基于权值评估的lyapunov时滞稳定判据改进方法-王蕾.pdf

《基于权值评估的lyapunov时滞稳定判据改进方法-王蕾.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《基于权值评估的lyapunov时滞稳定判据改进方法-王蕾.pdf（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、DOI：107500AEPS20161222004电力纛统匀动化Automation of Electric Power Systems基于权值评估的Lyapunov时滞稳定判据改进方法王 蕾，贾宏杰，董朝宇(智能电网教育部重点实验室(天津大学)，天津市300072)摘要：在含有时滞环节的电力系统稳定性分析中，基于I。yapunov稳定理论和线性矩阵不等式(LMI)技术的时滞稳定判据被广泛采用。然而，这类判据往往存在计算量大、计算效率低的问题，尤其在高维系统中计算效率迅速降低，亟需寻求科学手段来提高判据计算效率。对此，文中借助数值计算方法，分析了Lyapunov函数各构成项随时间的变化规律及各

2、项占函数的权值，进而提出一种通过权值计算来甄别Lyapunov函数冗余项的有效方法。通过剔除冗余项，减少了判据的待求变量数，在不影响判据保守性前提下，有效提高了计算效率。最后，通过典型二阶时滞系统和3机9节点时滞系统分别对两种Lyapunov时滞稳定判据进行简化改进，验证了文中方法的有效性。关键词：Iyapunov函数简化；时滞稳定判据；计算效率；权值；电力系统稳定0 引言近年来，中国电网互联范围不断增大，运行方式的复杂程度也随之提高口，广域协调控制成为研究重点25。广域信号在传输过程中存在时滞，对电网稳定运行会产生不利影响，需要予以考虑6。7。基于Lyapunov稳定理论和线性矩阵不等式(I

3、。MI)技术的时滞稳定判据可用于时滞系统的稳定性分析，不仅降低了计算的复杂性，而且在分析系统的随机因素、考虑各种类型时滞环节、设计控制器、计算系统时滞稳定裕度等方面有诸多优势旧。11。其原理是构造适用的L，yapunov函数，并通过LMI技术来分析函数是否正定及其导数是否负定，从而判断时滞系统的稳定性。它避免了对微分方程的求解且物理意义清晰，因此受到越来越多关注口2。1“。然而，随着系统状态变量数目的增加，时滞稳定判据的待求变量数将以平方关系增长，计算效率大大降低，成为这类方法推广应用的一个重要障碍口5I。影响判据计算效率的一个直接原因就是Lyapunov函数本身，常用的Lyapunov函数由

4、若干状态变量二次型、一次积分、二次积分及三次积分项相加构成。构成项的不同，往往会导致判据具有不同的保守性和计算效率口6。2“。此外，当Lyapunov函数存在冗余项(即该项存在与否并不影响判据判稳效果)时，无谓的待求变量收稿日期：2016-1222；修回日期：2017-0308。上网日期：2017一0512。国家自然科学基金资助项目(51625702)。会增加，从而导致判据计算效率降低。文献21将文献17所给Lyapunov函数的冗余项剔除，得到改进的稳定判据，待求变量数有效减少，且判据保守性并未改变。但文献21的方法仅适用于文献17所给判据，不具普适性。若能推得一种通用方法，帮助研究人员准确

5、甄别Lyapunov函数中的冗余项，则对寻求更为高效的时滞稳定判据意义重大。本文提出一种基于权值分析的Lyapunov函数冗余项通用甄别方法。通过它可将时滞稳定判据的冗余项有效剔除，在保持判据保守性的前提下，减少无谓的待求变量，从而提高判据的计算效率。1 Lyapunov时滞稳定判据及问题分析11 时滞电力系统模型电力系统动态过程往往由微分代数方程描述，考虑时滞后，在平衡点附近对其进行线性化，可得如下线性时滞模型n：丁dx(t)一k妻=O扯ct【x。，一h。， 。一rr。rl(1)r。式中：x(f)R”为状态变量，x(tr。)R”为时滞状态变量；f。R为时滞变量；A。R“”为常数矩阵，尼一0，

6、1，m；h(t)R”为系统状态变量在区间一n；，0)上的历史轨迹。12 Lyapunov时滞稳定判据Iyapunov时滞稳定判据的实现原理如下。步骤1：对于式(1)所示系统，构造含参数的http：wwwaepsinfocorn 1 1 1万方数据Lyapunov函数V(x)。系统稳定条件为：在平衡点x。处，满足V(x。)一0；而对于任意xx。，有V(x(t)0，dV(z(t)d：V(2(t)+：V()(t)4- (6)il z一1式中：V为判据对应的Lyapunov函数；V为函数中状态变量的二次型项；V。VV订分别为函数中一次积分项、二次积分项和三次积分项；咒，姐：，踅。分别为对应积分项的项数

7、。对于式(1)，在时滞变量数值给定后，采用文献22方法，通过LMI稳定判据可求解式(6)中的待求矩阵变量，利用式(5)所给系统轨迹，可直接得到V。V(。的具体取值。在求解Lyapunov函数积分项过程中，还需剔除不可微环节影响：由于时滞系统轨迹理论上在一r。to前的系统轨迹删去，仅使用该时刻之后的部分。令仿真时问总长为t。，对式(6)等号两边在时间段(。，。)内积分，可得到式(7)：万方数据r()一rV(。)()+rVV t dt V t dt ：，(t)dt+() 一I (。)() +：l 。：，() +”2Pf ”3 P，IV。，(t)dt+rV。(t)dt+i=l“5 ，=1“(7)式(

8、8)定义了函数各构成项占整个函数的百分比，即各构成项占函数的权值：fteV。dfV()一一100 (8)Iv()dtJ式中：V。，可以为式(8)中的二次型y。，或任意阶次积分项VJ一1，2，il，2，押，。当时滞取判据的时滞稳定裕度值时，计算V。具体数值，按取值从小到大依次排序，设结果如下：V一Evl V2 V3 (9)式中：向量y为V排序后的结果，满足V1V2V。 (10)遴选式(10)中，权值最小的V。对应的构成项为冗余项，记为V刊州。此外，需要强调的一点是，在多时滞情况下，当式(1)中的时滞r。，i一1，2，I?l在空间(r。，r：，b)中的稳定裕度边界上取值变化时，式(9)的排列顺序也

9、可能发生变化，由此导致冗余项V捌删的构成也会随之改变。22 Lyapunov函数简化及判据改进在上一环节确定V。cdL。d后，可将Iyapunov函数改写为保留项V。和冗余项V删。的和：V(t)一V一。(t)+Vm。l(t) (11)删去冗余项后的Lyapunov函数变为：V(t)一V。(t) (12)进一步，应用简化后的Lyapunov函数V(t)，可推导得到改进后的时滞稳定判据。在判据具体推导过程中，仍可利用原有方法，仅需在对应步骤将冗余项剔除即可，因此新判据推导并不增加额外工作量。图1给出了基于权值评估的Iyapunov函数冗余项甄别及时滞稳定判据改进方法的具体流程。3 算例分析本节将采

10、用二阶双时滞系统和WSCC 3机9节点系统来验证所述方法的有效性。31 算例l采用式(13)所示的典型二阶双时滞系统，应用本文方法对文献17中的多时滞Lyapunov函数(式(2)进行分析。首先确定其冗余项，进而得到相应改进稳定判据。王蕾。等基于权值评估的Lyapunov时滞稳定判据改进方法开始构建时滞系统数学模型f式1)时滞l，吃，取待改进判据的时滞稳定裕度值l系统仿真，计算缸，)仿真时长fe；待改进判据判断系统稳定性，得到参数矩阵数值方法求解Ly印unoV函数值晒蕻构成项、剔除不可微环节，保留H0和所n(r)，tt。l由式(8)计算Ly印unoV函数各构成项权值由式(9)对巧舯按从小到大排

11、序，得到排序结果权值最小项为冗余项删除冗余项l简化的Lyapunovl函数l改进稳定判据结束图1 基于权值评估的时滞稳定判据改进方法流程Fig1 Flow chart of improvement method fordelay stability criteria based on weight value analysisf掣A ox(t)AlX(t-r1)+A2北飞) ， 。、 ， 。、(13)Ix(f+)一h(f，毒) 7I 亭r。，0)，r。一msxr1，r 2)式中：x(t)R2为状态向量；h(t，亭)为一岛，0)的二维连续向量值函数，定义了状态向量X(t)的历史轨迹；A。一一 0

12、79A 一Oj4061赴一一l o6 o l。定义如下参数：r。一ri+r； (14)臼一arctan(卫)(15)、C 2不难看到，由式(14)和式(15)可得r，和r。：r22r n。rm。8臼(16)【r2一r。si。n 0若r。z-：，则将两者数值互换，同时将对应的系数矩阵A，和A：互换，重新整理后，不影响系统仿真结果，且满足模型(1)中0一r。r，b的条件。当臼为给定值时，使得系统稳定的h。的最大值为该系统在参数0时的时滞稳定裕度，记为r。将m一2代入式(2)，可得此时系统的Lyapunov函数具体如下：http：WWWaeps infocorn 1 3他一万方数据20】741(16

13、)L M竽)1掣删口+U一掣)7w呲掣州臼+刚竽)w掣捌臼一V“(t)+V1，(t)+V2，(f)+V(2，1)(r)+V(22)(t)+V(2)(t) (17)以030。为例，采用文献1 7中的判据求解时滞稳定裕度为h。一4139 1 S，改变式(13)中时滞的大小，根据式(8)计算函数各项的权值V“i。其中，t，一maxrl，r 2，t。一50 S，所得结果见图2。2002500 0 3100 0 3 700 0 4 139honlls_11K2 2Hl，2H2 1图2 Lyapunov函数构成项权值比较Fig2 Comparison of weight of each item ofLy

14、apunov function学术研究由图2所示，随着时滞增大，V。，逐渐减小趋于零。当r。一h。一4139 1 S时，函数各构成项随时间变化曲线如图3所示。此时，V。，几乎为零，U。即为该系统Lyapunov函数的冗余项。K01；一一K22)y231图3 1,yapunov函数构成项曲线Fig3 Curves of each item of Lyapunov function改变臼取值，应用判据求解时滞稳定裕度并令。在此处取值，计算此时Iyapunov函数各构成项的权值V姘，结果示于表1(对应柱形图见附录A图A1)。综合表1和附录A图A1结果可知，V。，项的权值最小，确定为冗余项，即V。a扎

15、划，一一掣)1 W。：掣dsdO(8)表1 Lyapunov函数构成项权值结果Table 1 Results of weight of each item of Lyapunov function10 2621 0 1 9：35 177 5439 060 11 710一一 238920 3，2,16 7 1 531 350 5780 287 80910“ 205230 11 39 1 133l 666 601 7 610 77110 1 37640 51 59 6 1 525 1406 j233 1098 47110 73850 4943 8 1 659 3734 29，30 1l_51 14

16、810。 52660 39 51 1 l 537 3155 3021 753 26410 153470 4432 1 97 5 1623 6463 939 63110“ 11710180 8729 7 71 7 110 7 7568 608 593X】0一 692】05在Iyapunov函数表达式(2)中对应项为：V删刊一薹，缸mdx(，s)眠，掣捌臼(1 9)剔除冗余项后，Lyapunov函数简化为式(20)。应用简化后的Lyapunov函数推导改进时滞稳定判据，即得文献E21的判据。114V一工1(f)Px(r)+I工7(s)Q。x(s)ds+孔(掣)w。掣捌口，应用其与改进前的判据m：分

17、别计算系统的时滞稳定裕度，结果示于表2。由结果可知，两判据的结果完全一致，表明本文方法所确定的冗余项是正确的。+_苦)S(XQ)S(T一_工Sqd一)f“一_X，-”Q()x“PiDx(。，丁一Xy万方数据表2 时滞稳定裕度计算结果Table 2 Delay stability margin comparisonbetween two stability criteria州。，砸丽丽斋等鬻丽在本算例中，应用本文方法剔除了Lyapunov函数冗余项，使判据待求矩阵减少了05m 205m个，待求变量数减少了(025rn 2025m)T2+(025m 2一o25m)咒个，计算效率显著提高口“，且保守

18、性不变。32 算例2WSCC 3机9节点双时滞系统的模型和参数见文献21，应用本文方法对文献19的判据2进行分析和简化，该判据对应的Lyapunov函数示于式(21)。尽管该判据具有较小保守性，但由于增加了三次积分项，待求变量更多，计算效率有所降低。!L rtV(x)一善7(f)Pg(f)+I 7(5)Q：(s)ds+i=1i=2r：_。：+。(s)z：(s)dsd臼+(r：一n，)l。“1(s)y。(s)dsd0+ 1f+0塾L or,oiT(s)Uii龇如 ，式中：善(f)一x()X(fr1)X(一r。)： rtx(s)ds X(s)dsZ-1 tmz-“CO(S)一Ix(S)膏(S)TQ

19、，z：，Y。，U：为适当阶数的对称正定矩阵。应用本文提出的判据改进方法对Lyapunov函数进行冗余项甄别。限于篇幅，权值计算过程、冗余项分析结果及改进前后判据的保守性和判稳时间比较见附录B。需要注意的是，本文算例中仅将权值最小的项列为冗余项，该方法在实际应用时，可以根据误差要求和时问限制，对冗余项进行优化选择。例如：将Lyapunov函数中权值均很小的两个或两个以上构成项处理为冗余项，这时只需检验时滞稳定裕度计算误差是否满足要求，以及是否能够推导形成所需的LMI稳定判据即可。王蕾，等基于权值评估的Lyapunov时滞稳定判据改进方法4 结语本文提出一种基于权值评估的时滞稳定判据改进方法。它首

20、先利用时滞系统的仿真轨迹，计算得到Lyapunov函数各构成项所占权值，并将权值最小对应项甄别为冗余项；进一步，在原有时滞稳定判据推导过程中，直接删除冗余项对应环节，形成改进时滞稳定判据；利用多个算例验证，改进时滞稳定判据具有相同的判稳效果，但由于冗余项的剔除，稳定性分析效率得到显著提升。未来工作中将会考虑时变时滞，把该方法推广应用到时变时滞系统中。参考文献1张文亮，周孝信，印永华等华北一华中一华东特高压同步电网构建和安全性分析J中国电机工程学报，20lo，30(16)：1-5ZHANG Wenliang，ZHOU Xiaoxin，YIN Yonghua，et a1Composition an

21、d security analysis of“North ChinaCentralChinaEast China”UHV synchronous power grid L J JProceedings of the CSEE，2010，30(16)：1-5r2RAOUFAT M E，TOMSOVIC K，DJOUADI S MVirtualactuators for widearea damping control of power systemsJIEEE Trans on Power Systems，2016，31(6)：4703 4711r3UEDA Y，MAEHIRA SVerific

22、ation test results of the widearea contrOl and operation system for distributed generation ofrenewable energyCProceedings of 2015 IEEE InternationalTelecommunications Energy Conference(INTEIEC)，October18 22，2015，Osaka，Japan：5pr4LEGER A S，SPRUCE J，BANWELL T et a1Smart gridtestbed for wide area monito

23、ring and control systemscProceedings of 20 1 6 IEEEPES Transmission and DistributionConference and Exposition(T&D)，May 3 5，2016，Dallas，USA：5pr5LIAN F，HALLEN A D，CHAKRABORTTY AEnsuringeconomic fairness in widearea control for power systems viagame theorycProceedings of 2016 American ControlConference

24、(ACC)，July 6 8，2016，Boston，USA：3231 32366刘运花，黎雄，刘志雄，等基于灰色预测的广域电力系统稳定器分布延时补偿设计J电力系统自动化，2015，39(1 2)：4449DOI：107500AEPS20141029013LIU YunhuaLI Xiong，LIU Zhixiong，et a1A compensationdesign for widearea power system stabilizer distributed timedelay based on grey predictionJAutomation of Electric PowerSy

25、stems， 2015， 39(12)：4449DOI： 107500AEPS201410290137盘宏斌，欧思程，刘林海，等LCL型并网逆变器数字单环控制延时影响与稳定域分析设计J电力系统自动化，2016，40(6)：85-90DOI：107500aEPS20150728012PAN Hongbin，OU Sicheng，LIU Linhai，et a1Influence ofdelay and stable domain analysis and design based on digitalsingleloop control of gridconnected inverter wit

26、h ICI。一filterJAutomation of Electric Power Systems，2016，40(6)：8590DOl：107500AEPS20150728012httptjfwaepsinfocorn 115bSpeawww印h皈曲络唧网墨e刊m本肛见锚录盼附舱m万方数据201 7，41(16)r8I。IAN Zhi，HE Yong，ZHANG Chuanke，et a1Furtherimproved stability criterion for TakagiSugeno fuzzy systemswith timevarying delayC35th Chinese

27、Control Conference(CCC)，July 2729，2016，Chengdu，China：1518 15229MA Jing，WANG Shangxing，wu Jie，et a1Time delaystability control strategy considering the Jump characteristic ofpower systemJ IET Generation，Transmission Distribution，201 7，11(1)：1851 9210陈江，顾鸿，宋崇生带有时滞环节的柔性关节机械臂H。：变结构控制J计算机仿真，2016，33(10)：3

28、48 355(HEN Jiang，GU Hong，SONG ChongshengA H：，。variablestructure control strategy for elastic joint manipulators withtime delayJComputer Simulation，2016，33(10)：34835511关琳燕，周洪，胡文山基于Hamilton理论的广域非线性时滞多机电力系统的稳定与控制J电力系统保护与控制，2016，44(19)：17 24GUAN Linyan，ZHOU Hong，HU WenshanNonlinear widearea timedelay st

29、abilization and control of multimachinepower system based on Hamilton theoryJPower SystemProtection and Control，2016，44(19)：17-241 2FEDERICO M，MARIAN AImpact of time delays on powersystem stabilityJIEEE Trans on CircuitsSystems，2012，59(4)：889 90013WU M，HE Y，SHE J HStability analysis and robust contr

30、olof timedelay systemsMBeijing：Springer，201014AFTAB M S，SHAFIQ M，AFTAB FA Lyapunov functionneuroadaptive controller for LFC in twoarea power systemcProceedings of 41 st Annual Conference of the IEEE15Industrial Electronics Society November 9 1 2 201 6Yokohama，Japan：4645-4649SUN Qiang，AN Haiyun，JIA H

31、ongjie，et a1An improvedpower system stability criterion with multiple time delayscProceedings of 2009 IEEE PowerEnergy SocietyGeneral Meeting，July 26 30，2009，Calgary，Canada：7p16XU S Y，JAMES I。Improved delay dependent stabilitycriteria for time delay systemsJIEEE Trans on AutomaticControI，2005，50(3)：

32、384 387学术研究17HE Y，wu M，SHE J HDelay dependent stability criteria forlinear systems with multiple time delaysJ1EE Proceedingsof Control Theory and Applications，2006，153(4)：44745218ZHANG C K，JIANG L，wu Q H，et a1Further results ondelaydependent stability of multiarea load frequeney controlJIEEE Trans o

33、n Power Systems，2013，28(4)：4465447419董朝宇，贾宏杰，姜懿郎含积分二次型的电力系统改进时滞稳定判据J电力系统自动化，2015，39(24)：3540DOI：10750ClAEPS20150202015DONG Chaoyu，儿A Hongjie，JIANG YilangTime delaystability criteria for power system with integral quadratic formJAutomation of Electric Power Systems，2015，39(24)：35 40DOI：107500AEPS2015

34、0202015203孙健，陈杰，刘国平时滞系统稳定性分析与应用M北京：科学出版社，201221JIANG Yilang，JIANG Tao，J1A Hongjie，et a1A novel LMIcriterion for power system stability with multiple time delaysJScience China Technological Sciences，2014，57(7)：1 392 140022王蕾，董朝宇，贾宏杰，等电力系统时滞稳定判据保守性差异量化评估方法J电力系统自动化，2017，41(10)：22 28DOI：107500AEPS201607

35、21012WANG Lei，D()NG Chaoyu，JIA Hongjie，et a1Diversitybased quantitative evaluation method of conservative propertyof tirne delay stability criteria for power systemsJAutomation of Electric Power Systems，41(10)：2228D01：107500AEPS20160721012王 蕾(1993一)，女，硕士研究生，主要研究方向：电力系统安全与稳定性。E mail：whjutjueducn贾宏杰(1

36、973 )，男，通信作者，博士，教授，主要研究方向：电力系统安全与稳定性、配电系统规划和智能电网。Email：hjjiatjueducn董朝宇(1991 )，男，博士研究生，主要研究方向：电力系统安全与稳定性。E mail：cydongtjueduen(编辑 章黎)Method for Improving Efficiency of Delay Stability Criterion Based on WeightValue Analysis of Lyapunov Functional ItemsWANG Lei，J IA Hongjie，DONG Chaoyu(Key Laboratory

37、 of Smart Grid of Education(Tianjin University)，Tianjin 300072，China)Abstract：The delay stability criterion，based on the Lyapunov stability theory and linear matrix inequality(LMI)，is widelyused in stability analysis of the power system with time delaysHowever，it is hardly applicable to high dimensi

38、onal systemswhere time consumption is high and computation efficiency low The number of variables to be calculated increases by a factorof square as the dimension of the state variable increases For this reason，a numerical calculating method is used to study thetime varying properties of each item o

39、f Lyapunov functions to obtain the weight of each itemThen a delay stability criteriaimproved method is proposed，in which redundant items of the functions are identified and deleted to improve the efficiency ofthe stability criterion without increasing its conservatismFinally，the delay stability cri

40、teria improved method is used for twocriteria in a typical second。order。system and a 3machine 9bus system with two time delays to verify the efficiency of theproposed methodThis work is supported by National Natural Science Foundation of China(No51625702)Key words：Lyapunov functional simplification；delay stability criterion；calculation efficiency；weights；power systemsstability116万方数据