微扰理论的可视化—以一维线性谐振子为例.docx

《微扰理论的可视化—以一维线性谐振子为例.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微扰理论的可视化—以一维线性谐振子为例.docx（4页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、微扰理论的可视化以一维线性谐振子为例 打开文本图片集 摘 要：对很多实际物理问题而言，哈密顿量比较困难，使得薛定谔方程精确求解难以实现，须要发展近似方法，微扰理论是量子力学中的一种近似方法。量子力学中的微扰理论，有一套完备的计算步骤，但计算过程相对较为繁杂，较难直观展示微扰理论的物理内涵。为了直观展示微扰理论对波函数及能级产生的影响，本文以一维线性谐振子为例，做简谐振动的粒子为带电粒子，当其处在弱电场中时，会受到微扰。本文借助Mathematica软件，展示带电谐振子处在弱电场时，能量及波函数的改变状况。 关键词：量子力学；一维线性谐振子；微扰；Mathematica 中图分类号：0413，1

2、 文献标识码：A 文章编号：1673-206405-0218-02 量子力学中的定态问题，通过解薛定谔方程，原则上可以得到哈密顿算符的本征值谱和本征函系。但当哈密顿算符比较困难的时候，很难获得薛定谔方程的精确解。量子力学发展了许多近似的方法，比如微扰理论、变分法等。本文以一维线性谐振子为例，当谐振子处在外电场的状况下，并利用Mathematica來展示如何直观的展示波函数和能量的改变状况。 1 模型 可见，当带电谐振子处在弱外电场时，其能级以及波函数都相应的发生了改变。微小量对波函数的影响自不待言，即谐振子的平衡位置发生了平移。但其对能级的影响状况是怎样的？单从公式的表述中难以得到一个直观理解

3、。为了得到一个直观的理解，可以借助数学软件实现。借助数学软件理解量子力学，国内外已经有大量的实例3，4，这里，我们采纳Mathematica软件，比较上述实例中的波函数及能级改变状况。 2 图形展示 在Mathematica网站中，对谐振子的微扰进行了两种不怜悯况下的展示。本文采纳比较简洁的吩咐，来实现微扰理论的可视化。在Mathematica软件中，利用内部吩咐Manipulate 可以实现对控件的操作，其基本形式为： Manipulateexpr，u，umin，umax，du 其作用是产生一个带有控件的expr表达式版本，该控件允许对u的值进行交互式操作，其中umin，umax分别是u的最

4、小值和最大值，du表示从最小值到最大值以du步长改变。 为了便利，我们干脆令质量m=1，=1。为了能比较波函数及能量微扰前后的改变状况，这里我们采纳Mathematica中的内部吩咐Manipulate进行演示。代码如下： 其中左图中红色实线表示未受微扰的波函数，黑色点线表示微扰后的波函数；右图表示微扰前后的能级差。 为了能分析不同能级，不同微扰给波函数及能级带来的差异，我们设置了两控件，分别为能级n及微扰量，其中n0，10，0，0.1，步长分别为1及0.02。为了便利比较能级的关系，我们干脆用微扰后的能量减去未微扰的能量。运行上述程序，可以得到不怜悯况下的未微扰波函数和能级与微扰后的波函数和

5、能级的关系，详细展示如图1及图2。 通过调整微扰能量Enn_，_、波函数n_，x_，_，及控件n，的取值范围，可以得到不同微扰状况下，未微扰波函数与微扰波函数的关系。 3 结语 由于量子力学所探讨体系的哈密顿量算符一般比较困难，从而能严格求解的薛定谔方程特别少。引入微扰理论获得薛定谔方程就显得特别重要。微扰理论的求解往往都是干脆对方程进行运算，但微扰对原来波函数及能级所产生的影响究竟有多大，很难得到一个直观的印象。本文利用Mathematica计算软件，对一维线性谐振子的微扰理论进行了分析，比较直观的展示了微扰对原波函数以及能级的影响，为进一步深化理解相关物理学问奠定了基础。 本文展示了如何实

6、现微扰理论的可视化，同时，借用Mathematica软件中的“量子力学应用的函数”，可以进行更多模拟和展示。 参考文献 1 仲顺安，田黎育，等.理论物理导论M.北京：北京理工高校出版社，2022. 2 David J. Griffiths， Darrell F. Schroeter， Introduction to Quantum Mechanics M.Cambridge： Cambridge University Press，2022. 3 陈凤翔，汪礼胜，谭改娟，许文英.量子力学虚拟试验的MATLAB演示J.高校物理，2022，31：58-61+65. 4 鲍曼.理论物理中的Mathematica电动力学，量子力学，广义相对论和分形M.北京：科学出版社，2022. 第4页 共4页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页