2022高三总复习教案导数的综合应用.doc

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1、导数的综合应用【考纲要求】1.了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数；2.理解可导函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；3.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求给定函数的极大值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值；4提高应用知识解决实际问题的能力。【知识网络】 导数的应用极值与最值问题函数的单调性问题切线斜率、方程【考点梳理】【高清课堂：导数的应用（理）394572 知识要点】考点一、求切线方程的一般方法（1）求出函数在处的导数；（2）利用直线的点斜式得切线方程。要点诠释：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若

2、在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程. 考点二、判定函数的单调性（1）函数的单调性与其导数的关系设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。要点诠释：在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常

3、数函数。要关注导函数图象与原函数图象间关系。（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤确定函数f(x)的定义域；求导数；在定义域内解不等式；确定f(x)的单调区间。要点诠释：函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。考点三、函数的极值（1）极值的概念一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的个极小值，记作y极小值=f(x0)。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值

4、的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。要点诠释：在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区

5、间的端点。连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。（2）求极值的步骤确定函数的定义域；求导数；求方程的根；检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根

6、处取得极小值。 (最好通过列表法)要点诠释：函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f(x)的符号产生变化。考点四、函数的最值函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间a,b上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。（1）最值与极值的区别与联系： 函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是

7、比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个； 极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。（2）在区间a，b上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤求函数y=f(x)在(a，b)内的导数求函数y=f(x)在(a，b)内的极值将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。要点诠释：函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x

8、)在闭区间a,b上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。【典型例题】类型一：函数的切线问题例1.求曲线的分别满足下列条件的切线： （1）在点的切线；（2）过点的切线；【解析】（1）时，在点的切线的切线的斜率，在点的切线为，即.（2）当切点为点时，切线为 当切点不是点时，设切点为，则， 解得或（舍去）切点为的切线为，即，故过点的切线为或.举一反三：【变式1】已知曲线，曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点的切

9、线方程。【解析】， 令，得x=4, 将x=4代入中得y=5 切点坐标是(4,5)， 切线方程为：. 即：x-2y+6=0。【变式2】设函数的图象与直线相切于点（1，11）,求a，b的值.【解析】的图象与直线相切于点（1，11）.，即解之得a=1，b=3.类型二：函数单调性问题例2已知aR，求函数的单调区间.【解析】.（1）当a=0时，若x0，则；若x0，则.所以，当a=0时，函数在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（2）当a0时，由2x+ax20，解得或x0；由2x+ax20，解得.所以，当a0时，函数在区间内为增函数，在区间内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（3）当a

10、0时，由2x+ax20，解得；由2x+ax20，解得x0或.所以，当a0时，函数在区间（，0）内为减函数，在区间内为增函数，在区间内为减函数.举一反三：【变式1】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.【解析】（1）当时，则恒成立，此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；（2）当时，当时，函数有三个单调区间，增区间为：；减区间为：，.【变式2】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-lf(x), 试问：是否存在实数l，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.【解析】假设存在实数l满足题设. F(x)=

11、g(x)-lf(x)=(x4+2x2+2)-l(x2+1)=x4-(l-2)x2+(2-l), F(x)=4x3-2(l-2)x,令4x3-2(l-2)x=0, （1）若l2，则x=0. 当x(-,0)时，F(x)0. F(x)在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增，显然不符合题设. （2）若l2，则x=0或， 当时，F(x)0；当时，F(x)0.F(x)的单调增区间是，单调减区间是，. 要使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，则，即l=4. 故存在实数l=4，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.类型三：函数的极值问题例3. 已知函

12、数在处取得极值，求函数以及的极大值和极小值.【解析】依题意，即，令，得x=-1或x=1，当x变化时，与的变化情况如下表：1(1，+)+00+极大值极小值在处取得极大值，在处取得极小值.【总结升华】利用“在处取得极值，则必有导数”是本题的破题关键.举一反三：【变式1】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.【解析】 依题意得方程组 解得. 当a=-3,b=3时，令得x=1.x(-,1)1(1,+)+0+无极值 显然a=-3, b=3不合题意，舍去. 当a=4, b=-11时，f(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11) 令得或 x=1.x1（1，+

13、）+0-0+极大值极小值 f(x)在x=1处有极小值10，合题意，a=4, b=-11.【变式2】已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.（1）求常数的值；（2）求的极值.【解析】，令得方程 在处取得极值 或为上述方程的根， ，即 当时，（不符合题意）当时，当x变化时，与的变化情况如下表：1(1，+)+00+极大值极小值 在处取得极大值，在处取得极小值. 由题意得， 整理得，又联立，解得，由表知道：，当时，当x变化时，与的变化情况如下表： 当x变化时，与的变化情况如下表：1(1，+)-0+0-极小值极大值 在处取得极小值，在处取得极大值. 由题意得， 整理得，又联立，解得，综上

14、可得：（），或，（）当，时，当，时，类型四：函数的最值问题【高清课堂：导数的应用（理）394572 典型例题一】例4.已知函数 （1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求的值； （2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值。【解析】（1），由题意：（2）令令令令+0-0+极大极小所以函数的单调增区间是，单调减区间是结合函数单调性的草图知：当即时，在上单调增，当即时，在上单调增，在上单调减，当即时，由题意得，则综上，当时，当时，.举一反三：【变式1】求函数f(x)=3x-x3在闭区间的最大值和最小值.【解析】f(x)=3-3x2, 令f(x)=0,则x=-1或x=1. 又

15、 f(-1)=-2, f(1)=2, , f(x)max=2, f(x)min=-18.【变式2】f(x)=x3-3x2+2在区间-1,1上的最大值是（ ）(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4【解析】f(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f(x)=0可得x0或2（2舍去）。又f(-1)=-2；f(1)=0；f(0)=2；所以当x0时，f(x)取得最大值为2，选C例5.设函数f(x)=ax3+bx+c(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数的最小值为-12()求a,b,c的值；()求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在-1,3上的最大

16、值和最小值.【解析】()f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c，c=0的最小值为-12，b=-12且又直线x-6y-7=0的斜率为因此，a=2,a=2,b=-12,c=0()f(x)=2x3-12x，列表如下：x+0-0+极大极小所以函数f(x)的单调增区间是f(-1)=10， ， f(3)=18f(x)在-1,3上的最大值是f(3)=18，最小值是举一反三：【变式1】已知，函数在-1，1上有最大值1，最小值，求常数a,b的值.【解析】f(x)=3x2-3ax=3x(x-a). 令f(x)=0得x=0或x=a.x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)

17、1+0-0+极大值b极小值 函数f(x)最大值只可能在x=0或x=1处获得。 由 ， ， ， f(0)-f(1)0, 即f(0)=b是f(x)最大值b=1 函数f(x)最小值只可能在x=-1或x=a处获得. ，a-20. f(a)-f(-1)0，即是最小值， ，综上，b=1.【变式2】已知函数f(x)=ax3+x2+1，若f(x)在（0，1）上是增函数，求实数a的取值范围.【解析】f(x)=3ax2+2x，f(x)在（0，1）上是增函数，x（0，1）时，f(x)=3ax2+2x0恒成立，即对x（0，1）恒成立，在（0，1）上单调增，x=1时，【变式3】已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。【解析】（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由f（），f（1）32ab0得a，b2f（x）3x2x2（3x2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，）f（x）00f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）与（1，），递减区间是（，1）（2）f（x）x3x22xc，x1，2，当x时，f（x）c为极大值，而f（2）2c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）f（2）2c，解得c2。