高三数学-秋季文科 第12讲 解析几何解答题点拨 教师版.删解析.doc

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1、解析几何解答题点拨第12讲 知识结构图知识梳理1在直角坐标系中，点，则2当不共线的时候，为直角；为锐角；为钝角3向量与共线存在，使得，即 4若直线过定点，我们一般设直线方程为，特殊地，当直线过轴上的定点时，我们一般设直线方程为，注意此时斜率为的直线需单独讨论；5直线被圆锥曲线所截得的弦的垂直平分线方程为，注意垂直平分线的两种关系：垂直，过中点；6点在以为直径的圆周上，以为直径的圆与直线相切中点到直线的距离等于长的一半经典精讲圆锥曲线综合：这一讲是圆锥曲线的大题综合众所周知，圆锥曲线一直是高中数学里面的重难点和易错点圆锥曲线的难点，在于两方面： 计算准确性； 转化的思路，尤其是关键条件的解读与核

2、心条件的转化相对来说，后者可能更加重要：思路是第一位的，如果解题时没有良好清晰的思路，单纯的认为圆锥曲线只是算，那么很容易陷入盲目计算的误区下面我们就结合一些比较常见的问题类型来说明圆锥曲线问题中的关键条件解读与转化，这也是本讲的主旨解析几何的实质，是几何问题的代数化：用代数方法来解决几何问题那么，拿到一个解析几何题目时候，既要明白题干中的几何条件，怎么转化成代数条件，也要明白代数条件，怎么转化成几何条件我们把一些常见的问题类型的通常转化方式列成了下表：解析几何中的考查问题平面几何中的度量涉及到的代数运算坐标与长度长度两点间距离公式；弦长公式；向量之加法与数乘点的位置关系（角度与长度）坐标运算

3、向量内积的坐标运算内积坐标运算公式向量内积的定义角度内积坐标运算公式位置关系判断距离与角度点到直线距离公式第一列是实际问题中的考查形式；第二列是牵涉到的平面度量转化；第三列是需要用到的代数运算实际问题中的考查形式是很多变的，但是牵涉到的平面度量转化实际上非常有限，充其量就是长度、角度、距离三种；例如点在以为直径的圆上，实际上就是说考查形式千变万化，但只要抓住其涉及的平面度量，就能抓住问题的实质，明白如何去合理的转化接下来，我们结合具体的例题来说明这些考查形式是如何进行典型转化的【备注】本讲难度与计算量偏大，如果班上学生程度较好，本讲可以讲一讲半的时间，下两讲复数、算法与推理证明、概率与统计相对

4、比较简单，可以压缩一下时间，作个均衡与调整尖子班学案1【铺1】 已知直线与椭圆交于不同的两点和，为坐标原点，若，则_【解析】考点：向量处理角度问题【例1】 设，分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为，且点在该椭圆上 求椭圆的方程； 设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：为钝角三角形【解析】 椭圆方程为 由知：，依题意知直线斜率存在且不为，设直线的方程为：则点坐标为由，消去得所以点的纵坐标，则所以点坐标为从而，所以又三点不共线，所以为钝角所以为钝角三角形【点评】 两直线夹角公式的知识点不再作要求以后，涉及到平面几何中的角度问题（包括立体几何也是），解析几何中只有一种工具

5、来处理，这就是利用向量内积的定义：（余弦定理与其等价）本题中要证明为钝角三角形，实质上就是要在平面几何中证明某两条边所夹的角为钝角，也就是在解析几何中证明这两条边构成的向量的内积为负具体是哪两条边可以通过观察法和特殊值法先判断考点：向量内积的坐标运算【例2】 （2012海淀二模文19）已知椭圆：（）的右焦点为，且点在椭圆上 求椭圆的标准方程； 已知点，动直线过点，且直线与椭圆交于、两点，证明：为定值【解析】 椭圆的标准方程为 当直线的斜率为0时，则 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：，由可得：显然，所以综上：即为定值目标班学案1【拓2】 （2010崇文二模文19）已知椭圆的中心在原点，焦点

6、在轴上，经过点且离心率过定点的直线与椭圆相交于，两点 求椭圆的方程； 在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 椭圆的方程为 设，当直线斜率不为时，设直线的方程为，于是，而因为是与无关的常数，所以，即即此时，当直线斜率为时，则点，的坐标分别为，当时，亦有综上，在轴上存在定点，使为常数尖子班学案2【铺1】 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个顶点，线段的延长线交椭圆于点，且，则的离心率为_【解析】考点：向量共线问题【例3】 （2012年丰台二模文19）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，焦距为，是椭圆上一动点，的面积最大值为 求椭圆的标准方程；

7、 过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，若，求证：为定值【解析】 椭圆方程为 依题意，直线斜率存在，若直线的斜率为，则，于是有，于是当斜率不为时，设直线方程为：， 则点，点，且，则，同理可得，所以联立 消得 显然，且，即所以综上：即为定值考点：相关直线斜率问题【例4】 （2012朝阳一模文19）已知椭圆的两个焦点分别为，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直 求椭圆的方程； 过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，求证：为定值【解析】 椭圆的方程为 当直线的斜率为时，得，则当直线的斜率不为时，设直线的方程为：依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，所以 把直线方程代入整理化简，得 则（

8、或，直接代入） 即综上得为常数2 尖子班学案3【铺1】 （2011昌平二模文19）已知椭圆的左焦点为，离心率为，过点的直线与椭圆交于、两点 求椭圆的方程； 设过点不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围【解析】 椭圆的方程为 点横坐标的取值范围为考点：中垂线问题【例5】 （2012朝阳二模文19）在平面直角坐标系中，点到两点，的距离之和为，设点的轨迹为曲线 写出的方程； 设过点的斜率为（）的直线与曲线交于不同的两点，点在 轴上，且，求点纵坐标的取值范围【解析】 的方程为 点纵坐标的取值范围是目标班学案2【拓2】 （2012年西城一模文）已知椭圆：（）

9、的离心率为，一个焦点为 求椭圆的方程； 设直线：交椭圆于、两点，若点、都在以点为圆心的圆上，求的值【解析】 椭圆方程为； 尖子班学案4【铺1】 直线与抛物线交于、两点，设以为直径的圆为圆，则坐标原点在_（圆上，圆内还是圆外）【解析】 圆上考点：位置关系的判断【例6】 （2011朝阳一模文19）已知，为椭圆的左右顶点，为其右焦点 求椭圆的标准方程及离心率； 过点的直线与椭圆的另一个交点为（不同于，），与椭圆在点处的切线交于点当直线绕点转动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明【解析】 椭圆的方程为，离心率为 以为直径的圆与直线相切证明如下：由题意可设直线的方程为，则点坐标为，中点的坐

10、标为由消去得所以点的纵坐标为，设直线方程为，则，所以直线方程为点到直线的距离又因为 所以故以为直径的圆与直线相切【点评】 判断以为直径的圆与直线的位置关系，本质即判断圆心到直线的距离与半径的大小目标班学案3【拓2】（2011丰台一模文18）已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点 求椭圆的方程； 直线与椭圆相交于，两点，在上存在一点，上存在一点，使得，若原点在以为直径的圆上，求直线斜率的值【解析】 椭圆的方程为 【点评】 实际上是说是的中位线；原点在以为直径的圆上实际上是说，即这时候如用斜率乘积为判断垂直必须讨论斜率不存在的情形，所以用内积为来判断更加简洁考点：相交直线过对称点

11、问题【例7】 （2012东城一模文19）已知椭圆：（）过点，且离心率为 求椭圆的方程； 、为椭圆的左、右顶点，直线：与轴交于点，点是椭圆上异于、的动点，直线、分别交直线于、两点证明：恒为定值【解析】 椭圆方程为； 设点，则由点在椭圆上有直线：，：，于是为定值【点评】当椭圆的两条相交弦一个端点重合，另一个端点关于原点对称时，我们的处理办法一般是设交点的坐标，进而通过对称的形式去处理斜率的问题事实上，如右图，点，在椭圆上，点为椭圆上一点（保证直线，斜率存在），即有， ，而由得，即（2010西城一模文18）椭圆的离心率为，且过点 求椭圆的方程； 设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求的

12、值【解析】 椭圆的方程为 的值为和【点评】 直角三角形意味着有两条边垂直，具体是哪两条边垂直，一定要分情形讨论，不然会造成漏解真题再现（2008北京文19） 已知的顶点在椭圆上，在直线上，且 当边通过坐标原点时，求的长及的面积； 当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程【解析】 所在直线的方程为实战演练【演练1】已知两点，若抛物线上存在点使为等边三角形，则_【解析】 或【演练2】已知是焦点在轴上的双曲线的右焦点，是虚轴的一个端点，线段交于点，且，则的离心率为 【解析】【演练3】已知抛物线，直线交抛物线于、两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点， 证明：抛物线在点处的切线与平行； 是否存在实

13、数，使得若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解析】 依题意知，由得，设，则，对求导得，由此知，抛物线在点处的切线的斜率因此，抛物线在点处的切线与直线平行 假设存在实数，使得，则由是线段的中点，；由轴，知；又 解得或（舍去）存在实数，使得【演练4】设、分别是椭圆的左、右焦点 是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； 过定点的直线与椭圆交于不同两点、，且为钝角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围【解析】 有最小值为，有最大值为 直线的斜率的取值范围或【演练5】（2012北京房山一模文19）已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上，平行于（为坐标原点）的直线交椭圆于两点，在轴上的截距为 求椭圆的方程； 求的取值范围； 设直线的斜率分别为，那么+是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由【解析】 椭圆方程为 的取值范围是 是定值，大千世界（2009清华自主招生考试）已知椭圆，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于，与轴交于，过原点与平行的直线与椭圆交于求证：、成等比数列【解析】 由题可知直线的斜率存在且不为0，设直线的解析式为，则点为联立消去可得：，；联立消去可得：而，