理解数列的通项公式： 数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集为定义域的函数的表达式； 如果知道了数列的通项公式，那么依次用去替代公式中的就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项 数列的通项公式形式不是惟一的，如，它可以写成，也可以写成或 不是所有的数列都有通项公式，好比不是所有的函数都有解析式一样有穷数列一定有通项公式无穷数列不一定有比如由全体质数组成的数列，目前就没有通项公式前面提过的

10、斐波那契数列的递推公式：，通项公式为，这是一个正整数列用无理数来表示通项的例子高中阶段只学习比较简单的递推形式的通项公式，象斐波那契这种比较复杂的递推和通项仅作为帮助了解数列的相关概念经典精讲【例2】 观察数列前几项，求出下列数列的一个通项公式 ； ； ； ； ； ，；已知数列满足，（），则_；_已知数列满足，（），则_；_（目标班专用）（2010西城二模理14）我们可以利用数列的递推公式，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数则_；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第个是该数列的第_项【解析】 或（可以不讲）或或； ； ； ；（观察分子觉得分子可能为，从而得到分母为）；

11、（观察分母得分母都为，将分母整理为，得到规律）；可以推断；可以推断；，同时，因此；第个出现在第项，因此第个是该数列的第项【例3】 根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式，并分析 ，求出，是否有最大、最小值？ ，求出，是否有最大、最小值？，求出，是否有最大、最小值？ ，求出，是否有最大、最小值？类比函数的单调性、有界性来分析数列的性质 数列的通项公式是，当取何值时，最小？ 数列的通项公式是，当取何值时，最小？【解析】 ，最小值为首项2，没有最大值，该数列为单调递增数列 ，最大值为首项，没有最小值，该数列为单调递减数列 ，最小值为，没有最大值，该数列为单调递增数列 ，最大值为，最小值为，该数

12、列不是单调数列 时，最小为1 该数列无最大值时，最小为该数列无最大值函数【点评】 引出用函数的分析方法分析数列的取值，强调数列是一种特殊的函数，用函数的方法进行分析时，要注意其定义域是大于0的整数数列定义域【拓展】若，当且仅当时有最小值，问的取值范围【解析】 函数的对称轴为，故离最近，即且，解得考点3：数列的前项和知识点睛数列的前项和用来表示，如果与的关系可用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的前项和公式数列的前项和于是有前项和减去前项和第1项等差等比数列的前项和公式我们会在相关小节学习，数列求和的常用方法我们会在春季同步讲义时系统学习，这里可以举一些最简单的可以求和的例子：如求常数列：的前

13、项和或者求数列的前项的和等如果有学生问斐波那契数列的前项和公式的话，也可以提一下，它是两个等比数列的和，且后面的例题主要是练习给定的通项公式求，要注意只对成立，用求时，必须单独讨论，忽视这个很容易造成错误，见易错门诊经典精讲【铺垫】已知数列的前项和，则_，_，通项_已知数列的前项和，则_，_【解析】 ；时，故对，有；【例4】 已知数列的前项和，则其通项；若它的第项满足，则已知数列的前项和，则其通项_；满足的最大正整数为_【解析】 ；8 ；时，对也满足；由得：，故 ；时，对也满足；故；，由知，满足不等式的最大的为1已知数列的前项和，求【解析】 当， 2已知数列的前项和，求【解析】 ；，故【点评】

14、 强调利用前项和求通项的时候，对首项要单独处理2.2等差数列基本量计算前面我们对于一般的数列学习了一些基本概念和知识，总体而言，大部分数列是没什么规律的，小部分规律明显，接下来我们学习一类有迹可循的特殊数列例如：自然数数列，每个数都比它后面的数小，正偶数数列，从第二项起，每项都比它前面的数多，等等这一类特殊的数列就是等差数列考点4：等差数列的概念知识点睛定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示 先从直观上认识等差数列，通过一些具体的数列感觉等差数列，之后再学习等差数列的通项公式，熟悉通项公式以

15、及正确计算等差数列的项数再学习等差数列的求和公式，以及一些简单的性质希望把概念分开讲解，分别配例题经典精讲【例5】 下列数列是等差数列吗？如果是求出公差，如果不是请说明理由；【解析】 是；是，；是0；不是；不是考点5：等差数列的通项公式知识点睛已知等差数列，首项为，公差为，第项（通项）为，通项公式：公差首项等差数列第项通项公式的推导：我们可以说明第二项与第一项相差，第三项与第一项相差，第项与第一项相差，所以还可以用叠加法求其通项公式叠加法： 将这个式子左右分别相加可得，故知道数列的首项与末项，可以求项数，公式为经典精讲【例6】 已知等差数列的通项公式为，则公差为_，首项为_等差数列的第4项_，

16、第20项_等差数列的项数_，第项为_已知数列是等差数列，且，则数列的通项_【解析】 ，4，故（也可直接由通项公式看出）；，；，；公差，故，再写两项即得第项为也可以先写出通项公式，于是为第项； 解法一：设的公差为，由已知条件 解出，所以解法二： ，例6给出了等差数列的通项公式与项数的常规求法，如果把数列看成特殊的函数，可以将通项公式整理成，故是关于的一次函数（在时），从这个角度出发，给出等差数列的通项公式可以马上得出公差，即前的系数，给出公差也可以立刻得到一次项，再结合给出的某项的值即得到通项公式具体见下面的练习准确快速地求出等差数列的项数非常重要，可以结合“挑战分钟”多练多算【挑战5分钟】 已

17、知，则_已知，则_已知，则_已知，则_已知，则_已知，则_等差数列的项数为_等差数列的项数为_等差数列的项数为_等差数列的项数为_【解析】 ；等于加上某数，由知，；，则知；，；，；考点6：等差数列的求和公式知识点睛已知等差数列，首项为，公差为，通项为，前项和为前项和的公式：；知三求二，可考虑根据公式统一转化为两个基本量第项项数首项公差等差数列前项和相信大家对高斯小时候算的故事耳熟能详，对于怎么算也知道的八九不离十，那对于一般的等差数列，前项和公式怎么求呢，类似的推导如下：若等差数列的公差为，为数列前项和，可以用倒序相加法求和倒序相加法：把项的顺序反过来：两式相加得，得从函数角度看等差数列的前项

18、和公式：将前项和公式整理成，故时，是关于的常数项为的二次函数，从函数的角度看知，当时，有最小值；当时，有最大值可以结合下面例7的拓2理解一下这个结论，这方面的更多性质及其应用会在春季同步时展开由等差数列求和公式的形式，我们可以直接看出公差的值，如；，则；若是的二次函数，那么这个数列一定是等差数列吗？举例，则不是等差数列，首项会出问题，从第二项起是公差为的等差数列如果的表达式不含常数项，则是等差数列所以由前项和判断是不是等差数列，一定要检验一下前两项满不满足经典精讲【铺垫】等差数列的各项的和为_已知数列是等差数列，则_【解析】 ；， ；【例7】 已知数列是等差数列，则前项和_已知数列是等差数列，

19、则使得的项数_已知等差数列的前项和，则_，_（2010辽宁文14）设为等差数列的前项和，若，则 （目标班专用）（2010丰台一模理8）已知正整数按如下规律排成一列：、，则第个数对是（ ）A B C D【解析】 ；， 11；，有，即，或（舍去） ；由，故（也可求出求和） 15；，解得，KS*5U.C#（目标班）C根据题中数列的规律，坐标和为的数有个：和为：、和为：、和为：、，和为：，即和小于等于的数有个，从而第项的和为，前几项依次为：，因此第项为2.3 等差数列性质初步学过了等差数列的基本概念和简单的计算后，我们会发现等差数列只需要确定两个基本量，然后不管条件怎么变，等差数列的题都可以由这两个数

20、经过一定的运算求出来不过在求解的过程中，如果只是生搬等差数列最基本的公式，有的题目的运算量就会比较大，导致计算出错的可能就会增加如何尽可能避免很多不必要的繁琐的计算，这就要学习一点点小技巧，这些小技巧就是我们要学的等差数列的性质考点7：等差数列的性质知识点睛1等差中项：若成等差数列，则称为的等差中项，2等差数列的简单性质（其中公差为）： （）； 若，则有；若，则有（，）；对应项的和相等下标和相等若，则 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，为等差数列，公差为；的前项和为，则中间项 项数对于性质可以举简单的例子，求，可以先求，再由和求，也可以引入性质求解 对于，可以由一些简单的例

21、子之类的得出猜想，然后进行证明 对于性质，可以从隔项取一个的等差数列进行探索，然后隔两个，隔多个进行考虑这一讲对等差数列的性质只学习它常用的几条，其它性质我们还会在春季同步班重点学习对性质的简单证明如下：，同理可得，为等差数列，公差为；，这条性质是的推论，性质是等差数列题目中经常出现的经典精讲【铺垫】在等差数列中，则的值为（ ）ABCD在等差数列中，则_【解析】 A；由等差数列性质1得，所以；【例8】 是与的等差中项，则 ；为等差数列，则 （2010全国卷6）如果等差数列中，那么（ ）A14 B21 C28 D35设是等差数列的前项和，则 已知等差数列满足，则其前10项的和_（目标班专用）在等

22、差数列中，若，则的值为_【解析】 4；C；由，得， 所以 ，；16；，故本题可以让学生先用普通方法做一遍，然后再介绍利用等差数列性质解题的简便方法，通过这个对比说清学习等差数列性质的重要性，并说明春季我们会介绍更多的性质【拓展】（第21届希望杯全国数学邀请赛高一16）已知等差数列的前项和为，若不经过点的直线上的三点满足，则_【解析】 1005、三点共线，则由又为等差数列实战演练 【演练1】 写出下列数列的通项： ；【解析】 ；【演练2】 数列：，求出，是否有最大、最小值？【解析】 ，有最大值，没有最小值【演练3】 已知数列是一个等差数列，且，则数列的通项_【解析】 ；解法一：设的公差为，由已知

23、条件 解出，解法二： ，【演练4】 已知等差数列满足，则它的前10项的和为_在等差数列中，的前项和为，若，则 【解析】 120法一：，法二：， 6；，【演练5】 设等差数列的前项和为，若，求的值，当取最小值时 的值【解析】 设该数列的公差为，由等差数列的性质，解得，所以，所以当时，取最小值【演练6】 在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 第1列第2列第3列第1行123第2行246第3行369那么位于表中的第行、第列的数是【解析】 第行第1列的数为，第行的数构成公差为的等差数列，故第行，第列的数为概念要点回顾 1已知数列的前项和为，则_2等差数列的前项和公式_3等差数列，若，则_谷神

24、星的发现1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学教师，把下面的数列：3，6，12，24，48，96，192的前面加上0，即：0，3，6，12，24，48，96，192然后再把每个数字都加上4，就得到了下面的数列：4，7，10，16，28，52，100，196再把每个数都除以10，最后得到：令提丢斯惊奇的是，他发现这个数列的每一项与当时已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、土星）到太阳的距离比例（地球到太阳的距离定为1个天文单位）有着一定的联系水星金星地球火星谷神星木星土星天王星计算距离提丢斯的朋友，天文学家波得深知这一发现的重要意义，就于1772年公布了提丢斯的这一发现，这串数从此

25、引起了科学家的极大重视；并被称为提丢斯波得定则即太阳系行星与太阳的平均距离当时，人们还没有发现天王星、海王星，以为土星就是距太阳最远的行星1781年，英籍德国人赫歇尔在接近的位置上（即数列中的第八项）发现了天王星，从此，人们就对这一定则深信不疑了根据这一定则，在数列的第五项即的位置上也应该对应一颗行星，只是还没有被发现于是，许多天文学家和天文爱好者便以极大的热情，踏上了寻找这颗新行星的征程1801年新年的晚上，意大利天文学家皮亚齐还在聚精会神地观察着星空突然，他从望远镜里发现了一颗非常小的星星，正好在提丢斯波得定则中的位置上可是，当皮亚齐再想进一步观察这颗小行星时，他却病倒了等到他恢复健康，再

26、想寻找这颗小行星时，它却不知去向了皮亚齐没有放弃这一偶然的机会，他认为这可能就是人们一直没有发现的那颗行星，并把它命名为“谷神星”在高斯之前，著名数学家欧拉曾经研究出了一种计算行星轨道的方法可是，这个方法太麻烦高斯决心去寻找一种简便易行的方法在前人的基础上，高斯经过艰苦的运算，以其卓越的数学才能创立了一种崭新的行星轨道计算理论他根据皮亚齐的观测资料，利用这种方法，只用了一个小时就算出了谷神星的轨道形状，并指出它将于何时出现在哪一片天空里1801年12月31日夜，德国天文爱好者奥伯斯，在高斯预言的时间里，用望远镜对准了这片天空果然不出所料，谷神星出现了！高斯的计算方法成功了高斯从笔尖上寻找到的这颗行星，在隐藏了整整一年后，向人们显示了数学在科学研究中的巨大作用