基于l1稀疏正则化的信源个数估计新算法-金芳晓.pdf

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1、2016年10月 Journal on Communications October 2016 2016198-1 第37卷第10期 通 信 学 报 Vol.37 No.10基于l1稀疏正则化的信源个数估计新算法 金芳晓1，邱天爽1，王鹏1，夏楠2，李景春2（1. 大连理工大学电子信息与电气工程学部，辽宁 大连 116024；2. 国家无线电监测中心，北京 100037） 摘 要：针对现有信号源个数估计相关算法在低信噪比和较少快拍数下存在欠估计的问题，提出一种适用于空间平稳噪声下基于l1稀疏正则化的信源个数估计新算法。该算法利用信号协方差矩阵特征值分解得到的特征值序列的稀疏性，选取合适的正则化

2、参数对信号源个数进行估计。理论分析和仿真实验表明，所提算法可以在较低信噪比的空间平稳噪声条件下，实现对较少快拍数下阵列接收数据信源个数的精确估计。 关键词：稀疏正则化；信源个数估计；空间平稳噪声；正则化参数 中图分类号：TN911. 7 文献标识码：A New source number estimation algorithm based on l1sparse regularization JIN Fang-xiao1, QIU Tian-shuang1, WANG Peng1, XIA Nan2, LI Jing-chun2( 1.Faculty of Electronic Inform

3、ation and Electrical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; 2.State Radio Monitoring Center, Beijing 100037, China) Abstract: In view of the problems of inefficient in low SNR and less snapshots when using existing sources number es-timation related algorithms, a new alg

4、orithm based on l1sparse regularization under space stationary noise was proposed to estimate the number of signal sources. The algorithm estimated the sources number by using the sparse representation of eigenvalues vectors with the suitable regularization parameter. Theoretical analysis and simula

5、tion results show that the algorithm can realize an accurate sources number estimation in low SNR and less snapshots. Key words: sparse regularization, sources number estimation, space stationary noise, regularization parameter 1 引言 随着阵列传感器在雷达、声纳、无线通信和医学成像等许多领域的广泛使用1，阵列信号处理的重要性日益凸显。精确的信源数是许多超分辨阵列信号处

6、理算法实现的基础，如果信源个数估计错误，这些算法的估计性能会显著下降，甚至完全失效。 阵列信号中的信源个数最初是通过假设检验方法来估计的，在空间平稳白噪声条件下，根据先验知识预设判决门限，此方法的缺点是带有很强的主观性。为解决这一问题，Wax 和Kailath2首先将信息论准则g5353g1849阵列信号信源个数估计中，g16825g12879方法中最g1867g1207g15932性g1000g8616g17751g12628g2345g7143g15904的是根据 Akaike信息论准则(AIC, Akaike information criterion)3和最g4579g6563g178

7、60g19283g5242(MDL, minimum description length)4准则g6564g1998的信源数估计算法。为g1114g17839一g8505g6564g20652g6251噪能g2159，g7003g104985g1186算法的g20049g1593性g1998g2469g6564g1998g1114一个g8616g17751稳g1593的 MDL 算法(robust-MDL)，g7003g104986则g18331用最g3835g10317g5461g1552g2476g2282g10587准则(MEVRC, maximum eigen-value varie

8、d rate criteria)g4557信源个数g17839g15904估计。g9994g13792，g990g17860的信号源个数估计方法g3355是g2045用白噪声信收稿日期：2016-02-02；修回日期：2016-08-30 通信作者：邱天爽， 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No.61139001, No.61172108, No.81241059, No.61501301）；国家科技支撑计划基金资助项目（No.2012BAJ18B06-04） Foundation Items: The National Natural Science Foundation of Chin

9、a (No.61139001, No.61172108, No.81241059, No.61501301),The National Key Technology R&D Program (No.2012BAJ18B06-04) doi:10.11959/j.issn.1000-436x.2016198 万方数据76 通 信 学 报 第37卷 号g8181g3423g6524g4560g1998来的，g1177g17878用g1122白噪声条件。g1306在实g19481中，g11013g1122g2520g12193g3252g13044的g5445g2721，白噪声条件g19602g12

10、09g9397g17287。为此，g7003g104987g6564g1998g1114用Gerschgoring3290g11436g4462理g708GDE, Gerschgorin disk estimatorg709判g7041信源个数的方法，g2499g17878用g1122有g14406噪声条件，g1306g1866g16855g6984g3252g4388的g17885g6333g17751为g3268g19602。g2490一方g19766，在g1314g5567g6305数和g1314信噪g8616的g5785g1929下，g990g17860算法信源个数估计的精g5242g

11、3355显著下降。 g19036g4557g990g17860问题，g7424g7003将理g5831g5785g1929下信号g2339方g5058g11709阵g10317g5461g1552分解g5483g2052的g1867有g12244g11107性的g10317g5461g1552g708SREV, sparse representation of eigenvalues vectorsg709g5219列g1328为重g7512g11458g7643g727g2528g7114g2045用g2339方g5058g11709阵估计误g5058的g8022g10587分g5079g1

12、4731g2474重g7512g8543g5058g20045g17751g3835g8022g10587的g13634信g990g11040，g1209此g1328为g13434g7475条件来最g4579g2282g5465g8726解g11702g18339的1lscript g14551数，g1186g13792g5483g2052一g12193g12628g2345g7143g6038g1000g17751为准确的g2454数g17885g2474方法，g17839g13792g6564g1998g1114一g12193基g11221lscript g12244g11107g8503

13、则g22828,9的阵列信号信源个数估计g7044算法(1-SREVlscript )。g994现有的基g1122信息论准则、基g1122盖尔g3290g11436g4462理的信号源估算方法不g2528，g7424g7003是在g12244g11107g15932示理论框架内研究信号源个数估计问题，结合g12244g11107g15932示能够用g17751少的g18331样数据重g7512原信号的优点，使g7424g7003算法g1867有不需精确已知阵列流形、g17878用g1122g17751g1314信噪g8616g1000g17751少g5567g6305数条件、阵列信号个数估计g

14、20049g1593性g17751好等优点。 2 信号模型 假设K个g1849射角为 ,1,2,iiK = midhorizellipsis 的远场平稳窄带信号 T12() (), (), , ()Ktstst st=s midhorizellipsis g1849射g2052g11013M ()MK 个阵元组成的阵列天线g990，则tg7114刻接收g2052的数据 T1() (), , ()Mtxt xt=x midhorizellipsis 为 () () ()ttt=+xAsn (1) g1866中， 12(),(), ,( )K =Aa a amidhorizellipsis 为MK

15、 维的阵列流形g11709阵g727 T12() (), (), , ()Mtntnt nt=n midhorizellipsis 为 1M 维的空间平稳白噪声，将g1866g15932示为阵列接收数据g8181g3423的g11709阵形式 X =AS+N (2) g1866中， = (1), (2), , ( ), tXx x xmidhorizellipsismidhorizellipsis为阵列接收数据g11709阵， = (1), (2), , ( ), tSs s smidhorizellipsismidhorizellipsis为信号数据g11709阵，= (1), (2), ,

16、 ( ), tNn n nmidhorizellipsismidhorizellipsis为噪声数据g11709阵。则阵列信号的g2339方g5058g11709阵的g15932达式为 HHH HH2() ()() () () ()snEt tE tt Ett=+=+RxxAss A nnAR A I(3)这里H() ()sE tt = Rss为信号的g2339方g5058g11709阵，2n Ig15932示噪声g2339方g5058g11709阵，g4557式(3)g17839g15904g10317g5461g1552分解有 HR=UVU (4) g1866中，U为g10317g5461

17、g11702g18339g11709阵，V为g11013g10317g5461g1552组成的g4557角g11709阵 ()12diagM =V midhorizellipsis (5) 式(5)中的g10317g5461g1552g9397g17287如下关系 212 1KK Mn += =midhorizellipsisgreatermuchmidhorizellipsis (6) g1186g13792g5483g2052K个g17751g3835的g10317g5461g1552和MK 个等g11222n 的g10317g5461g1552。g3252此，g4557信号源个数K的确g

18、4462转换为g8726最g4579相等g10317g5461g1552的个数问题。 g9994g13792考虑实g19481g5785g1929，在有限g5567g6305数的g5785g1929下，信号源个数估计受g2052g17751g3835g5445g2721，g1867体原g3252如下：设有限g5567g6305数下，g18331样g2339方g5058g11709阵R如式(7)所示。 H11() (), 1,2, ,Llttt LL=Rxx midhorizellipsis (7) g5483g2052的g18331样g2339方g5058g11709阵Rg994理g5831自

19、相关g11709阵R存在计算误g5058，这里将这g12193误g5058g15932示为 =+RR R (8) g1866中，g11709阵R为误g5058g11709阵，g7003g1049810g15932明g1866g9397g17287下列渐g17839g20652斯分g5079 ()()21vec AsN ,M R0 (9) 这里，vec( )i g15932示g11709阵列向g18339g2282，AsN(, 2)g15932示g3355g1552为，方g5058为2的渐近g8503态分g5079，为g2339方g5058g11709阵TLRR ，L为g5567g6305数，g

20、15932示 Kronecker积。g11013g1122计算误g5058的g5445g2721，有限g5567g6305数据下的阵列g2339方g5058g11709阵的噪声g10317g5461g1552不再相等，g13792是g1867有式(10)所示的关系。 212KK Mn +midhorizellipsis (10) 将式(8)g994式(2)做g8616g17751，g2499g1209看g1998误g5058g11709阵Rg12879似g1122信号g8181g3423中噪声g11709阵N的地位，结合式(3)g4557式(8)g17839g15904修改，g1186g137

21、92g7512建相关域g990g8181g3423Rtildenosp，g1866g15932达式如式(11)所示，基g1122此g8181g3423g7424g7003g6564g1998g1114一g12193阵列信号信源个数估计g7044算法。 2H=ns= +RR IARA Rtildenosp(11) 3 信源个数估计算法研究 3.1 算法原理 首先假设在无限g5567g6305数，即式(6)成立的理g5831条2016198-2 万方数据第10期 金芳晓等：基于l1稀疏正则化的信源个数估计新算法 77 件下，g7424g7003很自g9994地g5831g2052g2045用g10

22、317g5461g1552分解后g5483g2052的最g4579g10317g5461g1552M g1328为噪声功g10587的估计2nM ，消除g10317g5461g1552g5219列 12 M = midhorizellipsis 中的噪声功g10587，g1186g13792g5483g2052g12244g11107g5242为K的g12244g11107向g18339Mu Rbb 211, ,0,0nMKMK M += umidhorizellipsismidhorizellipsis(12)则向g18339u中非零元g13044的个数便是信号源的个数。 g9994g137

23、92，在有限阵列g5567g6305数据下，g11013g1122噪声的g10317性g708如g3355g1552、方g5058g709会有一g4462偏g5058，g4560致阵列信号g2339方g5058g11709阵g10317g5461g1552分解g5483g2052的噪声g4388空间不再相等，则g2045用g990g17860方法g5483g2052的向g18339D如式(13)所示。 21+1, , ,nMKMKMMM = Dmidhorizellipsismidhorizellipsis(13) g2454考式(12)，g7424g7003的核心思g5831是g2045用g

24、12244g11107g15932示相关算法，g4557g12244g11107向g18339ug17839g15904重g7512，g17839g13792将信源个数估计转g2282为向g18339Mu Rbb 的g12244g11107g5242K的g8726解，g1866g12244g11107g5242用0lscript g14551数g15932示为00u ，g1186g13792g5483g2052信源个数估计的算法如下。 00222mins.t. uDu(14) g1866中，为“容噪”g2454数9，g1866g1867体g17885g2474方法将在下节中介绍。这里，向g18

25、339u为g12244g11107的假设是必要的，g3252为如果没有此假设，则式(14)为病态问题。g1306是，式(14)需要列g1998u中所有非零g20045位g13634的CKMg12193g2499能的线性组合，才能g5483g2052最优解。g3252此，g1866数g1552计算极不稳g4462g1000为 NP g19602问题。g19036g4557此问题，学者们g6564g1998许多近似算法，g1866中包括贪婪逼近算法10、FOCUSS 算法11g1209及1lscript 和plscript 松弛算法12等。基g1122g990g17860理论基础，g7424g70

26、03g6564g1998g1114基g11221lscript g12244g11107g8503则g2282的信源个数估计g7044算法，g1866g11458g7643函数为 221min +D uu (15) g1866中， 为g8503则g2282g2454数，g1866g1867体g17885g2474将在下节中g1867体介绍。这里假设 g17885g2474g17878当，设g4462信源个数为3，阵列的阵元数g11458为 6，则在不g2528信噪g8616的空间平稳白噪声条件下，通过式(15)g5483g2052的g12244g11107向g18339u如g159321所示。

27、g11013此g15932g2499g1209看g1998，g7424g7003算法g2499g1209将g1314信噪g8616下混淆的信号g4388空间g994噪声g4388空间很好地分离开来，使噪声g4388空间的功g10587近似为零，g17839g13792将信源个数的估计转g2282为g12244g11107向g18339u中的g12244g11107g5242的g8726g2474。 3.2 正则化参数选取 式(15)中的g8503则g2282g2454数 是信源个数估计算法中的重要g2454数，它的g17885g2474是否g17878当不g1177g5445g2721算法的收

28、敛性及收敛速g5242，g13792g1000决g4462所g8726g5483的解是否收敛g1122真实解。为此，g7424g7003g18331用L-curve法13g4557g2454数 g17839g15904遍历搜索，将g8543g5058g20045最g4579g1552g1328为g2454数 的估计g1552，g5483g2052g2454数 在0.5 0.6 g14551围内。g159322为此g14551围的g2454数 在不g2528信噪g8616下的g8503确检测g10587，g11013此g15932g2499g1209看g1998，在0.5 0.6 g14551围

29、内g2454数 越g4579，意味着g4557向g18339的g12244g11107性g13434g7475越弱，故更g17878合在g1314信噪g8616条件下g17839g15904信源个数估计g727g1306随着信噪g8616的增g20652，向g18339的g12244g11107性随之增强，故g2454数 有所增g3835，准确g10587也更g20652。虽g9994此方法相g4557繁g10724，g1306g4557g1122g3278g4462系g13491g8181g3423来g16840，g2454数 的g1552是不g2476的，故g2499预先设g4462。 g

30、11013g1122g8503则g2282g2454数 的g17885g2474g17751为g3809g7446，g7424g7003g2045用g6301g7696g7403日g1068g4388法将式(15)的无g13434g7475优g2282问题转g2282为如(16)所示的g13434g7475优g2282g8726解问题。 1222mins.t. uDu(16) 则将g8503则g2282g2454数 的估计转g2282为式(17)中相g4557g12628g2345g7143g6038的g2454数的g17885g2474问题。g11013g990节介绍g2499知，g7424

31、g7003的g11458g7643是g7512建一个g1177包g2559信号g10317g5461g1552的g12244g11107向g18339u，这意味着g2454数的g17885g2474g5224g9397g17287：g17287够g3835，使表1 不同信噪比条件下的稀疏向量u iu SNR = 10 dB SNR = 5 dB SNR = 0 dB SNR = 5 dB SNR = 10 dB 1u 11.38 10.62 10.66 10.57 10.57 2u 6.04 5.91 5.83 5.80 5.77 3u 0.63 0.25 0.08 0.08 0.08 4u

32、0.06 95.28 10 107.42 10 102.95 10 102.12 10 5u 92.36 10 92.93 10 102.97 10 101.32 10 101.04 10 6u 292.24 10 295.86 10 315.00 10 315.51 10 316.53 10 2016198-3 万方数据78 通 信 学 报 第37卷 满足22n 的概率很小，这里2nn=n ， 12nK K M += midhorizellipsis 。由本文第2节可知，向量n中的元素不为零是有限快拍数下误差矩阵R所引起的，由于vec( )R 是符合渐进高斯分布14的，故可将向量n的方差22

33、n 近似看作服从自由度为M的2 分布。根据分布情况，设定置信值p（通常情况下，为使式(16)对于阵列信号个数具有较好的顽健性，设置 0.01p = ），将22n 上限值作为参数的值。 3.3 算法实现步骤 为了解决(16)中的1lscript 稀疏正则化问题，本文使用斯坦福大学Grant和Boyd教授等开发的CVX工具箱对其进行求解，信源个数估计的具体求解步骤如下所示。 -1SREVlscript 信源个数估计算法 已知: 阵列接收信号 ()tx ；阵元个数M ；2 =22()M 求解: 信源个数K 算g8873: 对阵列信号 ()tx 的g2339方差矩阵进行g10317g5461值分解g5

34、483g2052g10317g5461值g5219列； 将g7380小g10317g5461值作为g3134g3780g2163率的估计2 ()nM = ，进g13792g5483g2052向量2nD= ； 引g1849向量Mu Rbb ，使其满足g726 ()()1222222cvx_beginvariable mins.t. ,cvx_endM=uuDu求g2474向量u的稀疏度作为信号源个数估计值。 本文通g17819分g7524算g8873所g19668的g1068g8873g8437数估算g17828算g3809g7446度。g1209K个信号源的Mg13512阵列为g1375，g1

35、8331用式(15)的信号源估计的g17828算g3809g7446度g1039g16213g2265g63361lscript 稀疏正则化g11458g7643g2001数和g10317g5461值分解，为33()OM KM+ ，g18331用式(16)的g17828算g3809g7446度则为33()OKM 。g13792g18331用 RMDL 算g8873的g17828算g3809g7446度为4()OM5。g15441g9994本文算g8873g3324g17828算g3809g7446度上g5194g8821有g7138g7186g6925g2904，g1306是本文g2045用g

36、18331g7691g2339方差矩阵Rg994g10714g5831自g11468g1863矩阵Rg4396g3324计算误差矩阵=RR R满足渐进高斯分布21vec( )AsN( , )M R0的g2419g10714，将其作为g256g4493g3134g257参数的g17885g2474g1393据，从g13792g1823服了有限快拍数所引起的误差，估计的g19899性g7368好，g6251g3134性g14033g7368g5390。g2528g7114g13479合稀疏g15932示g14033g3827用较g4581的g18331g7691数据g18337g7512g2419

37、信号的g1260g9869，使本文算g8873g7368g2164g17878用于较g4581快拍数的g7477g1226。 4 仿真 为了g16840g7138上g17860算g8873的有g6940性，将本文g6564g1998的算g88731-SREVlscript g994已有算g8873 RMDL5g451AIC3g451MEVRC6和 MGDE7进行信号源个数估计g4466g20576g8616较，其中，MGDE算g8873g16855g6984g3252g4388g13475g3822g8437g4466g20576g24740.1。本文设定g4466g20576g7477g12

38、26为 10 阵元，g19400g17329为g2334g8886g19283的g3355g2260g3290阵，接收信号为 3 个g17840g3342g10432g12447源，其g1849g4568g16294分g2047为( 40ringoperator，60ringoperator，80ringoperator)，Monte Carlo g4466g20576g8437数为 200。g15925量算g8873性g14033的g6363g7643g17885为估计g1946g11842率dP，其定g1053为正g11842估计g8437数g994 Monte Carlog4466g20

39、576g8437数的g8616值。 4.1 不同信噪比下，信源个数估计算法性能对比分析 本文g3324g12366g19400g5191g12295g3134g3780g7477g1226下，快拍数为 50g7114，对上g17860 5 g12193算g8873的信源个数估计性g14033进行g8616较分g7524。g3282 1 为g5191g12295g3134g3780g7477g1226下，5 g12193算g8873信源个数估计g1946g11842率dPg19555SNRg2476化g7366g13459g1235g11507。由g8504g3282可g1209看g1998，g

40、5415信g3134g8616较g1314( 4dBSNR )g7114，g11468对于其他 3 g12193方g8873，AIC 算g8873和本文算g8873估计性g14033较好，且AIC算g8873g1946g11842率g16213高于本文算g8873；g19555着信g3134g8616的增g2164( 4dB 2dBSNR)，本文算g8873性g14033迅速g6564高，g1306AIC算g8873g6925g2904不g7138g7186；g19555着SNR进一步增g2164( 2dBSNR )，本文算g8873和其他算g8873g3355达g2052 100%估计g19

41、46g11842率，g1306 AIC 算g8873对信源个数g1946g11842率仍无g8873达g2052100%，从g13792影响后续基于信表2 正则化参数 取值为范围内0.50.6不同信噪比下的估计准确率 估计准确率 正则化参数 SNR = 20 dB SNR = 10 dB SNR = 0 dB SNR = 10 dB SNR = 20 dB 0.5 66% 52% 0 0 0 0.55 46% 72.5% 0 0 0 0.6 0 30 100% 100% 100% 注：粗体数字对应的是每个信噪比条件下的最高识别率。 2016198-4 万方数据第10期 金芳晓等：基于l1稀疏正

42、则化的信源个数估计新算法 79 源个数g11468g1863阵元信号处g10714算g8873的顽健性。综上考虑，g11468对于其他算g8873，本文算g8873具有g7368好的综合性g14033。 图1 平稳噪声条件下，对应于SNR的算法性能比较 g15441g9994本文算g8873是白g3134g3780假设下g6564g1998的，g1306g5415g3134g3780为色g3134g3780g7114（g4466g20576中的色g3134g3780是白g3134g3780g13475g17819滤g8886裁剪g5483g2052的），g3324参数预先设定好的情况下，g25

43、28g7691具有较好的g13479果。由文献15可知，RMDLg451AICg451MEVRC 和 EDC 的估计算g8873都是基于白g3134g3780信号模型推导g1998来的，无g8873g1946g11842估计g8504g7114的信源数。MGDE算g8873g15441g9994可g1209处g10714，g1306是g5415MGDE进行酉g2476换g7114，其阵列g2339方差矩阵较小g10317g5461值对应的g10317g5461向量g994导向矢量g5194不是完全正交的，所g1209g3324信g3134g8616较高的情况下，其估计的误差也不会趋于零。g32

44、82 2 为色g3134g3780g7477g1226下，信源个数估计g1946g11842率对应于SNR的算g8873性g14033对g8616，可g1209看g1998，本文g6564g1998的1-SRAElscript 算g8873，g11468对于MGDE算g8873受色g3134g3780的影响g7368小。 图2 色噪声条件下，对应于SNR的算法性能比较 4.2 不同快拍数下，信号源个数估计算法性能对比分析 g32823是5g12193算g8873g3324信g3134g8616为0 dB的g5191g12295g3134g3780g7477g1226下，快拍数的g2476化从

45、10 g2052 240 g7114算g8873的估计性g14033g8616较g1235g11507。从g3282中可g1209看g1998，g3324较g4581快拍数（快拍数小于10）的g7477g1226下，AIC算g8873的估计精度g11468对较高，其他各算g8873的估计g1946g11842率g3355不高。g1306g19555着快拍数的增g2164，由于本文算g8873较好地g1823服了有限快拍所引起的误差，估计g1946g11842率迅速g6564升。g5415快拍数增g2164g205250g7114，估计g1946g11842率便达g2052了100%，RMDL算

46、g8873则g3324快拍数为70g7114，才达g2052100%的估计g1946g11842率，g13792其他算g8873则g3324快拍数增g2164g2052 200 g7114，仍无g8873达g2052100%的估计g1946g11842率。综上可g1209看g1998，本文算g8873可g1209g3324较g4581快拍数下g4466现对信源个数的精g11842估计。 图3 不同快拍数下，不同算法信源个数估计准确率对比 5 结束语 精g11842的信源数是许g3822超分辨阵列信号处g10714算g8873g4466现的基础。针对现有的信号源个数估计算g8873g3324g1

47、314信g3134g8616和g1314快拍数下估计性g14033差的问题，本文g6564g1998了一g12193g17878用于g17840g3342阵列信号的基于1lscript 稀疏正则化的信源个数估计新算g8873，g10714论和g1235g11507g4466g20576证g7138了该算g8873g3324g1314快怕数和g1314信g3134g8616的情况下，g994现有信号源个数估计算g8873g11468g8616具有较好的一致性和顽健性。 参考文献： 1 程伟, 左继章. 基于时空结构的阵列信号三维参数同时估计方法J. 通信学报, 2004, 25(10): 67-

48、74. CHENG W, ZUO J Z. A new method for simultaneous estimation of 3-D parameters of array signal based on time-space structureJ. Jour-nal on Communications, 2004, 25(10): 67-74. 2 CHEN W, WONG K M, REILLY J P. Detection of the number of 2016198-5 万方数据80 通 信 学 报 第37卷 signals: a predicted eigen-threshold approachJ. IEEE Transactions on Signal Processing, 1991, 39(5): 1088-1098. 3 ZHAO L C, KRISHNAIAH P, BAI Z D. Remarks on certain criteria f