高三数学-第3讲 数列与不等式 教师版.doc

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1、第3讲 数列与不等式教师备案一、总体架构安排 1总体说明数列在北京高考中有简单题与难题两类，不等式常常作为工具与其它知识结合考查数列的简单题考查等差与等比数列的基本量、性质与求和，是一轮复习的重点难题多以新的递推形式、数列的新定义性质等方式出现，有时会与不等式、函数等内容综合，这是二轮复习的重点不等式的直接考查多是均值不等式及线性规划问题，基础的题型已经在一轮复习时进行总结，这里主要解决应用类型的均值和恒成立的转化问题、函数与不等式结合的问题等 本讲例题安排：例题考查点例1等差数列与等比数列的综合考查例2数列的递推与求和例3数列与其它知识综合例4数列非常规题例5不等式综合小题例6数列与不等式综

2、合的解答题 2时间安排本讲难度适中，建议课时3小时二、一轮、二轮、三轮复习衔接一轮复习时，我们用6讲来复习本块知识数列部分详细梳理了等差与等比数列的基本量、性质与证明、数列的递推求通项与数列的求和方法；不等式部分梳理了不等式的性质、解不等式、均值不等式，线性规划，不等式证明的各种方法，以及数列与不等式综合中的简单恒成立问题二轮复习以数列的创新小题、数列与其它知识的综合问题、不等式的恒成立转化问题为重点，通过这些较综合的问题更加深入理解数列与不等式，也让学生提前感受一下数列创新题的解决思路，为三轮复习作准备三轮复习中的数列与不等式问题只在快速解决选择填空与创新小题两讲中个别涉及，在创新大题一讲中

3、涉及到一些与数列与不等式相关的压轴题类型，不再系统地复习数列与不等式知识回顾 本版块分为两部分，数列部分主要回顾等差数列与等比数列的基本量、性质与求和；不等式部分回顾了不等式的性质、解不等式与常规均值不等式建议时间20分钟，星级表示难度，星星越多，难度越高建议尖子班讲一星、二星的问题为主，目标班着重讲三星的问题一、数列1 （）小题快练：（2012广东文12）若等比数列满足，则_（2012江西12）设数列，都是等差数列，若，则_（2012石景山高三期末12）已知等差数列的前项和为，若，则_（2012海淀高三期末3）若数列满足：，则数列的前项和数值最大时，的值为_ （2012东城高三期末12）在等

4、差数列中，若，则数列的公差等于 ；其前项和的最大值为 （2012石景山一模文10）等差数列前9项的和等于前4项的和若，则k =_（2012全国卷5）已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为_（2012海淀一模2）在等比数列中，则_ （2012东城一模6）已知，若，成等比数列，则的值为_（2012新课标5）已知为等比数列，则_【解析】 ；2. （）（2012顺义一模6）设等差数列的前项和为，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】 A；3. （）（2012丰台一模10）已知等比数列的首项为1，若成等差数列，则数列 的前项和为_【解析】 ；4.

5、 （）（2012辽宁14）已知等比数列为递增数列，且，则数列的通项公式_【解析】 ； 5（）在等差数列中，其前项的和为若，则（ ）A B C D【解析】 B；二、不等式1（）（2012江西文11）不等式的解集是_【解析】 2（）已知为实数，且则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】 B；3（）（2011浙江理7）若、为实数，则“”是“或”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】 A；4（）（2012福建5）下列不等式一定成立的是（ ）ABCD【解析】 C；5（）已知，则的最小值是（）A3

6、B4 C D【解析】 B知识纵横 该版块列出了数列与不等式的知识点网络体系，可以作为学生对自己的知识体系与基本方法掌握程度的检验数列部分的重点是等差数列与等比数列的性质与求和；不等式部分的重点是一元二次不等式补充一个知识点如下：【补充】从函数角度看等差数列的通项公式与前项和公式（只考虑），是关于的一次函数，一次项系数为公差，数列一定单调增加或单调减少；，是关于的二次函数，且常数项为零，二次项系数是时，有最小值；时，有最大值是等差数列，公差为例：等差数列中，问_，有最大值解：由，知，对应的图象的对称轴为，故为最大值概念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法：anf (n)通项公式图象法列表法递推

7、公式等差数列通项公式求和公式性质判断ana1(n1)dana1qn-1anamaparanamapar前n项和Sn前n项积(an0)Tn常见递推类型及方法an+1anf (n)f (n)an+1panqpan+1ananan+1an +1panqn等比数列an0，q0Sn公式法：应用等差、等比数列的前n项和公式分组求和法倒序相加法裂项相消法错位相减法常见求和方法不等式不等式的性质一元二次不等式简单的线性规划基本不等式：（a0,b0）数列是特殊的函数借助二次函数的图象三个二次的关系可行域目标函数一次函数：zaxbyz ：构造斜率z：构造距离应用题几何意义：z是直线axbyz0在x轴上截距的a倍，

8、y轴上截距的b倍.最值问题变形和定值，积最大；积定值，和最小.应用时注意：一正二定三相等例题精讲考点：等差数列与等比数列 等差数列与等比数列的最基本的性质在知识回顾中已经复习过了，例1的对等差等比数列的基本量与性质的考查形式更加灵活，综合性更强，难度也较大，希望通过这些问题更好地理解等差数列与等比数列的基本量与性质尖子班学案1【铺1】 在等差数列中，设为其前项和，已知，则等于（ ）ABCD（2012北京文6）已知为等比数列下面结论中正确的是（）AB C若，则D若，则【解析】 A； B 【例1】 （2010西城二模文7）等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）ABCD 等差数列的前项和为

9、，且，若存在自然数，使得，则当 时，与的大小关系是（ ）AB CD 在数列中，对任意，都有（k为常数），则称为“等差比数列”下面对“等差比数列”的判断：不可能为；等差数列一定是等差比数列；等比数列一定是等差比数列；通项公式为的数列一定是等差比数列，其中正确的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【解析】 C； A； B目标班学案1【拓2】 （2010石景山一模文14）在数列中，若，（，为常数），则称为“等方差数列”下列是对“等方差数列”的判断：若是等方差数列，则是等差数列；是等方差数列；若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列；若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列其中正确命题序号为

10、 （将所有正确的命题序号填在横线上）【解析】 ；由定义可知，是公差为的等差数列，正确；为常数，故是等方差数列，正确；若，则为常数，对；设公差为，则，结合，两式相减可得，故是常数列，对考点：数列的递推与求和 北京对数列递推与求和的要求都不太高，递推一般掌握叠加法与叠乘法，以及简单的归纳推理就可以了；求和多是考查等差等比数列的求和与裂项求和有时填空题与解答题中的创新题也会与数列递推相关，这时对递推的要求较高，如这里的第小题，更多的与数列相关的创新题会在三轮复习的创新题讲次中讲解尖子班学案2【铺1】 已知数列满足，且，则_；并归纳出数列的通项公式_【解析】 ，；【例2】 （2012大纲卷文6）已知数

11、列的前项和为，则（ ）ABCD（2012新课标文12）数列满足,则的前项和为（ ）A B C D（2012朝阳二模文14）在如图所示的数表中，第行第列的数记为，且满足，则此数表中的第2行第7列的数是 ；记第3行的数3，5，8，13，22，为数列，则数列的通项公式为 【解析】 B； D ，； 考点：数列与其它知识结合 数列是一种特殊的函数，数列的递推形式可以由函数给出，也还可以用函数的性质去研究数列的单调性、周期性等性质，数列与其它知识的综合多是与函数的性质以及不等式等知识结合【例3】 （2012福建文11）数列的通项公式，其前项和为，则等于（）AB CD（2012湖北文7）定义在上的函数，如果

12、对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”现有定义在上的如下函数：；则其中是“保等比数列函数”的的序号为（）ABCD（2012上海文14）已知各项均为正数的数列满足，若，则的值是_【解析】 A C ；目标班学案2【拓2】 （2012四川文12）设函数，是公差不为0的等差数列，则（）ABCD【解析】 D考点：数列非常规题型 数列有时会以创新题形式出现，涉及到新定义数列、数列的新定义性质等等内容，形式比较灵活，解决方式不确定，需要我们应用已经学过的知识，探索问题的本质，将不熟悉的数列转化成熟悉的内容，再寻找解决办法，难度较大三轮复习我们会更深入地探究数列相关的创新小题尖子班学案

13、3【铺1】 （2012东城一模文14） 已知数列，若中有且只有个不同的数字，则的不同取值共有_个【解析】【例4】 已知数列满足：定义：使为整数的值叫“理想数”，则区间内所有“理想数”的和是 已知等比数列中，则其前项的和的取值范围是（ ）ABCD（2011西城一模文14）已知数列的各项均为正整数，为其前项和，对于，有，当时，的最小值为_；当时，_【解析】 ； D； 5；910；目标班学案3【拓2】 （2012师大附文科）已知数列的通项公式为，那么满足的正整数_【解析】 2或5考点：不等式综合问题 不等式的单纯考查常涉及线性规划问题，其它时候多是与其它知识结合，比如与函数结合，考查一元二次不等式的

14、问题，这是一个难点与热点，如例5与备选（考虑到很多老师可能讲过，所以作为备选题供选讲）不等式的考查还常常涉及到恒成立的转化与理解，以及均值不等式在求范围与最值问题时的应用二轮复习立足于知识的综合应用，这里选的题综合性较强，难度较大【例5】 （2012陕西文10）小王从甲地到乙地往返的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则（）A B C D（2012东城期末文14）在平面内，已知直线，点是之间的定点，点到，的距离分别为和，点是上的一个动点，若，且与交于点，则面积的最小值为_（2011东城一模文14）设不等式组在直角坐标系中所表示的区域的面积为，则当时，的最小值为（2012浙江17）设，若时均有

15、，则_【解析】 A ； ；尖子班学案4【拓1】 （2012西城期末文14）设，不等式组所表示的平面区域是给出下列三个结论： 当时，的面积为； ，使是直角三角形区域； 设点，对于有其中，所有正确结论的序号是_【解析】 【备选】 （2012北京文14）已知，若，或，则的取值范围是_【解析】考点：数列与不等式综合 虽然北京高考最后一题一般都是新定义的创新题，但数列与不等式综合的解答题在平时的考试与模拟考试中都可能考到，而且其中用到的知识与方法在小题中也会使用，是与数列的单调性、不等式放缩、恒成立的转化相关，这里选了一道这样的有代表性的问题【例6】 （2012丰台一模文20）设数列的前项和为，且数列满

16、足， 求数列的通项公式； 证明：数列为等差数列，并求的通项公式； 设数列的前项和为，是否存在常数，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】 当时 ；当时 ，适合通项公式 ，即 数列是首项为=1，公差为2的等差数列 ， 存在常数使得不等式恒成立 由得：， 化简得 又=，当为奇数时， 即而当=1时，取最大值为 ，只需；当为偶数时，当=2时，的最小值为，所以只需；由可知存在，使得不等式恒成立【备选】已知数列的前项和，数列的前项和 求数列与的通项公式； 设，证明：当且仅当时， 求证：对所有恒成立【解析】 对于，有满足，综上，的通项公式将代入，得，故（求方法一）对于，由，两

17、式相减得得，即，故是首项为，公比为的等比数列，（求方法二）对于，由得， 法一：作商；由，得当且仅当时，即法二：作差；由，得当且仅当时，即 是首项为，公比为的等比数列，故又，故，于是，故对所有正整数恒成立头脑风暴（2011西城一模文8）某次测试成绩满分为150分，设名学生的得分分别为（，），（）为名学生中得分至少为分的人数记为名学生的平均成绩则（ ）A BC D【解析】 A；记这名学生中得分为分的人数为，则，且由题意知，于是这名学生的得分总和可以用两种方法计算，一是将每名同学的得分直接相加，即另一种方法是先将同学按分数分类，然后每个分数的人数乘以此分数，即从而故A正确实战演练【演练1】 设等比数

18、列的首项为，公比为，则“且”是“对于任意都有”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【解析】 A；【演练2】 若，则成立的一个充分不必要条件是（ ）A B C D【解析】 A【演练3】 （2012昌平二模文6） 爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为，下山的速度为（），乙上下山的速度都是（甲、乙两人中途不停歇），则甲、乙两人上下山所用的时间的关系为（ ）A B C D 不能确定【解析】 A【演练4】 等比数列中，前项和为，满足的最小自然数为 【解析】 ；【演练5】 （2012房山期末文20）已知数列中，且满足， 求数列的通项公式； 设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立【解析】 ，即数列是以2为首项，1为公差的等差数列， ，要使恒成立，只要恒成立，恒成立，恒成立当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1，当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值， ，又为非零整数，综上所述，存在，使得对任意，都有大千世界（2011年华约自主招生数学试卷）已知函数， . 若不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】 ，则，即，即若，则不满足不等式恒成立，则，所以，即恒成立，所以，即得