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1、函数与方程第9讲函数10级集合中的常用数学思想满分晋级 函数8级幂函数与复合函数初步函数9级函数与方程新课标剖析 当前形势函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查515分高考要求内容要求层次具体要求ABC函数的零点结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系北京高考解读2008年2009年2010年(新课标)2011年(新课标)2012年(新课标)第2题 5分第13题 5分第3题5分第13题5分第6题 5分第14题 5分第6题 5分第8题 5分第13题 5分第14题 5分9.1零点的个数在初中的时候我们学过二次函数如,我们也学
2、过一元二次方程如,这个一元二次方程和二次函数有什么关系呢?通过画二次函数的图象和解一元二次方程我们发现,一元二次方程的两个根就是二次函数图象与轴交点的横坐标.那我们把这两个根就叫做二次函数的零点,那到底零点的概念是什么呢?怎么样去求函数的零点呢?函数的零点与方程的根之间到底存在什么关系呢?下面我们就来具体看一下:知识点睛1.函数的零点:一般地,如果函数在实数处的值等于零,即,则叫做这个函数 的零点2.函数零点与方程根的关系根据函数零点的定义可知:函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图象与轴的交点的横坐标因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程是否有实数根,有几个实数根.【教师备
3、案】函数的零点是点吗? 分析函数零点的定义,并借助于具体的函数来认识.我们把使成立的实数叫做函数的零点,因此函数的零点不是点,是函数与轴的交点的横坐标,即零点是实数.当函数的自变量取这一实数时,其函数值为零.函数的零点实际上就是方程的实根,方程有几个实根,函数就有几个零点.例如,函数,仅有一个实根,所以函数 有一个零点,由此可见函数的零点是一个实数,而不是一个点.练习1:判断下列函数是否存在零点,若有,则求出零点;【解析】 当时,函数无零点;当时,函数的零点为函数的零点为函数的零点为 函数的零点为在上面的例中我们可以直接求出函数具体的零点,而且方程有几个根就有几个零点.但是有一些函数我们是求不
4、出具体的零点的!比如,求函数的零点.我们会发现如果令,即,这个方程我们是不会解的.但是我们根据,可以得到,在这个方程中,单纯的左边和单纯的右边我们是知道的,所以这种方程的根也可以理解为两个函数的交点,如图.虽然这种方程不能解出具体的根,但是通过图象我们可以看出根的个数,也就是零点的个数,我们管这种求函数零点个数的思想叫做数形结合.3.零点的个数 对于函数,求零点个数一般有以下几种方法:令,有几个实数根就有几个零点;将函数转化为,先画出的图象,然后找与图象的交点个数;将函数转化为,分别画出与的图象,看两图象交点的个数.【教师备案】一般求零点的个数都是由画图解决的.【教师备案】老师在讲完零点的概念
5、和求零点的个数问题之后就可以让学生做例1.例1主要考察直接求零点个数,例1可以解方程也可以用数形结合的思想解决,例1都是用数形结合的思想.做完例1之后,就可以让学生做例2前边的铺垫,老师可以给学生讲这个铺垫,然后再让学生自己做例2,例2是间接考察函数零点个数的问题,但其主要用的思想就是数形结合.经典精讲【例1】 (2010东城二模文5)函数的零点个数为( )A (2010福建理4文7)函数的零点个数为( )ABCD 方程的实数解的个数为 方程的实数解的个数为 【解析】 C C 【铺垫】如图,已知定义在上的函数的图象,若方程有三个不相等的实数根,求的取值范围【解析】【例2】 (北京市第八十中学2
6、010-2011学年度第一学期期中考试)函数,若方程有两个不相等的实数解,则的取值范围是_ 若函数(且)有两个零点,则实数的取值范围是 【解析】 ; 在上边我们已经讲了函数零点的个数,我们有时可以求出函数的零点,有时也可以采用数形结合的思想把零点的个数求出来.在我们不能求出函数具体零点的情况下,我们除了知道零点的个数以外,能否把零点所在的大概区间猜一下呢?若能,怎样猜呢?下面我们就来看一下零点所在的区间:9.2零点所在的区间知识点睛零点分析法:若函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即则在区间内,函数至少有一个零点零点分析法的几何意义:在闭区间上有连续曲线,且连
7、续曲线的始点与终点分别在轴的两侧,则此连续曲线至少与轴有一个交点零点的性质:相邻两个零点之间的所有函数值保持同号练习2:方程的解所在的区间为( )A B C D【解析】 ;令,因为,【教师备案】老师讲完零点所在的区间和上边的例之后,就可以让学生做例3,例3主要考察零点所在的区间经典精讲【例3】 (2010天津文4)函数的零点所在的一个区间是( )AB CD(2010宣武一模理4)设函数,则其零点所在的区间为( )A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)(2010上海理17)若是方程的解,则属于区间( )AB CD【解析】 C B C做完例3以后,这时学生就会判定零点所在的区间了,
8、但是他们只是机械地利用,对零点所在的区间并没有深刻的理解,所以,这时老师要给学生具体再解释一下零点所在的区间:若函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线:若则在区间内,函数至少有一个零点要注意这里可能不止有一个零点,如图:若,函数在上就一定没有零点吗?如图:若在上至少有一个零点,则不能说明,如中的图若在内有奇数个零点,则不一定有,如图:若在内有一个零点且函数单调,则【教师备案】学生对零点有更深刻的理解之后就可以让学生做例4和例5.例4主要是已知零点所在的区间求参数的取值范围.例5主要是根据函数的性质和零点能够更好的理解函数.【例4】 (北京市第十三中学2010-2011学年度高一第一学期期中)已知
9、函数在内存在一个零点,则实数的取值范围是( )ABC或D(2010宣武一模文6)设函数在区间内有零点,则实数的取值范围是( )A B C D【解析】 C【例5】 (2010浙江文9) 是函数的一个零点,若,则( )A BC D(2010山东理数)函数的图象大致是( )【解析】 B A【备选】 (2009福建卷文11)若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过,则可以是( )A BC D【解析】 A (北京35中2009-2010学年度高一第一学期期中)已知函数在区间单调,且函数的图象是连续不断的一条曲线,又,则函数在区间上( )A可能只有一个零点,也可能有多个零点B可能只有一个零点,也可能没有零点
10、C一定没有零点 D必有唯一零点已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线,且,则( )A在区间上有个零点 B在区间上零点个数是偶数个C在区间上零点个数可能为 D在区间上没有零点【解析】 D 9.3二次函数零点综合应用*初高衔接韦达定理在讲根的分布之前老师可以先给学生复习一下根与系数的关系(韦达定理),韦达定理在初中阶段有所学习,但是不是中考的重点,所以初中老师对此也没有加强重视,但是韦达定理在高中的应用很强大,几乎在所有解析几何解答题中都有应用如:求中点问题,联立方程组,应用中点公式,求弦长,弦长公式求所围成面积:弦长公式和点到直线的距离综合应用两条线段相垂直总之理解好题目,将不常见的问题化为学过
11、的知识,如这个定理,以不变应万变韦达定理说明了一元次方程中根与系数的关系,这里主要讲一下一元二次方程中根与系数的关系 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:如果的两实根分别是,那么,这一关系也被称为韦达定理 若和分别是一元二次方程的两个实根,则(其中)注意:今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论 【例题】 如果方程的两根之差是,那么的值为( )A B CD 二次项系数为的一元二次方程的两根分别为和,那么,这个方程是( )ABCD 已知实数,且满足,则的值为( )A B C D 设是关于的方程的两个实数根,且,求和【解析】 D D A , *知识点睛二次函数零点的分
12、布与区间端点的关系(为的零点)零点的分布图象需要满足的条件【教师备案】如果班里学生对上边零点分布掌握的比较好,那可以再继续问一下学生“若在内有且仅有一根”这时需要满足什么条件?下面我们就对“在内有且仅有一根”的所有情况进行详细说明:图象需要满足的条件且经典精讲【例6】 (北京师大附中2009-2010学年度第一学期期中考试)已知关于的方程:, 若方程有两个不等实根,求实数的范围; 若方程有两个不等实根,且两根都在区间内,求实数的范围; 设函数,记此函数的最大值为,最小值为,求、的解析式【解析】 或; 实数的取值范围为 ,【备选】 已知函数的零点至少有一个在原点右侧,求实数的范围【解析】 的范围
13、是实战演练 【演练1】 已知,则函数的零点个数是()ABCD(北京三十五中2010-2011学年高一年级数学月考)设函数,若,则关于的方程的解的个数为( )A1B2C3D4【解析】 C【演练2】(2010天津理2)函数的零点所在的一个区间是( )A B C D 设函数的零点为,则所在的区间为( )A【解析】 B【演练3】(2010-2011年度北方交大附中高一数学月考)已知函数,若函数有3个零点,则实数的取值范围是_【解析】【演练4】(2010北京东城1月检测)若的两个零点分别在区间和区间内,则的取值范围是()ABCD【解析】 C【演练5】(北京师大二附中2010-2011学年度高一年级第一学段)已知函数在区间上有且只有一个零点,求实数的取值范围【解析】 的取值范围为概念要点回顾1.函数的零点:一般地,如果函数在实数处的值等于零,即,则叫做这个函数的零点2.零点分析法:若函数在闭区间上的图象是的曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即则在区间内,函数零点3.零点的分布:零点的分布图象需要满足的条件答案:1.2.连续不断;至少有一个3.零点的分布图象需要满足的条件
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