概率和期望的概念史话及其名题选解.docx

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1、概率和期望的概念史话及其名题选解 【摘要】本文追索到从十五世纪末到十八世纪初，诸多数学家与民间人士关于赌金问题的纷争与探究，揭示概率学的两个基本概念“概率”与“期望”的产生与形成过程，并选解相关名题以激活史料陈题的现实价值. 【关键词】概率；期望；帕西奥里；梅雷；帕斯卡；惠更斯；伯努利；棣莫弗 据悉，在新近修订的中学数学课程内容草案中，“统计与概率”大单元的重量比以前有所加强，这更激发笔者对此单元的探源探讨. 1概率和期望的概念史话 概率和期望是“统计与概率”大单元的两个核心概念，其萌发的源头至少可以追索到15世纪意大利数学家帕西奥里在1494年出版的著作算术、几何、比及比例全书中记载着的一个

2、问题 例1甲、乙两人在一次竞赛前约定谁先赢6次才赢得全部赌金，而事实上甲赢5次、乙赢2次时就中断竞赛，问此时应如何安排赌金？ 帕西奥里在此书上的答案是甲、乙应按52安排赌金；根据卡丹在1539年出版的著作好用算术与测量中解答同类问题的续赛设想，例1中甲、乙安排赌金的比例是1=101；根据意大利数学家塔尔塔利亚在1556年出版的著作数量通论中解答同类问题的续赛新设想，例1中甲、乙安排赌金的比例是：=92. 意大利三位数学家帕西奥里、卡丹、塔尔塔利亚对于例1这类问题的解法都是错误的.一一百零一零一多年后的法国另起炉灶，起因源自赌注之争. 例2一天，赌徒梅雷与侍卫官赌投骰子，约定先投出3次6点数时梅

3、雷就赢得全部赌金，先投出3次4点数时侍卫官就赢得全部赌金.可是，当投出2次6点、1次4点时，侍卫官应急办事，赌投骰子中断，梅雷与侍卫官如何安排全部赌注呢？ 梅雷认为安排比例等于31，侍卫官认为安排比例等于21.两人争辩不休，都不能劝服对方.梅雷只好写信求助于帕斯卡，询问原委应当如何安排这次赌注，17岁就在几何上崭露头角的帕斯卡思索此类问题，觉很既好玩味又有价值，就把这类赌注安排问题和自己的见解写信寄给数学家费马，法国的这两位数学家以后多次通信切磋这个问题，用续赛完全列举的思路解决了梅雷和侍卫官的赌注安排问题. 解视掷骰出4点、6点为有效掷骰，已经有效掷骰3次，最多再有效掷骰2次就必见输赢，全部

4、4种情形列举如下 6，6， 44，46. 所以，梅雷和侍卫官的赌注安排的比例是31. 这样看来，梅雷原先提出的方案正确.假如梅雷此后改邪归正，戒赌而用心从事这类问题的后续探讨，那么梅雷就会成为概率论的真正奠基人，而不会让帕斯卡和费马摘此殊荣！ 根据帕斯卡和费马的这种思路解答150多年前帕西奥里、卡丹、塔尔塔利亚等人悬而未决的例1，当时甲、乙安排赌金的比例应是151. 帕斯卡和费马的通信内容蕴含着概率的概念，有很多催生概率论诞生的结论雏形.费马在主业巅峰时担当法国大理院法庭法官和天主教联盟主席，地位显赫、声名远扬，于是他与帕斯卡关于赌金安排问题的通信易被大范围地、持续地传播. 传到荷兰，惠更斯受

5、到启发和鼓舞，用心探讨过点数问题.物理学家、天文学家惠更斯在28岁时为数学老师斯霍腾的著作数学练习编写附录，幸运的是斯霍腾老师在此附录中公正地为惠更斯署名，使得他成为概率论第一本著作的独立作者，在这本附录性著作论赌博中的推理中，惠更斯提出19个命题或问题，其中第3题正式提出期望的概念： 假如某人赢得数目为a和b两笔钱的机会分别为p和q，那么此人的期望值为SX在去世8年后的1733年，伯努利家族整理出版他的著作猜想的艺术，共分四部分，第一部分收录惠更斯的附录性著作论赌博中的推理并作出评注，有些评注比原作更有价值，其中注明白超过两个数据的期望公式. 法裔英国数学家棣莫弗于1731年在皇家学会学报发

6、表论文抽签的计量，其中记载着用组合数表示独立重复试验的二项分布概率公式，1738年将此论文修订扩充为系统的概率论专著机会论.2概率和期望的名题选解 我手头上的数学史书记载着概率、期望概念在发生、发展过程中一些有价值的名题，但没有看到具体解答过程，下面补遗其中四道题的解答过程. 例3甲、乙、丙三人博彩，假设甲需再赢1点就最终胜出，乙需再赢2点就最终胜出，丙需再赢2点也最终胜出.此时中止博彩，求甲、乙、丙安排彩金的比例. 解在最多3次的有效赢得的点数中，第1次假如甲取得1个点，概率为13，则甲最终胜出，结束；假如乙或丙赢得1个点，概率为23，以后分三类，不妨设乙赢得这1个点. 第2次假如甲赢得1个

7、点，概率为13，则甲最终胜出，结束；假如乙赢得1个点，概率为13，则乙最终胜出，结束；假如丙赢得1个点，概率为13，则还要进行第3次有效赢得点数. 第3次假如甲赢得1个点，概率为13，则甲最终胜出，结束；假如乙或丙赢得1个点，概率为23，则乙或丙最终胜出，结束. 总之，甲赢得彩金的概率等于 13+2313+0+13=1737. 因为乙、丙安排彩金相等，所以甲、乙、丙安排彩金的比例是1755. 评注帕斯卡最初用列举方法算出的比例是321111，接着用期望值方法算出的比例是1755.在费马给帕斯卡的回信中，费马指出1755才是甲、乙、丙安排彩金的正确比例. 例4甲、乙掷一对骰子，约定若掷得点数之和

8、为7，则甲赢；若掷得点数之和为10，则乙赢；若掷得点数之和等于其它数，则甲与乙平分赌金.设赌金为S，求甲、乙两人赢得赌金的期望值. 解甲、乙掷一对骰子，共有62=36种情形，i，j1，2，3，4，5，6.其中，点数之和为7的情形1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1有6种，点数之和为10的情形4+6、5+5、6+4有3种，其它情形占有27种.所以，甲、乙两人赢得赌金的期望值分别为 S36=31012S，S36=3373S. 评注投骰、掷币、摸球、抽签是公认为机会均等的四种嬉戏，在概率论问题中常常被用到，而古人用得最多的概率道具是投骰. 例5袋中装有4个白球、8个黑球，这12个球除颜色有

9、黑、白差异之外再没有其它区分.A、B、C三人从中每次取出一个球，取球次序是A、B、C、A、B、C、，如此往复，直到有一人取得白球就获胜，试求A、B、C三人获胜的概率. 解三人A、B、C往复取球不放回，最多取9次就必有1人获胜. 因为A获胜的情形共有三种“白、黑黑黑-白、黑黑黑-黑黑黑-白”，所以A获胜的概率为P1=412+81273161049+81273161059483746 =13+561195+2119=231559=77365=735. 因为B获胜的情形共有三种“黑白、黑黑黑-黑白、黑黑黑-黑黑黑-黑白”，所以B获胜的概率为P2=812411+8127316105948 +81273

10、16105948372645 =8311+7911+45911=1595911=53165. 因为C获胜的情形共有三种“黑黑白、黑黑黑-黑黑白、黑黑黑-黑黑黑-黑黑白”，所以C获胜的概率为P3=812731410+812731610594847 +812731610594837261544 =283511+4911+15911=1055911=733. 所以，A、B、C三人获胜的概率分别为735、53165、733. 评注运用A、B、C三人获胜的概率之和等于1，可以简化此题的解题过程，使解题时间大约节约四分之一. 例6A、B两人在玩两颗骰子，规定A先投出6点就获胜，B先投出7点就获胜，由A先投

11、1次，再由B投2次，接着由A投2次，由B投2次，如此操作直到有一人获胜为止.求A、B两人最终获胜的概率. 解依题意，每次同时投掷两颗骰子，共有62=36种情形.其中，掷出6点的情形占有5种，掷出7点的情形占有6种，则每次投掷两颗骰子A获胜的概率为p1=536、B获胜的概率为p2=636=16. 于是，A最终获胜、B最终获胜的概率依次为 P=536+31362 +3136222+ =536+313623353621-22 =536+3136837522631=373780814736=1035522631， P=3136+313622 +313644+ =313611361-22=3631113

12、63-25312=1227622631. 评注雅各布伯努利设计的这种投掷次序“A、BB、AA、BB、”比单纯交替的流行次序“A、B、A、B、”更合理；在雅各布伯努利诞生前61年的1593年，法国数学家韦达在著作各种各样的解答中就解决了无穷递缩等比数列的求和问题. 文尾供应一道没有解答过程的问题，期盼抛砖引玉、引爆争鸣！ 思索题甲、乙各有12个筹码，掷3颗骰子.若掷得11点，则甲送给乙1个筹码；若掷得14点，则乙送给甲1个筹码.最先得到全部24个筹码者为胜者，求甲、乙获胜的概率之比. 参考文献 1汪晓勤、韩祥临.中学数学中的数学史M.北京：科学出版社，2002：216226，273. 2斯科特著，候德润、张兰译.数学史M.北京：中国人民高校出版社，2022：187194. 3李天华、徐济华.数学奇观M.武汉：湖北少年儿童出版社，11019：94101. 4杜瑞芝主编.数学史辞典M.济南：山东教化出版社，2002：109，120122，300，552. 第8页 共8页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页