2022高三数学冲刺教案：直线与圆锥曲线的位置关系.doc

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1、高考冲刺：直线与圆锥曲线的位置关系编稿：辛文升 审稿：孙永钊 【高考展望】1.直线和圆锥曲线的位置关系判定是基础内容，是高考必考内容；2.直线与圆锥曲线相交有两个交点时的弦长公式是考试的重点内容；3.掌握圆锥曲线有关中点弦问题的求解方法；4.关于直线与圆锥曲线的综合问题历来是考试的重点和难点，需要强化练习，形成必要的技巧和技能。【知识升华】【高清课堂：直线与圆锥曲线 369155 知识要点】知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离三种位置关系。1直线Ax+By+C0和椭圆的位置关系：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，

2、其判别式为.0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点2直线Ax+By+C0和双曲线的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程。（1）若方程为一元一次方程，则直线和双曲线的的渐近线平行，直线和双曲线有一个交点，但不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则若0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；若0，则直线和双曲线相切，有一个切点；若0，则直线和双曲线相离，无公共点.3直线Ax+By+C0和抛物线y22px(p0)的位置关系：将直线的方程与抛物线的

3、方程联立成方程组，消元转化为关于x或y方程。（1）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则 若0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)； 若0，则直线和抛物线相切，有一个切点； 若0，则直线和抛物线相离，无公共点.知识点二：圆锥曲线的弦长1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。设直线与圆锥曲线相交于，两点，直线的斜率存在且为k，则弦长公式：当k存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：2. 焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；抛物线的焦点弦公式，其中为过焦点的直线的倾斜角.3. 通径：若焦点弦垂直于焦点

4、所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径.抛物线的通径知识点三：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。【典型例题】类型一：直线与圆锥曲线位置关系的判定与应用【高清课堂：直线与圆锥曲线 369155 例4】例1、直线y=x+3与曲线的公共点个数是( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个【解析】分和分别画出曲线，容易看出，答案选D举一反三：【变式1】求以椭圆的焦点为焦点，经过直线x-y+9=0上一点，且离心率最大的椭圆方程.【解析一】由

5、已知可设所求椭圆方程为， 又，c=3, e最大即a最小. 把y=x+9代入所求方程中有(2a2-9)x2+18a2x+90a2-a4=0，由已知0，即(18a2)2-4(2a2-9)(90a2-a4)0，解之有a245， a2=45时，e最大，此时所求椭圆方程为.【解析二】由已知，c=3, e最大即a最小.令P为x-y+9=0与所求椭圆公共点，而此椭圆焦点F1(-3,0),F2(3,0)，由已知|PF1|+|PF2|=2a，所以即求x-y+9=0上一点P，使|PF1|+|PF2|最小， F1、F2在x-y+9=0同侧，所以作F1关于x-y+9=0的对称点Q(-9,6), 而|PF1|+|PF2

6、|的最小值即|F2Q|， F2(3,0), Q(-9,6), , , e最大时， a2=45, b2=a2-c2=45-9=36, 所求方程为.例2. 求以椭圆的焦点为焦点，与直线y=x+8有公共点，且离心率最大的椭圆方程.【解析一】已知椭圆焦点F1(-4,0)，F2(4,0) 所求椭圆焦点F1(-4,0)，F2(4，0)，c=4设所求椭圆方程为则，若要e最大，必有a最小，即长轴2a最小.设所求椭圆与直线y=x+8有公共点P，则|PF1|+|PF2|2a.设F1(-4,0)关于y=x+8对称点为则为所求所求椭圆方程为【解析二】已知椭圆焦点F1(-4,0)，F2(4,0) 所求椭圆焦点F1(-4

7、,0)，F2(4，0)，c=4设所求椭圆方程为则，若要e最大，必有a最小将y=x+8代入方程整理得由题意，所求椭圆方程为举一反三：【变式1】已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4（1）求曲线的方程；（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程【解析】（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，其中，则所以动点M的轨迹方程为（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由方程组 得则，代入，得即，解得或，当或时，均有方程的所以，直线的方程是或例3中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，离心率为，与直线x+y+1=0相交于M、N两点，若以|MN|为

8、直径的圆经过原点，求椭圆方程.【解析】由已知可设椭圆方程为，又 ，椭圆方程可化为由x+y+1=0有y=-x-1，代入x2+4y2=a2中有5x2+8x+4-a2=0有,y1y2=(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1, |MN|为直径的圆过原点，, , 椭圆方程为.【总结升华】直线与圆锥曲线位置关系的一类常见题型.本题首先根据已知条件设好待定系数，再根据待定系数的个数，由已知条件及相关公式设法列出相应个数的方程，以得关于待定系数的方程组.举一反三：【变式1】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆交于和，且，求椭圆方程 【解析】设椭圆方程为，点、由 得,即,由,所以

9、,即, 又2,将,代入得由、式得,或,故椭圆方程为或 类型二：圆锥曲线的弦长问题例4已知一斜率为2的直线与椭圆相交所得弦的长为，求此直线方程.【解析】设此直线方程为,、由消得: ，解之得:.故所求直线方程为.【总结升华】涉及弦长问题，通常采取设而不求，即设出,，但不是真的求出、，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.应熟练地利用韦达定理“设而不求”计算弦长，简化运算.举一反三：【变式1】设抛物线经过两点(-1，6)和(-1，-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得的线段的长是，求该抛物线的方程.【解析】抛物线过点(-1，6)、(-1，-2)，它的对称轴是y=2

10、，设顶点为(a，2)，而开口向右则方程为(y-2)2=2p(x-a)(p0)-而点(-1，6)在抛物线上，得8=-p(1+a)-又联立直线y=2x+7与可得：4x2+(20-2p)x+(25+2pa)=0-(*)设(*)的两根为x1，x2，由违达定理由弦长公式：化简得p2-20p-8pa=128-联立并注意到p0得p=16，抛物线方程是类型三：中点弦问题的处理技巧例5求椭圆内以点为中点的弦所在直线方程.【思路点拨】已经知道直线过点，只需再求出它的斜率即可.【解析一】当弦垂直于轴时，不符合题意当弦不垂直于轴时，设直线，由 消得:点在椭圆内，.设两交点、则，解之得.所求直线方程为：即【解析二】设直线与椭圆两交点、.则，(2)-(1)得，将上式化简得 ，即.所求直线方程为：即.【解析三】设两交点、中一点为，则另一点为.、都在椭圆上， 两式相减得即为所求.【总结升华】求中点弦所在直线方程的基本思路是求出斜率, 如解法1，2均是引入端点坐标为参数，建立关于参数和斜率的关系式，设法求出斜率.应当注意以上解法的前提是在弦存在的情况下求出的.故此法求出的是必要而不充分的条件.举一反三：【变式1】若已知焦点是、的椭圆截直线所得弦中点的横坐标是4，求椭圆方程.【解析】设椭圆方程，将带入椭圆方程整理得：， 设直线与椭圆的交点为，则x1、x2是的两根，解得，所求椭圆方程：.