基于不确定集的稳健mimo雷达波形设计算法-李秀友.pdf

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1、第38卷第10期 电 子 与 信 息 学 报 Vol. 38No.10 2016年10月 Journal of Electronics & Information Technology . Oct. 2016 基于不确定集的稳健MIMO雷达波形设计算法 李秀友*薛永华 黄 勇 关 键 (海军航空工程学院信息融合技术研究所 烟台 264001) 摘 要：针对雷达目标回波信号存在不确定性导致MIMO雷达波形优化设计性能下降问题，该文提出一种扁平椭球不确定集约束下的稳健自适应发射-接收波形联合优化设计方法。首先将目标脉冲响应的误差推广到更为一般的扁平椭球不确定集约束条件，并利用Lagrange乘子法

2、对优化过程进行推导，得出扁平椭球不确定集约束下的闭式表达式。其次为了提高目标脉冲响应不确定集范围较大时的优化性能，采用了迭代鲁棒最小方差法进行求解(IRMVB)，求得更为精确的目标脉冲响应，提高了SINR改善性能。然后进一步分析了基于扁平椭球不确定集约束条件与球体约束条件优化问题的内在联系，推导得出该文求解过程为广义对角加载方法。最后通过仿真实验表明所提算法对于目标回波信号不确定性具有更高的稳健性。 关键词：MIMO雷达；波形设计；扁平椭球；Lagrange函数 中图分类号： TN958 文献标识码： A 文章编号：1009-5896(2016)10-2445-08 DOI: 10.11999

3、/JEIT151425 Robust MIMO Radar Waveform Design Algorithm Based on Uncertainty Set LI Xiuyou XUE Yonghua HUANG Yong GUAN Jian (Research Institute of Information Fusion, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001, China) Abstract: In order to solve the problem of performance losses

4、in the MIMO radar waveform design when target signal is uncertainty, a novel joint optimization of transmitting waveforms and receiving filters in the MIMO radar for the case of target in flat ellipsoid uncertainty set is proposed. Firstly, constraint of impulse response of target is extended to fla

5、t ellipsoid uncertainty set, Lagrange multiplier is used to solve the optimization problem, and the closed form solution is got under the constrain. Secondly, in order to improve SINR output of waveform design when the uncertainty set is large, Iterative Robust Minimum Variance Beamforming (IRMVB) i

6、s used to get more precise target impulse response. Thirdly, the relationship between flat ellipsoid uncertainty set and sphere uncertainty set is analyzed, and a solution which has the form of diagonal loading is derived. Finally, simulation results show that the proposed algorithm has excellent pe

7、rformance and it is robust for the uncertainty of impulse response of the target. Key words: MIMO radar; Waveform design; Flat ellipsoid; Lagrange function 1 引言大量文献研究了基于目标检测的波形优化设计方法，以最大化目标信号输出SINR为准则，基于已知的目标脉冲响应时域或频域表示式，提出宽带雷达发射-接收波形联合优化设计方法1 5。波形设计中通常假设目标脉冲响应是先验已知的确定量或服收稿日期：2015-12-14；改回日期：2016-05

8、-30；网络出版：2016-07-14 *通信作者：李秀友 基金项目：国家自然科学基金(61471382, 61401495, 61501487, 61531020)，山东省自然科学基金(2015ZRA06052) Foundation Items: The National Natural Science Foundation of China (61471382, 61401495, 61501487, 61531020), The Natural Science Foundation of Shandong Province (2015ZRA06052) 从给定统计特性的随机变量，但实

9、际雷达目标回波同时具有方位敏感性、幅度起伏性和初相随机性等特点6。这些因素导致雷达目标回波信号具有较大的不确定性，给波形优化设计带来较大的难度，也会明显降低所设计优化波形的性能。文献7,8研究了基于国家土地覆盖数据库(NLCD)等辅助知识的波形设计方法，但是杂波强度与雷达系统参数及工作模式有关，并且杂波存在起伏现象，很难得到指定距离-方位分辨单元内精确的杂波RCS值。文献9,10提出了基于反馈结构的认知雷达工作流程图，通过场景分析器得到环境模型参数。文献11首先利用常规脉冲串估计场景参数，再根据估计值设计自适应波形使得目标SCNR最大化，这种基于实测回波数万方数据2446 电 子 与 信 息

10、学 报 第38卷 据估计的方法存在一定的估计误差。当杂波统计特性先验已知时，通常将杂波(噪声)建模为给定协方差矩阵的统计模型，再根据给定的杂波和噪声优化发射波形，其中杂波模型的精确程度将直接影响波形优化设计性能12及杂波抑制能力13。 在大量自适应波束形成算法中，为了提高算法在误差情况下的稳健性，相继提出了基于期望信号导向矢量不确定集约束下的稳健算法，导向矢量约束于各种不确定集合中，包括球体不确定集14、椭球体不确定集、扁平椭球不确定集15等，确保了导向矢量误差在一定范围内变化时，波束形成器仍能满足性能要求。文献1 6针对期望导向矢量不确定集较大时自适应波束形成输出SINR损失较大的问题，提出

11、了迭代鲁棒最小方差算法(IRMVB)，采用较小的不确定集迭代求解，逼近更为准确的期望导向矢量。 文献1 7根据阵列流形测量值的变化范围确定不确定集大小，当不确定集各向异性时，可以用扁平椭球不确定集建模阵列流形变化特性。又由文献18关于目标1维距离像分析可知，目标1维距离像(目标脉冲响应)强度起伏的均值和方差各不相同，即目标脉冲响应存在于各向异性的不确定集中，因此可以将目标脉冲响应建模为更为精确的扁平椭球不确定集，其中强度均值对应椭球中心，强度方差对应椭球半径，相比于球体不确定集，用椭球不确定集模型建模各向异性的不确定集，不会导致不确定集范围的增大。文献19研究了MIMO雷达目标脉冲响应在球体误

12、差约束条件下发射波形和接收波形的联合优化设计方法，提出了一种新的迭代优化算法，保证在误差范围内最差条件下的最优波形设计。但是该文献仅考虑了目标脉冲响应误差范围约束于一个球体的特殊情况，没有考虑更为一般的椭球体和扁平椭球体等不确定集约束条件，也没有考虑当不确定集较大时SINR改善性能下降的问题20。 针对以上分析的问题，本文在MIMO雷达联合发射-接收波形优化设计过程中，首先将目标脉冲响应的误差推广到更为一般的扁平椭球不确定集约束条件，并利用Lagrange乘子法对优化过程进行推导，得出扁平椭球不确定集约束下的闭式表达式；其次为了提高目标脉冲响应不确定集范围较大时的优化性能，采用了迭代鲁棒最小方

13、差法进行求解，求得更为精确的目标脉冲响应，提高了SINR性能；然后进一步分析了基于扁平椭球不确定集约束条件与球体约束条件优化问题的内在联系，推导得出本文求解过程为广义对角加载方法；最后通过仿真结果比较分析本文算法的有效性。 2 稳健的发射波形和接收波形联合设计方法 考虑MIMO雷达系统，具有TN个发射天线和RN个接收天线，1TN 维信号矢量()ns，发射波形经过与环境作用得到接收回波信号()nr，接收回波信号经过接收滤波器()nh得到最终输出结果。目标的脉冲响应建模为()RTNNnt (,()klnt表示目标从第l个发射天线到第k个接收天线的脉冲响应)，杂波的脉冲响应为()RTNNnc ，这里

14、假设矢量vec(c(n)是广义平稳过程，并已知协方差矩阵： H( ) E vec ( ) vec ( )cm n nmR cc (1) 1RN 维矢量()nv表示接收端的噪声过程，并假设噪声协方差矩阵已知，表示为 H( ) E () ( )vm n nmR vv (2) 当目标雷达信号脉冲响应、杂波脉冲响应和噪声二阶统计量已知时，波形设计的目的是设计1TN 维发射信号矢量()ns和1RN 维接收波形矢量()nh使得检测概率最大化，最优检测器可以由对数似然比检验得到，且检测概率是SINR的单调递增函数，因此，波形设计的目标等价于通过选取()ns和()nh使得SINR最大化。 2.1 问题描述 雷

15、达系统接收回波模型如图1所示，接收基带信号()nr可以表示为 图 1 系统工作模型图 0() ( ) ( ) ( ) ()TLmn nm nm m n r t c sv (3) 其中LT是有限持续信号()ns的阶数，定义接收信号 R=LTT 11TT01RRNLrr r r (4) 其中LR是接受滤波器的阶数，整体接收信号可以表示为 r T Cs v (5) 其中 TT 11TT01TTNLTLss s s (6) TT 11TT01RRNLRLvv v v (7) 其中，T和C分别为目标和杂波脉冲响应矩阵，且万方数据第10期 李秀友等： 基于不确定集的稳健MIMO雷达波形设计算法 2447

16、均为块Toeplitz矩阵，定义为 0 1 0 1 01LLLttttTt tttt 000000(8) 和 10 1 1 0 1 01TRRLLL Lcc ccccCcccc c (9) 当目标脉冲响应矩阵T约束于扁平椭球不确定集时，并对发射波形的能量进行约束。则接收滤波器输出的SINR可以表示成问题1P19： 2H22HH12,EEs.t. 1PS h Tsshh Cs h vsT(10) 其中扁平椭球不确定集约束表示为 20, 1FS T T BU T U (11) 这里，T为( 1) ( 1)RR TTNL NL 维的列满秩矩阵，B为已知( 1) ( ( 1)RR RRNL KK NL

17、 维列满秩矩阵，U为( 1)TTKNL维矩阵，U的F-范数约束于半径为r的球体内。 2.2 迭代求解算法 根据文献19的分部迭代算法，问题P1具体迭代步骤如下，其中步骤1用于初始化，步骤8计算相邻两次SINR的改善值，当改善值足够小时循环结束。算法具体步骤如下(记为算法1 )： 步骤 1 初始化过程，设定发射波形0s和终止条件；步骤 2 计算HH,EiiicsR Css C； 步骤 3 求取 1HH,arg miniiiScs vTT sT R R iTs，得到不确定集中最差情况下的目标脉冲响应矩阵； 步骤 4 计算 1,iiiics vh R R Ts，其中为归一化系数； 步骤 5 计算HH

18、,EiiichR C hh C； 步骤 6 求取 1HHH,arg miniiiiS ch vTT hT R h Rh I T h； 步骤 7 计算 1H,ii ch vs R h Rh I Th，并对波形进行归一化/i iis ss； 步骤 8 计算SINR，当 1SINR SINRii 时，则循环终止，否则返回步骤2。 3 不确定集约束下的目标冲激响应优化求解 上述算法1迭代过程中的步骤3和步骤6在不同约束条件下有着不同的求解表示式。文献19推导了目标脉冲响应在球体不确定集约束下的求解表达式，但没有考虑误差更一般的扁平椭球不确定集约束条件下的解析表达式，本文将误差集合定义为更一般的扁平椭球

19、不确定集，并通过推导得到解析表达式，将复杂的不确定集优化问题转化为Lagrange乘子的线性搜索问题，针对不确定集范围较大时，SINR改善性能下降的问题，采用了迭代鲁棒最小方差法进行迭代逼近，进一步提高优化波形对SINR的改善性能。 3.1 不确定集约束下问题求解 算法1中的步骤3和步骤6为凸优化问题，将0=+T BU T代入步骤3，则关于T的最优问题可以表述为问题2P： 1HH0, 022 2mins.t.FPr cs vs BU T R R BU T sU(12) 对问题P2的目标函数进行分解，得到表示式 1HH001HH1HH01HH01HH00 c,s vc,s vc,s vc,s v

20、c,s vs BU T R R BU T ss BU R R BUss T R R BUss BU R R T ss T R R Ts (13) 令 1H,0 cs vRBR R B (14) 和 1H0,0cs vT BR R T (15) 万方数据2448 电 子 与 信 息 学 报 第38卷 由于式(13)右侧第4项为确定值，优化过程中可以省略，并将式(14)和式(15)代入式(13 )进行变量替换，则优化问题P2可以写成 2 2HHH H HH00minFrUs U RUs s T Us s U T s (16) 为了求解式( 16)，构造Lagrange函数将约束优化模型转化为无约束

21、优化问题。 HHH H0HH H0,tr 1L T s U RUs s T Uss U T s UU(17) 其中，0 为Lagrange乘子，对式(17)关于U求导并令其等于0，则得到 HH0 0 RUss T ss U (18) 通过式(18)可以看出U为秩1矩阵，不失一般性，存在1Mv ，满足 HU vs (19) 则式(19)可以写成 HH H H0H HH20HH200 Rvs ss T ss vss Rvs T ss vss R I vs T ss (20) 则可求得 1HH20 U vs s R I T ss (21) 代入式(11)则可得到 1H200 T T B s R I

22、T ss (22) 对R进行特征值分解，得到HR QDQ，其中Q为酉矩阵，D为对角阵，则约束条件可以化为 212 H202122021H2202H022221,()FFMikiir U s R I T sss s R I Tss s D I QTsQTsssD(23) 这里，1r ，由于R为正半定矩阵，则有,() 0iiD，同样Lagrange乘子0 。因此，式(23)是关于的单调递减函数，即存在唯一解，可以由牛顿二分法求取。 利用相同的处理方法可以求解算法1步骤6的问题，表示式为 12H00 T T Bhh T h R I (24) 其中， 1H0,0=ch vT BR R T , H,=+

23、ch vR B R h Rh 1 HIB 。是Lagrange乘子，可以通过式(25)的关系求得 2H02221,1MikiiQThhhD(25) 其中，HQDQ是R的特征值分解。 3.2 迭代鲁棒最小方差法 当不确定集范围较大时，即FBF较大时，根据算法1中步骤3和步骤6所求得的最差情况目标脉冲响应会导致SINR严重下降，为了在该条件下进一步优化发射-接收波形，提高SINR改善性能，算法1中的步骤3和步骤6采用迭代鲁棒最小方差法求解。该方法利用较小的不确定集迭代搜索期望的目标脉冲响应，进一步降低大的不确定集导致的SINR损失，提高发射-接收波形联合优化设计性能。IRMVB算法如示意图2所示。

24、 图 2 IRMVB算法示意图(虚线大圆表示原始不确定集r， 实线小圆表示用于迭代搜索的小不确定集 ) 迭代鲁棒最小方差法具体步骤如下(记为算法2)： 步骤 1 初始化过程，令00000, , j T TT 1H0,0cs vBR R T； 步骤 2 当1j 时，如果 21 120j RT，其中1 ，则令0j ；如果 21 120 j RT，根据式(23)求解j，式中用10jT和分别代替0T和r。将10jT和j代入式( 21)求取jU，下一步将jU和10jT代入式(22)求得jT，并令 1jjRRNLTT jFT； 步骤 3 计算循环终止条件，如果满足10j和1jj ，则循环结束。否则返回步骤

25、2，并令0jjTT和 1H0,0jjcs vT BR R T。 3.3 算法分析 将式(22)代入迭代算法1步骤4，并将2is代入式中，同时令 ,ics vRR R，则有 万方数据第10期 李秀友等： 基于不确定集的稳健MIMO雷达波形设计算法 2449 11 2H0012H01HH0111 12H011 2HH00=i i ii iiii iiiii i h R T B s R I T ss sR T Bs BRB IB R Tss sRTs RBs BRB IB R Ts s R BB Ts (26) 同理，迭代算法1步骤7可以得到类似的表示式，从式(26)推导结论可以看出，本文迭代算法1

26、步骤4和步骤7求解过程为广义对角加载方法，其中最优加载量由式(23)求得，因而本文算法具有较好的稳健性。对比本文式(22)，式(24)和文献19中的表示式可以看出，当BI时，本文约束条件退化为文献19中球体约束条件，因此文献19是本文算法的一个特例。 综上所述，算法1迭代过程中的步骤3和步骤6需要调用算法2求解，利用迭代鲁棒最小方差法缩小不确定集范围，进一步降低目标失配损失。算法2的步骤2利用式(23)将复杂的不确定集优化问题转化为Lagrange乘子的线性搜索问题，大大降低了运算量。 4 仿真结果及性能分析 在仿真实验中，为了便于对比分析，参数设置与文献19保持一致。假设MIMO雷达系统发射

27、天线数4TN ，接收天线数4RN ，目标脉冲响应阶数为16阶，,()klnt的系数为独立同分布复高斯随机变量。杂波脉冲响应建模为AR过程，协方差表达式为 H()nn cR GA G (27) 其中参数A和G为16 16维实矩阵，如图3 (a)和图3(b)所示，A为正半定矩阵，谱半径小于单位1。噪声矢量()nv建模为单位方差高斯白噪声过程。 假设目标脉冲响应矩阵T约束在如式(11)所示的扁平椭球不确定集S中，最差情况的SINR可以由式(22)求得，不确定集S的中心0T为式(8)所示的矩阵，将不确定集的F -范数FBU与FT的比值记为 图 3 矩阵AR过程中使用的参数 1，称作椭球不确定系数。仿真

28、结果通过100次不同目标脉冲响应中心、杂波和噪声的平均值，并比较了不同CN R条件下3种算法的SINR输出结果，算法2的IRMVB中令参数0.1 ，循环终止条件1 。 实验 1 目标存在于椭球不确定集时不同算法的收敛特性 从图4可以看出，对于确定已知目标，算法具有单调性，保证了较快的收敛速度。对于不确定目标，由于每步迭代过程中要在不确定集中搜索最差情况的目标脉冲响应，因此没法保证单调性，但局部非单调起伏不影响整体收敛趋势，随着迭代次数的增加均能趋于收敛。图4给出了一次迭代过程收敛曲线，当存在扁平椭球不确定集误差时本文算法最大输出SINR低于目标确定已知条件，这是由于目标脉冲响应不确定造成的失配

29、损失。在相同的不确定集条件下，本文算法高于文献19算法输出SINR。 图 4 3种情况SINR与迭代次数关系曲线(CNR=5 dB,1 =0.01) 图5给出了优化后的最优发射波形和最优接收波形，可以看出发射波形矢量和接收波形矢量均包含4个不同的波形。 实验 2 不同杂噪比对优化波形设计性能的影响 图6给出了目标脉冲响应存在于扁平椭球不确定集时，3种不同算法在不同杂噪比(CNR )条件下的SINR改善情况。图中横坐标表示CNR，纵坐标表示波形优化后的输出SINR，从图中可以看出，3种算法输出SINR随着CNR的增大而降低。在同一个CNR条件下，当目标脉冲响应为确定值时，输出SINR最大，当目标

30、脉冲响应约束于椭球不确定集S中时，文献19算法在目标失配条件下具有一定的稳健性，但是仍然存在较大的失配损失。本文算法在目标脉冲响应不确定时采用了迭代鲁棒最小方差法，利用较小的不确定集迭代搜索期望的目标脉冲响应，降低了不确定集导致的SINR损失。 图7分析了不确定系数1对波形设计性能的影响。图中给出了不同1值在不同CNR条件下的SINR改善曲线。图中横坐标表示CNR，纵坐标表示 万方数据2450 电 子 与 信 息 学 报 第38卷 图 5 原始发射波形及优化后的发射波形和接收波形 图 6 3种算法不同CNR条件下的SINR输出(1 =0.01) 图 7 不同不确定系数时输出SINR随CNR的变

31、化曲线 波形优化后的输出SINR，从图中可以看出，SINR改善性能随着1的增大而降低，当1趋于零时，输出SINR性能趋于确定已知目标条件。即不确定系数1越大，目标失配损失越大。 实验 3 目标存在于球体不确定集时算法性能分析 当式(11)中BI时，扁平椭球不确定集退化为球体不确定集合，可以表示为 220FS TT T (28) 半径与FT的比值记为2，称作球体不确定系数。仿真过程中令20.01 ，算法2的IRMVB中令参数0.1 ，循环终止条件1 。 图8给出了3种不同条件下一次迭代过程SINR收敛曲线，可以看出确定目标SINR输出最大，本文算法和文献19算法非常接近，本文算法虽然存在一定的失

32、配损失，但是由于IRMVB处理步骤降低了失配损失，使得整体输出结果与文献19算法性能相当，具有较强的稳健性。 图9给出了目标脉冲响应存在于球体不确定集时，3种不同算法在不同杂噪比(CNR)条件下的SINR改善情况。图中横坐标表示CNR，纵坐标表示波形优化后的输出SINR，从图中可以看出，3种算法输出SINR随着CNR的增大而降低。在同一个CNR条件下，当目标脉冲响应为确定值时，输出SINR最大，当目标脉冲响应约束于球体不确定集S 万方数据第10期 李秀友等： 基于不确定集的稳健MIMO雷达波形设计算法 2451 图 8 3种情况SINR与迭代次数关系曲线(CNR=5 dB,2 =0.01) 图

33、 9 3种算法不同CNR条件下的SINR输出(2 =0.01) 中时，文献19算法能够匹配球体不确定集，本文算法存在模型失配损失，但在目标脉冲响应不确定时采用了迭代鲁棒最小方差法，利用较小的不确定集迭代搜索期望的目标脉冲响应，降低了不确定集模型失配导致的SINR损失。从图中可以看出，本文算法在模型失配时相对于文献19算法存在约0.4 dB的损失。 5 结论 本文在MIMO雷达联合发射-接收波形优化设计过程中，将目标脉冲响应的误差推广到更为一般的扁平椭球不确定集约束条件，并利用Lagrange乘子法对优化过程进行推导，得出扁平椭球不确定集约束下的闭式表达式，将不确定集约束下的优化问题转化成简单的

34、线性搜索问题，为了提高目标脉冲响应不确定集范围较大时的优化性能，采用了迭代鲁棒最小方差法进行求解，进一步提高了波形设计改善性能，并指出了基于扁平椭球不确定集约束条件的优化问题与球体约束条件优化问题的内在联系，最后通过仿真结果验证了本文算法对于目标不确定性的稳健性。 参 考 文 献 1 ROMERO R A, BAE J, and GOODMAN N A. Theory and application of SNR and mutual information matched illumination waveformsJ. IEEE Transactions on Aerospace and

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