高三数学-第9讲.圆锥曲线基本量与性质巩固、曲线与方程.尖子.删解析 (1).doc

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1、圆锥曲线基本量与性质巩固、曲线与方程第9讲 知识结构图知识梳理曲线椭圆双曲线抛物线定义到两个定点的距离和为定值（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹焦距到两个定点的距离差的绝对值为定值（小于两定点间的距离）的点的轨迹焦距到一个定点的距离等于到一条定直线的距离的点的轨迹标准方程（最常见形式）曲线范围，或对称性轴，轴；原点轴，轴；原点轴顶点与轴长顶点四个长轴长；短轴长顶点两个实轴长；虚轴长顶点一个无轴长焦点，准线渐近线准线不要求无渐近线准线不要求渐近线准线，无渐近线离心率椭圆越扁双曲线开口越大真题再现若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )ABCD【解析】B小题热身1双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，

2、则等于()ABC4D【解析】A；2设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于、两点，且点恰为的中点，则 .【解析】；3若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为( )A2B3C6D8【解析】C；4已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于()ABCD【解析】B；9.1圆锥曲线基本量综合暑期知识回顾1设点是椭圆（）上的动点，是椭圆的左右焦点，轴，点在第一象限，那么点坐标为 【解析】；可拓展到双曲线和抛物线，有类似结论2双曲线的渐近线有重要性质：双曲线的焦点到渐近线的距离为_，顶点到渐近线的距离为 【解析】；3如图把椭圆的长轴分成8份，过每个分点作轴的垂

3、线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_【解析】；4一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（ ）ABCD【解析】B；5已知点，是椭圆的左焦点，是椭圆上的任意一点，则的最小值为 【解析】；经典精讲考点1：椭圆的基本量综合【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：过点且与椭圆有相同焦点；长轴与短轴长之和为20，焦距为；以边长为4的正的顶点、为焦点，经过顶点已知椭圆的焦点为，为椭圆上一动点，求如图所示，椭圆中心在原点，是左焦点，直线与交于，且，则椭圆的离心率为( )A B C D【解析】 或者或者 ； B；【设计意图】复习椭圆的基本性质；焦点三角形面积公式；椭圆离心率的

4、综合题目【拓展】设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点到直线的距离为证明：【解析】由题设及，不妨设点，其中由于点在椭圆上，有，即解得，从而得到在三角形中由面积相等得，该题也可求解直线的方程，利用点到该直线的距离求解，运算较繁也可利用三角形相似求解，有关焦点三角形的问题，要增强解三角形的意识【拓展】（2012年四川卷）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，当 的周长最大时，的面积是 .【解析】；【拓展】在直线上任意取一点，经过点且以椭圆的焦点为焦点作椭圆，所作椭圆的长轴最短为 【分析】要使所作椭圆的长轴最短，当然想到椭圆的定义基本的解题思路如下：长轴最短三点一直线寻求对称对称变换在一系列的变

5、化过程中巧妙的运用对称，使我们找到一种简明的解题方法通过此对称性主要利用.【解析】考点2：双曲线的基本量综合【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程虚轴长为，离心率为；焦距为26，且经过点；与双曲线有公共渐近线，且经过点设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则( )A BCD如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【解析】 或 B D；【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.注意选项，直接排除AB【拓展】设是双曲线左支上的一点，、分别是双曲线的左、右焦点，则以为直径的圆与以双曲

6、线的实轴为直径的圆的位置关系是()A内切B外切C内切或外切D不相切【解析】A；考点3：抛物线的基本量综合【例3】根据下列条件求抛物线的标准方程抛物线的焦点是双曲线的左顶点；经过点；焦点在直线上；抛物线焦点在轴上，直线与抛物线交于点，已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（ ）A椭圆B双曲线C抛物线D以上都不对已知点，设点为抛物线上一点，求面积的最小值及取到最小值时点的坐标【解析】 或或为或 C；当时，面积有最小值【拓展】已知抛物线，动弦的长为2，求的中点纵坐标的最小值【分析1】要求中点纵坐标最小值，可求出的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到、是梯形的两底，这样使得中点纵坐标成为中位

7、线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解【分析2】要求中点的纵坐标的最小值，可列出关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值【答案】点纵坐标的最小值为【拓展】设是抛物线上的一个动点 求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值； 若，求的最小值【解析】 的最小值是【教师备案】（本内容中涉及过焦点的直线与抛物线相交所得焦点弦的问题）焦点弦的几条性质设直线过焦点与抛物线交于，则： 通径长： 焦点弦长 以为直径的圆与轴相切，为直径的圆与准线相切其它的性质：性质a.过抛物线上一点的切线方程是：【证明】对方程两边取导数：，是切线的斜率由点斜式方程：代入即得：性质b若是抛物线的焦点弦，且直线的倾斜角为，则

8、焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短【证明】 设，当直线的斜率存在时，设直线，由得，易验证，结论对斜率不存在时也成立 由：为通径时，的值最大，最小性质c设为抛物线的顶点，为抛物线的焦点且为过焦点的弦，若，则【解析】如图2，不妨设抛物线方程为，点、点图2则由抛物线定义知：又，则由得：，即又为过焦点的弦，所以，则所以，【点评】将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能由性质b、c可推出焦点三角形的面积公式也可以为：考点4：圆锥曲线相互间综合【例4】如下图，已知，图中的一系列圆是圆心分别为的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是利用

9、这两组同心圆可以画出以为焦点的双曲线，若其中经过点的双曲线的离心率分别记为，则它们的大小关系是_(用“”连接)若椭圆的左、右焦点分别为，线段被抛物线的焦点分为的两段，则此椭圆的离心率为（ ）ABCD已知、是两个定点，点是以和为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且，和分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则（ ）ABCD已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的交点，且轴，则双曲线的离心率为( )A B C D【解析】 C； C；9.2曲线与方程思想经典精讲考点5：轨迹方程的定量计算【教师备案】求动点轨迹方程的一般步骤： 建立适当的坐标系 设出要求轨迹点的坐标 列出方程 化简 检验是否有不满足条件

10、的点，或漏掉某些点【铺垫】直接法动点到定点的距离与到定直线：的距离的和为定值4求点的轨迹定义法：圆的性质直径所对的圆周角为直角类似的，对于椭圆能得到什么呢？设为椭圆的“直径”（过中心的弦），为椭圆上一点（异于）， 仍垂直吗？会有什么关系？代入法：若所求轨迹上的动点与另一个已知轨迹（曲线）上的动点存在着某种联系，则可以把点的坐标用点的坐标表示出来，然后代入曲线的方程中并化简，即得动点轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫做代入法（又称相关点法）.如图所示，已知是圆内的一点，是圆上两动点，且满足，求矩形的顶点的轨迹方程参数法：根据题设条件，用一个参数分别表示出动点的坐标和，或列出两个含同一个参数的动点的

11、坐标和之间的关系式，这样就间接地把和联系起来了，然后联立这两个等式并消去参数，即可得到动点的轨迹方程.这种求轨迹的方法称为参数法.过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦、，以、为邻边作矩形，如图，求点的轨迹方程【解析】设，则，又因为，所以：，即：的斜率之积为定值这种定义总结如下：，1如果，动点轨迹为不完整的双曲线2如果，动点轨迹为不完整的两条直线3如果，动点轨迹为不完整的椭圆4如果，动点轨迹为不完整的圆轨迹上都没有与的横坐标一样的所有点【例5】 直接法动点到两定点和的距离的比等于2（即），求动点的轨迹方程 定义法在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程

12、代入法点是椭圆上的动点，为定点，求线段的中点的轨迹方程 参数法过抛物线上一点作斜率为、的两条直线，分别交抛物线于异于点的两点，且满足若点满足，求点的轨迹方程【解析】 ，轨迹是以为圆心，4为半径的圆. 分析：题中涉及了三个点，其中为定点，而、为动点，且点的运动是有规律的，显然的运动是由的运动而引发的，可见、为相关点，故采用相关点法求动点的轨迹方程 （且）考点6：轨迹的定性分析【例6】有的习题只需要能够确定轨迹的基本形状，不需要准确求出轨迹的方程，或者有的题目根本就没有平面直角坐标系，解题时只需要判断形状即可已知定点和直线，那么到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹为( )A椭圆B双曲线C抛物

13、线D直线已知椭圆的焦点是是椭圆上的一个动点，如果是线段的中点，则动点 的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线中，为动点，为定点，且满足条件，则动点的轨迹方程是_若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为( )A圆B椭圆C双曲线D抛物线曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线过坐标原点；曲线关于坐标原点对称；若点在曲线上，则的面积不大于.其中，所有正确结论的序号是_.【解析】 D； B； (且)D；【拓展】如图，是平面的斜线段，为斜足若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是（ ）A圆B椭圆C一条直线D两条平行直线【解析】B；考点7：曲线与

14、方程综合【例7】曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于的点的轨迹，给出下列三个结论： 曲线关于轴对称； 若点在曲线上，则； 若点在曲线上，则.其中，所有正确结论的序号是_已知以为周期的函数，其中若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）ABCD【解析】 B；【拓展】方程的曲线即为函数的图象，对于函数，有如下结论：在上单调递减；函数不存在零点；函数的值域是；若函数和的图象关于原点对称，则函数的图象就是方程确定的曲线其中所有正确的命题序号是（ ）ABCD【解析】；【拓展】曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离之和为3的动点的轨迹. 则曲线与轴交点的坐标是 ；又已知点（为常数），那么的最小值=

15、【解析】；【教师备案】第二问比较困难，运算量比较大，会耽误时间较多，如无充分备课，可跳过【专题补充】（如有时间可以补充，体现教师对高考的研究水平，学生版不出现）性质1 若椭圆，分别为左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则以 为直径的与以长轴为直径的内切【解析】如图所示，在中，分别为，的中点，所以，又因为以 为直径的的半径为，的半径，所以又因为，所以，所以两圆内切性质2 若双曲线，分别为左、右焦点，则 当点为双曲线左支上任意一点时，以为直径的与以长轴为直径的外切； 当点为双曲线右支上任意一点时，以为直径的与以长轴为直径的内切【解析】证明同性质1类似，过程略课后习题【演练1】双曲线的左右焦点分别为，过焦点的直线与双曲线左支交于两点，若弦的长为4，则的周长为 【解析】28【演练2】已知点的抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为 【解析】【演练3】设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上满足，则的坐标为 【解析】