2022高三总复习教案函数与方程.doc

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1、函数与方程【考纲要求】1.了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解3.理解函数与方程之间的关系，并能解决一些简单的数学问题。【知识网络】函数与方程函数的零点二分法函数与方程的关系【考点梳理】1函数零点的理解 （1）函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x轴交点的个数 （2）变号零点与不变号零点 若函数在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点 若函数在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号

2、零点若函数在区间a，b上的图象是一条连续的曲线，则是在区间（a，b）内有零点的充分不必要条件要点诠释：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。2用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题 （1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根（2）求曲线与的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求的根要点诠释：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。3关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题 （1）第一步中要使：区间长度尽量小；、的值比较容易计算且 （2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程的根，可以构造函数），函数的零点

3、即为方程的根【典型例题】类型一、判断函数零点的位置例1.函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是 ()A(2，1)B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析：f(0)10，f(1)0，选B.答案：B点评：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式】已知函数，当时，函数的零点,则 .解：用数形结合法 作出 及的图象，作出 及由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故 类型二、确定函数零点的个数例2.二次函数中，则函数的零点的个数是( )A.1B.2C.0D.无法确定

4、解法1：方程有两个不相等的实数根函数有两个零点，选B.解法2：，不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B.点评：可以利用函数图象或方程的判别式.举一反三：【变式】设函数f(x)4sin(2x1)x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()A4，2 B2,0C0,2 D2,4解析：本题判断f(x)0在区间内是否成立，即4sin(2x1)x是否有解如图：显然在2,4内曲线y4sin(2x1)，当x时，y4，而曲线yx，当x4，有交点，故选A.答案：A例3. 求方程的解的个数解析：方法一：作出函数和的图象，且时，有（如图）由图象可以知道：函数和的图象的交点的个数为3

5、，即方程的解的个数为3.方法二：令，则 ， 由即得或，从而极大极小在及上为增函数，在 上为减函数。作出函数的示意图(如图)，在上恰有一个零点；同理，在上恰有一个零点；，在上恰有一个零点；综上所述，函数的零点个数为3，即方程的解的个数为3.举一反三：【变式1】若方程在内有惟一解，求实数m的取值范围解析：原方程可变形为：，即设曲线和直线，图象如图所示由图可知：当时，有惟一解； 当1lm4时，有惟一解m=1或一3mO，即实数m的取值范围为：。【变式2】已知函数，.若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围。解析：方法一：（）的图象是圆心为，半径的半圆，、的图象如下： 设圆心到直线距离为, 则直线与圆

6、相切时，解得，由上图知：当时，二者相交于两个公共点，当时，二者只有一个公共点，实数的取值范围：.类型三、用二分法求函数的零点的近似值例4.求函数的一个正数零点(精确到0.1).解：由于，可取区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值1，21.5-2.6251.5，21.750.23441.5，1.751.625-1.30271.625，1.751.6875-0.56181.6875，1.751.71875-0.1709由上表计算可知，区间1.6875，1.75的长度1.75-1.6875=0.06250时，f(x)lnxax(aR)，方程f(x)0在R上恰有5个不同

7、的实数解(1)求x0时，函数f(x)的解析式；(2)求实数a的取值范围解析：(1)设x0，f(x)是偶函数，f(x)f(x)ln(x)ax(x0时，f(x)的图像与x轴恰有两个不同的交点下面就x0时的情况讨论f(x)a，当a0，f(x)0，f(x)lnxax在(0，)上为增函数，故f(x)0在(0，)上不可能有两个实根a0时，令f(x)0，x.当0x0，f(x)递增，当x时，f(x)0，即lna0)，则t2mt10.当0时，即m240，m2时，t1；m2时，t1不合题意，舍去，2x1，x0符合题意当0，即m2或m2时，t2mt10有两正根或两负根，f(x)有两个零点或无零点不合题意这种情况不可能综上可知：m2时，f(x)有唯一零点，该零点为x0.