高三数学-第2讲 三角函数与平面向量 教师版.doc

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1、第2讲 三角函数与平面向量教师备案一、总体架构安排 1总体说明本讲内容在北京高考中考查的总体难度不大，知识点较多较细三角函数与平面向量在小题中的单纯考查通常都比较基本，与其它知识点的结合考查则比较灵活，有时会比较有难度常见的结合有它们之间的结合、三角函数与不等式或数列等的结合、平面向量在几何图形中的综合应用等，这是本讲的重点解答题中的考查一直处在第1题的位置，难度通常不大，我们主要放在三轮复习时进行总结，这里较少涉及 本讲例题安排：例题考查点例1三角恒等变换知识，三角公式的运用例2对三角函数的图象与性质的考查例3三角函数与数列综合的小题，三角函数的周期性例4解三角形的小题例5几何图形中的平面向

2、量问题，坐标法与数形结合例6平面向量非常规问题，与不等式、线性规划的综合 2时间安排本讲难度适中，建议课时3小时二、一轮、二轮、三轮复习衔接一轮复习时，我们用两讲来复习本块知识三角函数侧重于熟悉三角各种公式的应用，以及三角函数的图象变换及其性质；解三角形侧重于复习两个定理的基本应用；平面向量复习了基本概念、平面向量基本定理、数量积与坐标运算的知识，以及平面向量在几何图形中的简单应用题目的针对性强，知识点单一，综合性不强二轮复习以这部分知识的灵活应用、三角函数与平面向量的内部知识点综合以及这两块知识与其它知识点的综合为主，以选择填空题为主，由于这两块知识北京近年考查的题型比较单一，本讲外地题目稍

3、多，难度略高于北京高考，希望可以提升学生对这两块知识的综合应用的能力三轮复习在前三道解答题快速处理中涉及到三角函数的解答题的基本题型总结与方法归纳，在创新小题中涉及到一些相关的创新题的题型知识回顾 本版块分为两部分，三角部分涉及到特殊角的三角函数值、诱导公式、同角三角函数关系、三角恒等变换、三角函数的图象变换及性质向量部分涉及到向量的概念与坐标运算建议时间20分钟，星级表示难度，星星越多，难度较高建议尖子班讲一星、二星的问题为主，目标班着重讲三星的问题一、三角函数1 （）小题快练：求下列各式的值：；已知，则_；_已知，则_；_；_已知，则_；_；_已知为锐角，则_；_；_；_【解析】 ；，；，

4、；，2（）已知，则_；，_【解析】 ；3（）（2012海淀高三期末文6）函数（，）的部分图象如图所示，那么（ ）ABCD【解析】 C； 4（）（2012湖北11）设的内角，所对的边分别是，若，则角_【解析】 ；5（）函数的最小值等于（ ）ABCD【解析】 C；6（）（2011西城一模6）已知函数，则下列结论正确的是（ ）A两个函数的图象均关于点成中心对称图形B两个函数的图象均关于直线成轴对称图形C两个函数在区间上都是单调递增函数D两个函数的最小正周期相同【解析】 C；7（）（2011浙江6）若，则（ ）A B C D【解析】 C；二、平面向量1（）（2012西城高三期末3）已知向量，若实数与向

5、量满足，则可以是（ ）ABCD【解析】 D； 2（）（2012海淀高三期末2）如图，正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，那么（ ）ABCD【解析】 D3（）已知向量，则（ ）A B C5 D25【解析】 C； 4（）设是两个非零向量，下列说法正确的有_若，则；若，则；若，则存在实数，使得；若存在实数，使得，则；若，则；若，则【解析】 ；知识纵横 该板块列出了三角函数（包括解三角形）与平面向量的知识点网络体系，可以作为学生对自己的知识体系的检验三角函数与平面向量部分的公式与知识点较多，老师可以根据班上学员情况结合知识回顾有选择地进行讲解补充一个知识点如下：【补充】三角形各心的向量关系：已知

6、，角所对的边长分别为，三角形的外心：外接圆的圆心，三边中垂线的交点，满足；三角形的内心：内切圆的圆心，三个内角平分线的交点，满足；（证明：法一：由得：，即在的角平分线上，同理在与的角平分线上，故是内心法二：因为分别为方向上的单位向量，所以向量平分，设，从而，解得，于是，化简得：由角平分线定理+向量的定比分点公式可以较快得到的值）三角形的重心：三边中线的交点，垂心分中线比为，满足 （）三角形的垂心：三边高的交点，满足例：已知非零向量与满足且，则为（ ）A三边均不相等的三角形B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形答案：C；解析：的方向为的角平分线的方向，而，综上，为等腰非等边三角形角的概念

7、任意角的三角函数的定义同角三角函数的关系三角函数弧度制弧长公式、扇形面积公式三角函数线同角三角函数的关系诱导公式和角、差角公式二倍角公式公式的变形、逆用、“1”的替换化简、求值、证明（恒等变形）三角函数的 图 象定义域奇偶性单调性周期性最值 对称轴是（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直x轴的直线，对称中心是正余弦函数图象的零点正弦函数ysin x=余弦函数ycos x正切函数ytan xyAsin(wxj)b图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；图象也可以用五点作图法；用整体代换求单调区间（注意w的符号）；最小正周期T；对称轴过函数的最值点平

8、面向量概念线性运算基本定理加、减、数乘几何意义坐标表示数量积几何意义模共线与垂直共线（平行）垂直值域图象l （） x1y2x2y1=00 x1x2y1y2=0解三角形余弦定理面积正弦定理解的个数的讨论实际应用SahabsinC（其中p）(a+b+c)r（其中r为三角形的内切圆半径）投影在（）方向上的投影为|cosq非零向量与夹角q，则cosq对称性|夹角公式例题精讲 考点：三角公式的运用考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的公式、二倍角公式的综合应用，北京近年对三角公式运用的技巧性要求不高，掌握基本的公式应用与变形即可【例1】 （2012江西文9）已知，若，则（ ）A B C D

9、（2012江苏11）设为锐角，若，则的值为 在中，已知，给出以下四个论断，其中正确的是 【解析】 C； ； ；考点：三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质在考试中多以解答题形式出现，考虑到解答题放到三轮复习时再总结归纳，这里以小题为主，这些小题多有一定的综合性，与不等式或其它函数相结合考查备选是2012年北京高考题第15题，教师可以根据班上学生的情况选择讲解尖子班学案1【铺1】 （2012朝阳高三期末文7）已知函数，设，则，的大小关系是（ ）ABCD【解析】 B；【例2】 （2012东城高三期末6）如图所示，点是函数的图象的最高点，是该图象与轴的交点，若，则的值为（ ）AB C4 D8 （2

10、012新课标文9）已知，直线和都是函数 图象的两条相邻的对称轴，则（ ）ABCD （2011新课标11）设函数的最小正周期为，且，则（）A在单调递减 B在单调递减C在单调递增D在单调递增（2012海淀高三期末7）已知函数，那么下列命题中假命题是（ ）A既不是奇函数也不是偶函数B在上恰有一个零点C是周期函数D在上是增函数【解析】 B； A； A； B；目标班学案1【拓2】（2011西城二模文6）函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A B C D【解析】 B；【备选】（2012北京15）已知函数 求的定义域及最小正周期； 求的单调递增区间【解析】，的定义域为，最小正

11、周期为由得：，结合定义域知：的单调递增区间为（）与（）考点：三角函数与数列综合 三角函数的周期性的应用很多，这里的两道例题展现了三角函数周期性的一些应用，我们会在三轮复习的创新题中见到更多的三角函数的周期性相关的问题【例3】 （2012上海文18）若（），则在中，正数的个数是（ ）A16B72C86D100（2012上海18）设，在中，正数的个数是（ ）A25B50C75D100【解析】 C； D；考点：解三角形解三角形的问题是根据已知的三角形的边、角或边与角的关系得到三角形的其它边与角及其关系，关键是正确选择正弦定理与余弦定理对边与角进行互相转化，得到相关的结论，例题难度不大，取值范围与最值

12、的问题涉及到不等式的知识与三角函数的性质边角互化处理等式的问题我们放到三轮复习的解答题题型中总结尖子班学案2【铺1】 （2011浙江文5）在中，角所对的边分别为，若，则（ ）A B C D（2011福建文14）若的面积为，则边的长度等于_【解析】 D 【例4】 （2011新课标文15）中，则的面积为_（2012湖北文8）设的内角所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，则为（ ）A B C D（2011四川文8）在中,，则的取值范围为（ ）ABCD （2012陕西9）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）ABCD【解析】 D； C C；目标班学案2【拓2】 （2011新课标16

13、）在中，则的最大值为 【解析】 ；考点：几何图形中的平面向量问题几何图形中的平面向量问题可以从数形结合角度与坐标角度两个方面去思考解决，其中数形结合角度需要充分利用向量的线性运算及数量积的几何意义，如小题；坐标角度适用于方便建系的情况，如小题在不方便建系的时候，有时可以选择一组基向量去解决问题尖子班学案3【铺1】已知平面上不重合的四点，满足，且，那么实数的值为（ ）A B C D【解析】 B；【例5】 （2012湖南文15）如图，在平行四边形中 ，垂足为，且， 已知非零向量，满足，向量，的夹角为，且，则向量与的夹角为（ ）ABCD（2011东城二模文7）的外接圆的圆心为，半径为，若，且，则等于

14、（ ）A B C D（2012东城一模文13）已知中，于，则_（2012江苏9）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 【解析】 ； B； C； ；目标班学案3【拓2】 （2012天津文8）在中，设点满足，若，则（ ）ABCD2（2012上海文12）在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 【解析】 B； ；【备选】 （2012北京文13）已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为_【解析】 ；考点：平面向量非常规问题 平面向量有时会与其它知识结合，如三角函数、线性规划、不等式、解析几何等，这种结合多与数量积有关，其中与解析几何的结合我们在一轮

15、复习时复习过，主要涉及向量共线及角度的判断，这里不再提及与其它知识的结合这里选择了下面几道例题作代表【例6】 （2011新课标10）已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题： ： ：其中的真命题是（ ）A B C D 已知向量，且若满足不等式，则的取值范围为（）A B C D 已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的最大值为 （2012广东文10）对任意两个非零的平面向量和，定义若两个非零的平面向量满足与的夹角，且和都在集合中，则（ ）A B C D【解析】 A； D； ； D头脑风暴 第1题中的函数的单调性不容易得到，需要结合函数逐个分析函数的取值，或是借助于导数一段段分析函

16、数的单调性，这种方式不常采用，但对解决一些创新题有一定的启发；第2题是解三角形与均值不等式结合的问题，对恒等变换与变形技巧的要求都较高1（2011海淀二模14）已知函数，判断下列三个命题的真假： 是偶函数；当时，取得极小值 其中真命题有_；（写出所有真命题的序号）满足的正整数的最小值为_【解析】 的定义域为，且，故正确；令，故单调递减，从而当时，从而；当时，从而有正确；，故错误 ，即，整理得当时，上式即，不成立；当时，左边非负，右边非正，不可能成立；当时，上式即，不成立；当时，有，不等式成立故满足条件的最小正整数为也可利用的单调性得到一些结论：，时，有；时，有；时，仍然有故在上单调递减，从而当

17、时，不等式都不成立2（2012安徽15）设的内角所对边的长分别为，则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）若，则若，则若，则若，则若，则【解析】 ；，对于：，故，故；对于：，正确；对于：，故，即，故，正确；对于：，故，其中由不等式知固定时，越小越好，不妨取，知不正确；对于：与类似知，越小越好，不一定正确，不妨取，则，不正确事实上，故实战演练 【演练1】 已知向量，若，则 ； 【解析】 2；【演练2】 （2011东城一模文12）已知，那么_【解析】 ；【演练3】 （2011新课标文11）设函数，则（ ）A在上单调递增，其图象关于直线对称B在上单调递增，其图象关于直线对称C在上单调递减，其图

18、象关于直线对称D在上单调递减，其图象关于直线对称【解析】 D；【演练4】 （2012西城高三期末13）在中，三个内角，的对边分别为，若，则 ； 【解析】 ；【演练5】 （2011海淀一模文13）已知向量，其中，若，则的取值范围为_【解析】 ；【演练6】 （2011浙江文15）若平面向量满足，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是 【解析】 ；大千世界 1（2011“北约”4）在中，求证：【解析】 ，当且仅当时取到等号因为为三角形的内角，故2（2011“华约”11）已知不是直角三角形 证明：； 若且的倒数成等差数列，求的值【解析】 整理得； 由已知与比较知又而代入得由二倍角公式得，解得或，又，且，故，解得或